No ensino fundamental, me ensinaram que -1 * -1 = +1, negativo vezes negativo dá positivo. Ninguém me explicou o motivo, o máximo que tinha era uma tabela assim:
Digamos que o meu inimigo seja o Corinthians. E o Corinthians pega o Tolima na Libertadores. Então, vou torcer para o Tolima.
A analogia é falha. E se o Corinthians jogar contra o Palmeiras e o Palmeiras também for meu inimigo? Por que não posso dizer que negativo vezes negativo é negativo?
O post tem duas partes.
1 – A interpretação de -1 * -1 = =1
2 – O que aconteceria se -1 * -1 = -1
Parte 1
1.1 – Significado de negativo
Os números ajudam a contar as grandezas existentes no mundo: 1 carneiro, 5 pessoas, João empresta 10 reais a Alfredo.
A linha dos números Naturais é assim:
Com o tempo, as pessoas viram a necessidade de criar números negativos: estou devendo 2 carneiros, faltam 5 pessoas para fechar o pacote, Alfredo deve 10 reais a João.
A linha dos números Inteiros é assim:
Se multiplico o número 2 pelo número 3, ando 3 vezes seguidas um vetor de tamanho 2 na reta dos inteiros.
Se multiplico o número -2 pelo número 3, ando 3 vezes seguidas um vetor de tamanho 2 na reta dos inteiros, mas na direção oposta.
Note que a reta positiva é igual à negativa, exceto que espelhada no zero.
1.2 Multiplicação de números negativos
Tomando a reta dos inteiros como base, podemos interpretar a multiplicação por -1 como uma reflexão em torno do zero, uma rotação de 180 graus.
É como se chegasse um rei e dissesse: a partir de agora todos os créditos viram débitos e todos os débitos viram créditos. Se Alfredo estava devendo R$ 10,00 para o João, agora João é que está devendo R$ 10,00 para Alfredo.
Note a simetria: as coisas se invertem na direção oposta, sem perder a magnitude.
1.3 Propriedade distributiva
Olha só como fica a conta -3*(2 – 2)
Represento 2 e -2 na reta:
A soma deles é zero, porque é como se duas forças iguais puxassem um pacote: não sai do lugar. Multiplicando zero por -3, tenho zero de resposta.
Por outro lado, -3*(2 – 2) = -3*2 + -3*-2, pela propriedade distributiva.
-3*2 significa que
-3*-2 significa que
E -6 + 6 = 0. Portanto, fazer a conta das duas formas dá o mesmo resultado.
A definição -1 * -1 = +1 permite que a álgebra tenha a propriedade distributiva. E a álgebra contém simetrias. Ela é consistente com a matemática como um todo, e existe até um ramo da Matemática que estuda isto: a Teoria de Grupos. E foi com esta matemática que a humanidade calculou áreas, resolveu equações, projetou edifício, barragens, máquinas, chegou a Lua e construiu a bomba atômica.
Interlúdio: Números complexos
O mais legal é esta noção de rotação se encaixa no corpo dos números complexos.
Multiplicar por i (imaginário) significa rotacionar 90 graus:
Números complexos combinam com rotações e rotações combinam com funções periódicas.
Uma função periódica importante é a eletricidade. A rede elétrica de todas as casas do mundo é em corrente alternada, e números complexos são a ferramenta ideal para descrevê-las.
Parte 2 – A Tabajara Álgebra?
Num outro universo, -1 * -1 não precisa ser igual a 1. Podemos definir -1 * -1 = -1. Mas isto não é álgebra normal.
Vamos chamar a álgebra que define negativo * negativo = negativo de Tabajara Álgebra. Algumas consequências: esta álgebra não teria simetria em torno do zero nem propriedade distributiva.
-3*-2 = -6, pela Tabajara álgebra (lembre-se que negativo * negativo = negativo)
Portanto, -3*2 + -3*-2 =-12, ao passo que -3*(2 – 2) =0.
Não tem nada de errado na conta, a única coisa esquisita é que a propriedade distributiva não vale mais.
Poderíamos tentar descobrir quais os teoremas válidos na Tabajara álgebra e escrever uma tese de doutorado. Seria o Teorema de Pitágoras válido? A fórmula de Bháskara?
Provavelmente nenhum teorema útil seria válido na Tabajara álgebra. E, além disso, esta nova álgebra não teria aplicação na vida real, sendo apenas um exercício de imaginação.
Resumo final
-1 * -1 = 1 porque multiplicar por -1 é como rotacionar um vetor em 180 graus.
Isto permite que os inteiros sejam um grupo, e que a álgebra tenha propriedades de simetria consistentes, como a propriedade distributiva. Toda a matemática existente está fundamentada nisto.
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Esclarecedor, muito obrigado.
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