Prova visual da divergência da série harmônica

A série harmônica é dada por:

Ela tem esse nome por conta do conceito de harmônicas, em música. Imagine prender uma corda de piano a um tamanho 1, depois a metade do tamanho, 1/3 do tamanho, etc.

É um resultado conhecido desde Bernoulli, no séc XVII, que a série harmônica diverge: o somatório dos termos tende a infinito.

A prova dos livros de matemática consiste em comparar com uma série conhecidamente divergente:

1/2 + 1/2 + 1/2 + …

Se eu somar o número 1/2 infinitamente, claramente a série vai divergir.

A série harmônica é maior do que a série divergente acima, basta rearranjar os termos. A figura acima ilustra as operações envolvidas.

Embora a série harmônica divirja, ela o faz muito lentamente.

Um programinha de 4 linhas em Python, para 1000 termos:

harmonic=0
for i in range(1,1001):
harmonic += 1/i
print(harmonic)

Para 1000 termos, a soma dá 7,48.

Para 1 milhão de termos, a soma dá 14,39.

A soma dos primeiros 1043 termos é menor do que 100, segundo a Wikipedia, cujo link consta abaixo e tem outras informações interessantes.

É como a tartaruga do conto de Esopo: parece que nunca vai chegar lá, mas lenta e consistentemente, sempre cruza a linha de chegada!

Vide também:

https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)

Prova visual de soma de potências de quartos

A série 1/4 + 1/4^2 + 1/4^3 + 1/4^4 + … = 1/3 tem uma bela visualização, mostrada abaixo:

Considere só os quadrados azuis. As demais cores são para completar os 2/3 restantes.

Gif animado:

Para acessar o painel iterativo: https://asgunzi.github.io/Soma-quartos/index.html

Contraprova visual do Pequeno Teorema de Fermat

Em post anterior, vimos uma prova visual do Pequeno Teorema de Fermat.

Neste post, vamos ilustrar o mesmo raciocínio, mas para mostrar porque o mesmo teorema não funciona quando os números envolvidos não são primos entre si.

O teorema diz que p | n^p – n, para p primo.

Exemplo. n = 3 e p = 5.
n^p – n = 3^5 – 3 = 240, e 240 é divisível por 5.

Contra exemplo. n = 2 e p = 4.
n^p – n = 2^4 – 2 = 14, e 14 não é divisível por 4 (para o teorema funcionar, p deve ser primo em relação a n).

Vamos visualizar o caso n =2 e p =4.

Há duas combinações de cor única:

Há quatro combinações com 1 azul e 3 brancos. Note o mesmo comportamento descrito anteriormente, de poder fazer um colar e ir girando a cada conta. A repetição só se dá quando girar todas as contas.

De modo similar, há quatro combinações com 3 azuis e 1 branco.

Porém, com 2 azuis e 2 brancos, há uma diferença.

O primeiro grupo de 4 forma um colar que precisa de 4 giros para retornar ao início.

Porém, o grupo da direita precisa de apenas 2 giros para retornar à mesma posição. Isso porque há repetição do padrão de cores, e há repetição porque 2 (cores) e 4 (posições) têm divisor comum (2).

Isso “quebra” a formação de grupos de 4, demonstrando o motivo do pequeno Teorema de Fermat não ser válido para n e p com divisores comuns.

Portanto, essa é a forma de visualizar o importante Pequeno Teorema de Fermat.

Veja também:

Prova visual do Pequeno Teorema de Fermat

O Pequeno Teorema de Fermat é uma das joias da Teoria dos Números, e é utilizada, por exemplo, em testes de primalidade para a criptografia moderna.

Ela diz que p | n^p – n, para p primo.

Exemplo. n = 3 e p = 5.
n^p – n = 3^5 – 3 = 240, e 240 é divisível por 5.

Exemplo. n = 4 e p = 3.
n^p – n = 4^3 – 4 = 60, e 60 é divisível por 3.

Contra exemplo. n = 2 e p = 4.
n^p – n = 2^4 – 2 = 14, e 14 não é divisível por 4 (para o teorema funcionar, p deve ser primo em relação a n).

Não confundir com o Grande Teorema de Fermat, aquele que ficou famoso por demorar 300 anos para ser resolvido. O matemático Pierre de Fermat dizia ter a prova na cabeça, mas não cabia no rodapé do livro que ele estava anotando.

O Pequeno Teorema de Fermat tem uma prova combinatória / visualização muito bonita.

A primeira observação é que n^p é uma fórmula muito conhecida em análise combinatória.
Por exemplo, se p=3 posições (as três bolinhas abaixo) e n = 4 cores, n^p indica o número de combinações de cores para pintar as três bolinhas de forma diferente (onde a ordem importa).

A segunda observação. Há n = 4 cores únicas, então se eu pintar as p = 3 bolinhas apenas com uma cor, tenho 4 possibilidades.

Assim, n^p – n = 4^3 – 4 = 60 combinações possíveis de todas as cores para pintar 3 bolinhas, tirando as cores únicas.

Vamos ver as combinações de duas cores. Há 36 formas de colorir as três contas, usando as 4 cores combinadas duas a duas.

O argumento aqui é que, naturalmente, as cores se juntam em grupos de tamanho p.

Imagine cada coluna como se fosse um colar. Se eu amarrar o topo da linha com a base, tenho um círculo. Tenho que girar cada conta p vezes para ela se repetir, porque p é primo entre si com n – não vai haver uma combinação da mesma cor sem girar p posições.

Para combinações de três cores, vide esquema abaixo.


Há 24 formas de colorir as três contas, usando as 4 cores combinadas três a três.

Portanto 24 combinações 3 a 3, mais 36 combinações 2 a 2, mais 4 combinações únicas dá 64 combinações possíveis (igual a 4^3). Tirando as 4 combinações únicas, as outras combinações naturalmente formam grupos de periodicidade p = 3.

Em post seguinte, vou mostrar um contra-exemplo visual, para ilustrar como dois números divisíveis entre si provocam uma repetição, e assim as combinações não se agrupam naturalmente em múltiplos de p.

Trilha sonora: Louis Armstrong – What a Wonderful World

Código fonte do desenho das bolinhas no Github: https://github.com/asgunzi/Prova-Visual-Pequeno-Teor-Fermat

Veja também:

Prova visual da aproximação de raiz (a + b)

A expressão a seguir fornece uma aproximação da raiz (a + b), quando b<<a (b muito menor que a):

Dá para interpretar facilmente a aproximação, pensando em áreas.

A raiz quadrada de a é o lado do quadrado que tem área a.

Suponha que queremos a raiz de a + b, e o quadrado a seguir tenha exatamente as dimensões desejadas.

Como fazer para encontrar o valor desconhecido x?

Se a área verde é igual a b, metade dela será b/2, e essa área é aproximadamente igual a raiz(a) * x, desprezando a “quina” que não faz parte do retângulo.

Assim, temos x = b/(2*raiz(a)), e a dedução da fórmula citada.

Note que o erro equivale à parte em vermelho do diagrama.

E o erro será menor tanto quanto b for menor do que a.

Veja também:

https://ideiasesquecidas.com/laboratorio-de-matematica

Euclides e a prova visual dos primos

Um dos resultados mais belos da Matemática é a prova de Euclides, sobre a infinitude dos números primos, escrita há mais de 2.300 anos atrás.

Um número é primo se pode ser dividido apenas por 1 e por si mesmo, sem deixar resto.

A prova é por contradição. Primeiro Euclides supôs que o número de primos fosse finito: {p1, p2, …, pN}.

Para ilustrar, suponha que o conjunto de todos os primos seja formado apenas pelos três primeiros, {2, 3, 5}:

A seguir, Euclides afirmou que existe pelo menos um primo maior do que todos os primos finitos conhecidos: p1p2…*pN +1, ou seja, o produto de todos os primos + 1. Tal número não é divisível por nenhum dos primos anteriores, já que restaria 1 na divisão.

No caso do exemplo, tal número seria igual a 2 * 3 * 5 + 1 = 31.

Visualizando, o novo primo não é divisível por 2:

Nem por 3:

Nem por 5:

Sempre vai restar 1 na divisão.

Portanto, como sempre é possível encontrar esse primo adicional para um conjunto de primos finito, a conclusão é a de que o conjunto dos números primos é infinito.

Veja também:

https://ideiasesquecidas.com/2021/08/25/poligonos-e-conexoes/

Prova visual da sequência 1 + 2 + 4 + 8 = 2^N – 1

A progressão geométrica 1 + 2 + 4 + 8 + …, com cada elemento sendo o dobro da anterior, tem soma igual a 2^N-1, onde N é o número de elementos da soma.

Há uma prova visual muito bonita desta.

Imagine que tomamos emprestado um quadrado, o vermelho, e somamos o primeiro elemento (1):

O próximo elemento da soma, o 2, colocamos à direita – espelhando a soma anterior.

O próximo elemento da soma, o 4, é representado abaixo, de novo espelhando a soma anterior.

E assim sucessivamente. Para 8:

Para o 16:

Com 10 elementos:

Criei um programinha para visualizar dinamicamente essa soma geométrica. É da onde os prints acima foram tirados. Segue o link:

https://asgunzi.github.io/somageometricaD3

Agora, um pouco da teoria. Uma soma de PG finita é dada pela fórmula:

No caso da sequência acima, a1 = 1, q = 2, para N elementos. Então, fica S = 1*(2^N-1)/(2-1) = 2^N-1, que é a mesma conta.

Eu prefiro a prova visual…

Veja também:


Visualize a sequência de Fibonacci https://asgunzi.github.io/Fibonacci

Fórmula de soma de PA visual

https://ideiasesquecidas.com/2015/09/04/soma-visual-de-pa

Laboratório de Matemática


https://ideiasesquecidas.com/laboratorio-de-matematica

Soma de ímpares consecutivos – álgebra de pedrinhas

Gosto muito de provas visuais. Tenho neste blog uma coleção de provas deste tipo, envolvendo “álgebra de pedrinhas” – vide Laboratório de Matemática (ideiasesquecidas.com). Segue mais uma.

Prova visual de que a soma de ímpares consecutivos é divisível por 4:

Algebricamente, (2n+1) + (2n+3) = 4n +4, que é divisível por 4.

Ambas as provas são muito simples, porém a visual é mais bonita.

Veja também:

Prova visual da sequência 1+3+5+… (ideiasesquecidas.com)

Pitágoras Visual (ideiasesquecidas.com)

Prova visual da sequência 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1

A sequência 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1 é conhecida faz tempo, e há uma prova visual bastante bonita.

Imagine que vamos somando retângulos, onde a área corresponde ao valor da sequência.

O primeiro tem área 1/2 (lados 1 x 1/2):

O segundo com área 1/4 (lados 1/2 e 1/2):

O terceiro com área 1/8 (lados 1/4 e 1/2):

(As cores mudam, porque o código que escrevi joga cores aleatórias)

E assim sucessivamente. Após 8 iterações:

Note um padrão: sempre sobra um retângulo, e esse retângulo sempre é preenchido com metade da área na iteração seguinte.

Após 20 iterações:

A soma da área vai tendendo a se aproximar de 1, sem nunca chegar.

Um exercício é fazer numa calculadora ou no Excel a soma 1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16 + … até cansar, e verificar o resultado!

Para brincar iterativamente, neste link:

https://asgunzi.github.io/Soma-Serie-Meio/

Source code no Github:

https://github.com/asgunzi/Soma-Serie-Meio

Veja também:

https://ideiasesquecidas.com/laboratorio-de-matematica/

https://ferramentasexcelvba.wordpress.com/2018/09/02/mil-cardioides-no-excel/

Pitágoras Visual

Como provar o Teorema de Pitágoras de modo mais visual?

Relembrando, o tal teorema muito famoso nas aulas da escola trabalha com triângulos retângulos (um ângulo reto, 90 graus). A soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, assim ensinam na escola.

Pitagoras1

Se eu fizer 4 cópias do triângulo e girar, tenho o seguinte desenho. Forma um quadradão, aproveitando o lado reto.

Este quadradão tem lados (a+b), portanto área (a+b)^2.

Só que este quadradão é formado por 4 triângulos de área (a*b)/2. E o quadrado branco no meio do desenho tem lado c e área c^2.

Portanto, área do quadradão = 4 áreas dos triângulos + área quadrado branco

(a+b)^2 = 4*(a*b)/2 + c^2

a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2

a^2 + b^2 = c^2

CQD.

Pitagoras2

Mas tem álgebra demais no método acima. Que tal redesenhar o quadrado assim:

Pitagoras3

Este quadradão é a mesma coisa do anterior, rearranjado. Também tem área (a+b)^2..

Ambos tem os 4 triângulos retângulos originais.

No primeiro desenho, o quadrado branco grande tem área c^2.

No segundo desenho, o quadrado branco pequeno tem área a^2, e o quadrado maior em área b^2.

Pitagoras4

Há milhares de provas para o Teorema de Pitágoras. E as pessoas da antiguidade pensavam assim, em termos de geometria, desenhos na areia, pedrinhas.

A fonte das ideias aqui presentes aqui é o excelente livro “Proof without words”.

Arnaldo Gunzi

Set 2015.