Categoria: ForgottenMath

Quantos envelopes preciso comprar para completar o álbum da Copa do Mundo?

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Este blog não tem foco em matemática, mas não dá para resistir a um desafiozinho.
 
O meu amigo Marcos Melo quer completar o álbum de figurinha da Copa do Mundo para os netos. Só que, antes disso, quer estimar o custo da brincadeira. A pergunta: qual a probabilidade de completar o algum da Copa, comprando n envelopes?
São 682 figurinhas, 5 figurinhas por envelope.
 
 
Resposta curta.
 
– Com 600 envelopes, 0,02% de chance de completar o álbum.
 
– Com 1000 envelopes, 65% de chance de completar o álbum.
 
– Com 1500 envelopes, 99% de chance de completar o álbum.
 
O Excel / VBA aqui tem um simulador de sorteio de figurinhas por envelope, e a fórmula teórica da probabilidade, para brincar um pouco.
 
           
 
Resposta longa, para quem gosta.
 
 
Imagine todas as figuras em ordem, cada uma sendo uma caixinha.
 
 Figurinhas.png
 
Hipótese: Não há figurinhas especiais, todas têm igual chance de sair no envelope.
 
 
Vamos focar em uma figurinha qualquer, a figurinha F.
 
Se eu abro apenas um envelope, a probabilidade da figurinha F ser sorteada é 5/682. E a de não ser sorteada é o complemento disto.
 
p(fig F SER sorteada com 1 envelope) = 5/682

p(fig F NÃO ser sorteada com 1 envelope) = 1 – 5/682

Outra hipótese aqui: as 5 figurinhas são diferentes, se puderem ser iguais, a fórmula é ligeiramente diferente.
 

 

Para facilitar a notação, vamos chamar a primeira linha de p(1) e a segunda de p(0), onde 1 quer dizer “sucesso, achei a figurinha” e 0 quer dizer “não encontrei a figurinha”.
p(1) = p(fig F SER sorteada com 1 envelope) = 5/682

p(0) = p(fig F NÃO ser sorteada com 1 envelope) = 1 – 5/682

 

Se eu abro n envelopes, posso calcular a probabilidade da figurinha F ser sorteada como:

p(fig F NÃO ser sorteada em n envelopes) = p(0) * p(0) * … *  p(0)  = p(0)^n = (1 – 5/682)^n

p(fig F SER sorteada em n envelopes) = 1 –  p(0 em n envelopes) = 1 – (1 – 5/682)^n
Hipótese aqui, e bem razoável: a probabilidade da figurinha ser sorteada é independente para cada envelope.


Agora, considerando todas as figurinhas do álbum.
 
p(completar o álbum) =  p(1 na primeira figura) x p(1 na segunda figura) … x p(1 na 682 figura)
= (1 – (1 – 5 / 682)^n) ^682


Outra hipótese aqui: a probabilidade de uma figurinha ter sido sorteada independe da probabilidade de outra figura do álbum ser sorteada. Infelizmente, esta hipótese não é verdadeira, porque se uma figura não foi sorteada quer dizer que alguma outra foi, mas podemos considerar que a hipótese é aproximadamente válida.
Conclusão
 

p(completar o álbum) = (1 – (1 – 5 / 682)^n) ^682

onde n é o número de envelopes comprados.

Com 600 envelopes, 0,02% de chance de completar o álbum.

Com 1000 envelopes, 65% de chance de completar o álbum.

Com 1500 envelopes, 99% de chance de completar o álbum.

O programinha no Excel simula os sorteios, e realmente acontece comportamento próximo à fórmula: com 600 envelopes nunca completo o álbum, com 1500 sempre completo o álbum, e com 1000 na maioria das vezes completo, mas às vezes, não completo.

Sorteio.JPG

É lógico que, na prática, faz muito mais sentido trocar as figurinhas repetidas com outras pessoas do que sair comprando a esmo. E, também, provavelmente há níveis de raridade diferentes entre figurinhas, o que torna a coleção mais difícil ainda.

É claro também que, se fizer muita conta, a pessoa acaba desistindo do álbum. Então, o negócio é esquecer isto tudo e se divertir.

 

Método de Monte Carlo e os perigos de ignorar o desvio padrão

On por Arnaldo Gunziem ForgottenMath, Pesquisa Operacional, Simulação2 Comentários

Método de Monte Carlo

Este pequeno experimento visa demonstrar o efeito e perigos de fazer dimensionamento a partir da média, desconsiderando o desvio padrão. Utilizaremos o método de Monte Carlo, em Excel, para isto. Download do arquivo.

Suponha a seguinte situação. Uma fábrica produz 10 mil itens por dia, envia para um centro consumidor, e neste, 10 mil itens são consumidos por dia. Pergunta: qual o estoque necessário para suportar a demanda?

Monte01.jpg

Montando num excel, é só considerar uma coluna para produção (10 mil), outra para demanda (10 mil).
Só tem uma fórmula: estoque de hoje = estoque dia anterior + produção – consumo.

Monte02.png

Resposta: É necessário estoque zero. Nada.
Se o mundo fosse determinístico, perfeito, não seria necessário ter item algum em estoque. Produção é igual à demanda, e fim de papo.

 

Mundo não-determinístico

O único problema é que o mundo não é determinístico. É o livre-arbítrio de cada um de nós que decide o que queremos fazer, o que queremos consumir. A soma de todas essas decisões individuais é o mercado. Não controlamos o mercado. É o mercado que dita as regras, e tais regras podem ter um comportamento estatístico modelável (ou não). Para descrever este comportamento estatístico, podemos lançar mão de ferramentas como o Método de Monte Carlo.

Basicamente, o método de Monte Carlo simula o comportamento da fábrica e o do consumidor, segundo alguma distribuição estatística.

Uma normal (ou gaussiana) é completamente definida por uma média e um desvio padrão. Quanto maior o desvio padrão, maior a chance do valor observado estar mais distante da média.

Monte03.png

No mesmo caso descrito, digamos que tanto a produção quanto o consumo sejam modelados por uma normal de média 10 mil e desvio padrão de 3 mil.

Monte04.jpg

O Monte Carlo vai sortear um valor para a produção, que vai ser próximo de 10 mil, talvez um pouco para cima ou um pouco para baixo. 65% dos valores estarão entre 7 mil e 13 mil (mais ou menos um desvio padrão), 95% dos valores estarão entre 4 mil e 16 mil (dois desvios padrões). Portanto, pode haver um dia com consumo muito acima da média, mas tais ocorrências serão raras. Por haver sorteios, este método lembra um cassino, por isso o nome “Monte Carlo”, em referência ao cassino.

Em termos de modelo Excel, usamos a função genNormal(média, desvio) para simular um sorteio de uma variável aleatória normal. Esta função é do pacote Yasai, cujas fórmulas estão contidas na planilha anexa. O Yasai é um pacote open source para simulação em planilha. Alguns pacotes mais famosos são o Cristal Ball e AtRisk.

Para um trial, ou seja, uma rodada aleatória, a produção gira em torno de 10 mil, a demanda também em torno de 10 mil. Estoque inicial igual a zero. Mas o estoque varia ao longo dos dias.

Monte05.png

No gráfico, nota-se que o estoque ficou negativo a maior parte do tempo.

Monte06.png

Para um outro trial:
(para simular outro trial no excel, apertar F9).

Monte07.png

Deve-se simular o modelo diversas vezes e guardar os resultados, para ter massa de dados para compensar o efeito da aleatoriedade de um trial.

Rodando uns 1000 trials neste caso, vai dar que 50% das vezes haverá problemas de desabastecimento e 50% sem problemas.

Na média, o consumo é igual à produção, mas o problema é o desvio padrão. Para suportar tais flutuações, são necessários os estoques.

 

Digamos, um estoque de 7 mil peças dá um aumento da garantia de abastecimento. O estoque tem que ser suficiente para cobrir o efeito somado dos desvios padrões (consumo e produção).

Monte08.jpg

Deve-se variar o estoque inicial, rodar outros tantos 1000 trials, e verificar a probabilidade de desabastecimento.

A pergunta final a responder é: qual o risco que quero correr? Qual o estoque mínimo que compense o custo do desabastecimento?

  • Se o produto não for importante, pode faltar à vontade, e é necessário pouco ou nenhum estoque.
  • Se o produto for crucial, é bom que o estoque seja bem calculado.
  • Quanto maior o custo do desabastecimento, maior o estoque de segurança necessário.

 

O método de Monte Carlo pode ser utilizado para modelar situações complexas da vida real, e fornecer uma estimativa dos riscos associados. O modelo apresentado é muito simples, mas este pode ser tão complicado quanto se queira, com outras distribuições estatísticas, etc.

Ponderar Riscos x Seguros é exatamente a mesma conta de fazer o seguro do carro. Pagar o seguro é salgado, digamos 2 mil reais, mas ter o azar de ter o carro roubado é muito pior, digamos 50 mil reais.

Um seguro, um estoque, custa caro, mas vale a pena se este for dimensionado para evitar um prejuízo ordens de grandeza maior.

 

 

 

Matéria, onda, energia, bola de futebol e prof. Weis

On por Arnaldo Gunziem ForgottenMath, Theory1 comentário

​Em 1998, o professor doutor Carl Hermann Weis aplicou uma prova de química, no Instituto Tecnológico de Aeronáutica, onde havia a seguinte questão:

Qual o comprimento de onda de uma bola de futebol de massa m, numa velocidade v?

O prof Weis era considerado o maior eletroquímico do mundo na época, deu aulas no ITA por várias décadas, era uma espécie de lenda viva. Exemplo: por conta de uma prova antiga de Weis, os veteranos faziam a gente decorar era o nome completo do químico Paracelsus: Philippus Aureolus Theophrastus Bombastus von Hohenheim.

Voltando à questão do comprimento de onda da bola. É claro que a acertei, senão não estaria aqui falado sobre ela. Mas acertar a questão significava decorar a fórmula certa, interpretar as variáveis e aplicar a mesma, de forma mecânica. Não tínhamos tempo para compreender o que isto significava.

São conceitos bem esquisitos envolvidos.

  • Uma bola é algo físico. É matéria, tem peso, dá para tocar. É um tijolinho, um átomo no sentido de Demócrito.
  • Frequência e comprimento de onda são conceitos de ondas: energia elétrica, som, luz, ondas de rádio.

Matéria não tem comprimento de onda ou frequência. E uma onda não tem peso, não dá para tocar ou chutar.

https://i1.wp.com/images.tutorvista.com/cms/images/38/wave-particle-duality-of-light.PNG

Uma bola de futebol não é um sinal de TV… Era o que se pensava, até que, no começo do século passado, a teoria quântica sugeriu que a luz se comporta ora como partícula, ora como onda. Era a dualidade onda-partícula.

Portanto, a luz era uma onda eletromagnética, mas de vez em quando era partícula também. Ora era como luz ora como uma pedrinha minúscula.

Albert Einstein foi um dos primeiros a tentar explicar um comportamento estranho da luz utilizando o fato de que às vezes esta é uma onda, às vezes uma partícula. Einstein tem um prêmio Nobel de Física, mas o ganhou por conta do efeito fotoelétrico, não por causa da Teoria da Relatividade.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/77/Photoelectric_effect.png/222px-Photoelectric_effect.png

Ok, essas coisas esquisitas ocorrem a nível de partículas subatômicas, então isto não muda nada na nossa vida… será?

Até que, nos anos 1920, um candidato a doutor na Universidade de Sorbonne, França, chamado Louis de Broglie, apresentou uma tese muito mais maluca. Já que a luz é uma onda e pode ser partícula às vezes, o inverso pode ser verdadeiro também.

Uma partícula, como uma bola, também pode ser comportar como onda, como a luz. Ele estendeu o comportamento bizarro da luz para todas as partículas.

A tese foi rotulada como maluca, e não foi aceita. E também era muito simples, poucas páginas, e acadêmicos gostam mesmo de um bostejo infinito que não leva a nada.

Até que de Broglie enviou a mesma para Einstein, que achou a ideia genial. Com o suporte de Einstein, o pessoal da Sorbone aceitou a tese, e anos depois de Broglie ganhou um Nobel de Física.

Voltando à pergunta da prova, a resposta da mesma era aplicar a equação de de Broglie. E ela também mostra que a hipótese do de Broglie vale para todos os objetos, inclusive os macroscópicos!

Esta ideia de dualidade dá margem a várias especulações possíveis.

  • Se somos feitos de partículas sólidas, mas tais partículas podem ser ondas, então podemos ser ondas de vez em quando?
  • Seríamos feitos de energia, uma energia confinada? Mas, o que é energia exatamente? Uma onda congelada? Ou a onda é uma partícula livre?
  • O que é um pensamento? É um monte de sinais elétricos em nossa cabeça, indo e vindo por redes neurais? Mas, sendo ondas, seria possível que a nossa cabeça entre em ressonância com outras ideias e outras cabeças que estão no ar, assim como ondas de rádio? Seríamos feitos de pensamento?
  • Ou seria como disse Buda, “Nós somos o que pensamos”.
  • Será que existe a alma? Um corpo que acabou de morrer tem exatamente o mesmo número de átomos de um corpo vivo. Mas há algo diferente, porque o corpo não se mexe sozinho. Esta alma, seja o que for, não é material, não tem peso. Seria uma espécie de onda? Seria alguma outra coisa que não temos a menor ideia do que seja? Aliás, isto também tem um nome, dualidade corpo-alma.

Lembrando que tudo aqui é teoria. Pode ser que, no futuro, surjam outras.

Citando Shakespeare, “Há muito mais no Céu e na Terra do que sonha a nossa vã filosofia”.

 

O prof Weis faleceu em 2013, segundo o site do Wikita. Ele sempre dizia que deveria viver duas vezes, uma para estudar e outra para ganhar dinheiro. E esta vida ele tinha utilizado para estudar. Quem sabe, na próxima!

 

Nota: Não lembro se realmente tal questão caiu numa prova ou a fonte foi um bizu antigo. Mas coloquei que acertei a mesma, porque acertaria na época. Tem a resposta deste site.

https://socratic.org/questions/what-is-the-de-broglie-wavelength-of-a-ball-with-a-mass-of-0-20-kg-when-it-strik

 

Outros links:

https://en.wikipedia.org/wiki/Louis_de_Broglie

http://www.aeitaonline.com.br/wiki/index.php?title=Aulas_do_Prof_Weis

http://www.aeitaonline.com.br/wiki/index.php?title=Carl_Herrmann_Weis

 

Feliz ano novo em VBA

On por Arnaldo Gunziem Administração, ForgottenMathDeixe um comentário

Cartão de ano novo em VBA. Um presente para os leitores deste espaço.

Baixe do Google Drive e clique em “gerar”, para ver a mensagem. As macros devem estar ativadas.

https://drive.google.com/open?id=1AlmxLJCevUlJkMa52aWoOauLxJPzA5-8

Do meu blog de Excel-VBA.

Um cartão de ano novo com flores e imagens bonitas é para os fracos.

Bom mesmo é um cartão em Excel VBA. Baixe a planilha no link abaixo, e clique em “Gerar” para ver a mensagem. As macros devem estar ativadas. https://drive.google.com/open?id=1AlmxLJCevUlJkMa52aWoOauLxJPzA5-8

via Cartão de ano novo em VBA — Ferramentas em Excel-Vba

​O amante Halley

On por Arnaldo Gunziem ForgottenMathDeixe um comentário

A Terra tem um amante, que a visita precisamente a cada 75 anos para lhe dar um beijo na bochecha.

Quando eu tinha uns 7 anos, em 1986, a notícia de que o cometa Halley viria nos visitar estava em todos os jornais e na TV. Se perdêssemos esta chance de vê-lo, só teríamos outra daqui a 75 anos.

Naquela época, eu pensei: “Como é que sabem que ele passa exatamente a cada 75 anos? Ninguém vive tanto tempo para ver o cometa passar várias vezes para ter certeza.”

E, com a precisão de um relógio, lá estava o cometa. Majestoso, com sua cauda característica, a brilhar no céu. Para falar a verdade, nunca vi o tal cometa, talvez por ser muito pequeno na época. Só vi umas fotos na TV.

 

Edmond Halley era um astrônomo, contemporâneo do grande físico Isaac Newton, no final dos anos 1600 e começo dos anos 1700.

Era a época das grandes descobertas astronômicas. Copérnico tinha tirado a Terra do centro do universo. Kepler tinha descoberto que a trajetória dos planetas era elíptica. Newton tinha descoberto as leis fundamentais da mecânica, que governam tanto a maçã que cai em sua cabeça, quanto a força de atração entre estrelas.

https://thonyc.files.wordpress.com/2016/05/newton.jpg?w=500

https://ideiasesquecidas.files.wordpress.com/2017/08/73b00-1448971600261.jpg?w=314&h=394
Um dos primeiros logos da Apple computer foi uma maçã do Newton

Isto tudo não era por acaso. Se hoje a tecnologia disruptiva é a computação, na época era a ótica. Algumas dezenas de anos com avanços tecnológicos impressionantes possibilitaram a criação de instrumentos óticos (telescópios e microscópios) cada vez mais sofisticados. A partir daí, uma legião de astrônomos começou a mapear os céus, criando uma base de dados. Esta base de dados possibilitou o cálculo como as trajetórias de Kepler.

A contribuição de Halley, especificamente, está na descrição que ele fez de 23 cometas: trajetórias, luminosidade, características.

Ao fazer este trabalho, ele notou um padrão – aliás, se fosse para descrever a ciência em um termo, eu usaria descoberta de padrões. Um corpo celeste muito parecido tinha feito a mesma trajetória nos anos de 1531, 1607 e 1682. A do ano de 1682 ele mesmo viu. A dos outros anos, por descrições em livros antigos.

Se os planetas giram em torno do Sol, por que os cometas seriam diferentes? Alguns deles devem girar em torno do Sol também – este era o pensamento de Halley. As três aparições não seriam de três corpos diferentes, mas sim do mesmo cometa.

Assim, ele calculou a trajetória do cometa e postulou que o mesmo apareceria em 1758. Ele não chegou a viver o suficiente para ver o seu cometa, mas precisamente no dia e hora do encontro, lá estava ele.

 

É como se fossem os ponteiros do relógio. Um grande, que gira em uma velocidade e trajetória, e um pequeno que gira em outra velocidade e trajetória. Mas sabe-se que exatamente à meia-noite eles se encontram e se tornam um.

halleytrajectory.JPG

 

Na história “Homens de boa fortuna” da série Sandman, há um personagem chamado Hob Gadling. Ele fez um trato com Sandman. Ele seria imortal e não envelheceria, bastando para isso ter um encontro com o mestre dos sonhos a cada 100 anos. A cada encontro em 100 anos, ele conta o que fez, os países que visitou, como fugiu para retornar anos depois fingindo ser o seu próprio filho…

O cometa Halley e a mãe Terra se encontram a cada 75 anos, e Halley conta as fofocas de Júpiter, as novidades do cinturão de Kuiper, e o surgimento de mais um anel de Saturno. Deve ser uma conversa interessante.

A próxima visita de Halley será precisamente no dia 28 Julho de 2061. Espero estar por aqui para rever este grande amigo.

 

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Halley%27s_Comet

https://oglobo.globo.com/sociedade/ultima-passagem-do-cometa-halley-pelo-sistema-solar-completa-30-anos-18640940

https://en.wikipedia.org/wiki/Edmond_Halley

 

Onde está o cometa Halley?

Puzzle dos leões, da raposa e do coelho

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Suponha que numa região haja N leões.

Eles têm conhecimento perfeito de quantos leões existem e de que todos tomam decisões perfeitamente lógicas. Cada leão é tão forte quanto os outros, impossibilitando um combate direto entre eles.

https://i0.wp.com/ngm.nationalgeographic.com/serengeti-lion/assets/i/index/Coalition-index_lo.jpg

 

Uma raposa quer atravessar a região. Ela sabe que os leões estão famintos. Mas também sabe que, se um leão comer algo, ficará fraco, e poderá ser devorado por outro leão.

 

Cada leão prefere salvar a vida a devorar uma presa e ficar vulnerável. E cada leão prefere devorar a presa, caso possa fazer isto sem o perigo de ser devorado.

 

A raposa pode, opcionalmente, levar um coelho na jornada. Se um leão avançar, a raposa joga o coelho ao leão, e isto dá tempo suficiente para ele atravessar a região.

 

Se um leão estiver comendo o coelho, e a raposa estiver livre, um segundo leão prefere atacar o primeiro leão com o coelho, assim conseguindo uma refeição e eliminando um concorrente (isto se o segundo leão tiver certeza de que não ficará vulnerável aos demais).

 

Se tiver opção, o leão prefere devorar o coelho à raposa, pelo coelho ser mais apetitoso.

 

A pergunta: qual a estratégia para a raposa se safar, para cada valor possível de N?

 

Este puzzle é baseado em outro, porém com um coelho a mais de dificuldade.

Resposta em uma semana.

 

Um sujeito anormal procurando um número interessante

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Após tirar esta foto, do prédio escrito “normal”, o sujeito anormal da foto – eu – lembrou-se de um paradoxo “interessante”.

IMG_4316.JPG

Suponha que eu liste os números naturais em ordem:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • …

Agora vamos dizer algum fato interessante sobre cada um dos números:

  • 1 É o primeiro número de todos, é divisor de todos os outros
  • 2 É o primeiro e único número primo par
  • 3 É o primeiro primo ímpar
  • 4 É o primeiro quadrado perfeito
  • …

Digamos que os números que têm alguma propriedade interessante sejam chamados de números “interessantes”.
E os números que não são interessantes sejam os números “normais”.

Utilizando esta definição, a lista ficaria assim:

  • 1 É um número interessante
  • 2 É um número interessante
  • 3 É um número interessante
  • 4 É um número interessante
  • …

É uma lista que parece possível de fazer.

Agora, suponha que o número x seja o primeiro número “normal” da lista.

  • 1 É um número interessante
  • 2 É um número interessante
  • 3 É um número interessante
  • 4 É um número interessante
  • …
  • x É um número normal
  • …

Mas, se x é o primeiro número “normal”, ele é um número “interessante”, porque ele tem uma propriedade interessante: a de ser o primeiro número “normal”.

Por outro lado, se considerarmos x um número “interessante” por ter a propriedade de ser o primeiro número “normal”, ele deixa de ser um número “normal” e passa a ser “interessante”, assim perdendo a propriedade de ser o primeiro “normal” e deixando de ser “interessante”…

Que confusão! Não é “interessante”?

Para falar algo interessante, este problema tem o nome de “Paradoxo dos números de Richard”, descrito pelo matemático Jules Richard em 1905.

Este link (https://en.wikipedia.org/wiki/Richard%27s_paradox) conta mais detalhes sobre o paradoxo de Richard, mas de forma menos interessante do que neste espaço.

Um outro paradoxo semelhante é o “Paradoxo do mentiroso”. Um homem que só conta mentiras diz “Estou mentindo”. Porém, como ele só mente, ele estará dizendo a verdade nesta afirmação. Mas se ele falar a verdade, ele não é alguém que só conta mentiras.

Esses paradoxos “bugam” não só a cabeça de um ser humano comum, mas também a cabeça dos maiores matemáticos da história.


O matemático austríaco Kurt Godel abalou as fundações de toda a matemática, em 1931, ao provar que a matemática não pode ao mesmo tempo ser Completa e Consistente, com seus Teoremas da Incompletude. Ou seja, a matemática tem limites. Godel encontrou um “bug” nas fundações da matemática – ela não consegue ao mesmo tempo se livrar desses paradoxos bizarros e responder Verdadeiro ou Falso a todas as suas proposições. Godel utilizou um versão sofisticada do Paradoxo de Richard para provar isto.

É uma longa história, que envolve gigantes do pensamento como David Hilbert e Bertrand Russell, e esta história fica para outro dia.

A propósito, eu acho que o autor do jogo de luzes do prédio escreveu “normal” de uma  forma “interessante” só para o prédio não ser mais “normal” e assim confundir a nossa cabeça…

 

IMG_4315.JPG

Nunca mais erre uma fórmula: análise dimensional, álgebra e ideogramas

On por Arnaldo Gunziem ForgottenMathDeixe um comentário

​Análise Dimensional

Um peso mexicano vale 0,17 real. Comprei 1.300 pesos. Quanto gastei em reais?

Há muito tempo atrás, eu me perguntava: a conta seria 1300*0,17 ou 1300/0,17?
A “análise dimensional” resolve facilmente esta dúvida.
Formula1.png
Peso corta com peso, sobrando real.
Se eu fizesse a conta oposta:

Formula2.jpg
O resultado é na unidade peso^2 / reais. Esta unidade não faz o menor sentido, então a fórmula está errada.
A análise dimensional consiste em fazer a conta algébrica com as unidades de medida, “cortando” e multiplicando as unidades.

Conheço esta técnica há tanto tempo que achei que todos a soubessem. Mas, descobri o oposto: a maioria das pessoas não conhece a análise dimensional. É uma técnica tão boa que não posso deixar de divulgá-la neste espaço.

Outro exemplo:

Tenho 20 m2 de área. Em um metro quadrado cabem em média 70 kg de uma material, digamos café. Cada quilo encolhe 10%, por conta de evaporação de água. Vendo o café por R$ 300 o saco de 5 Kg. Quanto será a receita esperada para a minha área?

Pela análise dimensional, é só montar a equação de forma a fazer todos os intermediários se cortarem:

Formula3.jpg

Álgebra x Aritmética
Qual a diferença entre Álgebra e Aritmética?
Em álgebra a gente faz a conta com letras, ou seja, de forma genérica: ax^2+bx+c = y

Em aritmética, a conta é numérica: 5*7^2 + 8*7-10 = 291.

Portanto, a aritmética estuda as regrinhas com as quais a gente faz as contas, enquanto a álgebra trata regras mais abstratas.

Algebrizando ideias não algébricas

Aproveitando o post algébrico, que tal inventar umas fórmulas?

Digamos que felicidade seja diretamente proporcional à saúde e à harmonia e inversamente proporcional ao stress.

Poderíamos escrever

Felicidade = saúde * harmonia – stress

Ou

Felicidade = saúde * harmonia /stress

Ou

Felicidade = saúde + harmonia – stress

Ou alguma outra combinação dessas. Qual a fórmula que melhor descreve a relação entre variáveis?

Quando usamos “vezes”, é como se fosse um conectivo lógico “e”. Se um dos campos zera, o resultado final é zero.

Com zero saúde minha felicidade cai a zero, não há harmonia que compense, e vice-versa.
Já quando usamos “mais”, as coisas se somam, e o excesso de um compensa o outro – equivale ao conector lógico “ou”.

Se a felicidade da saúde e harmonia for menor do que a infelicidade causada pelo stress, ainda assim estou um pouco feliz.

Portanto, por este raciocínio, a fórmula seria:

Felicidade = saúde * harmonia – stress

Isto é apenas um exercício de interpretação de fórmulas, mas note que felicidade é independente de dinheiro.

Bom em chinês

O ideograma (hanzi) chinês para “bom” é quase uma fórmula. É um ideograma formado por outros hanzi: o de mulher e de filho. Bom é ser casado e ter família.

 

Sábias palavras…

​Dúvida sobre a física dos sons

On por Arnaldo Gunziem ForgottenMath1 comentário

Tenho uma pergunta, sobre física dos sons, que nunca consegui responder plenamente.

O som é uma onda, que tem uma amplitude e frequência, como na figura a seguir. Aliás, o comprimento de onda é o inverso da frequência, das aulinhas de física.

wave-959ca14b.png
Nossos ouvidos ouvem sons numa determinada faixa de frequências (20 Hz ~20.000 Hz). Tanto as frequências abaixo quanto acima, não são captadas.

Por outro lado, se o som tiver uma amplitude muito alta, como a explosão de uma bomba, o tímpano de uma pessoa pode se romper.

Pergunta:

O que acontece se eu colocar o som numa amplitude extremamente elevada, a ponto de furar os tímpanos, mas numa frequência inaudível?

O tímpano vai ser prejudicado devido à energia que esta onda carrega? Ou
a onda vai se anular, e nada acontece?

Tentativa de resposta

Tenho uma tentativa de resposta, mas não tenho convicção sobre a mesma.

O som é um fenômeno puramente físico. O tímpano é como se fosse uma membrana de um tambor, que vibra devido à vibração do ar.

Snare_drum_clean.jpg

Se um som tiver frequência alta demais, o tímpano não tem tempo de reagir à excitação. Quando a membrana é excitada para “subir”, já está na hora de “descer” novamente, ou seja, a onda se anula. Portanto, para frequências muito altas, uma amplitude alta não vai explodir os tímpanos.

Timpano.jpg

O tal de “ultrassom” é isso, uma onda acima do que conseguimos ouvir. Mas, embora o tímpano não responda ao ultrassom, alguma coisa dentro do corpo responde, no sentido de refletir a onda sonora. Portanto, mesmo não explodindo o tímpano, vai explodir alguma coisa dentro do corpo humano, que tem um comprimento de onda pequeno o suficiente (ou seja, um material denso o suficiente) para entrar em ressonância com esta onda.

E se o som tiver frequência abaixo do que ouvido consegue captar? O limite inferior audível teoricamente é menor do que 20 hz. Mas 20 Hz é praticamente zero, para a escala sonora.  Na prática, um som em baixa frequência e alta amplitude vai explodir o tímpano, por estar na fronteira da faixa audível ao ser humano.

​

E a visão?

Podemos fazer a mesma pergunta, mas em relação à enxergar. Nós enxergamos uma faixa de frequências. E ficamos cegos se olhar para o Sol, por exemplo. E uma exposição a uma grande amplitude numa faixa invisível, vai nos cegar ou não?

Trilha sonora:

Com tantas ondas sonoras e eletromagnéticas, uma boa música para acompanhar este post: Wave – Tom Jobim

Udacity self-driving car preview

On por Arnaldo Gunziem ForgottenMathDeixe um comentário

Eis aqui uma grande oportunidade. Para aqueles curiosos sobre o nanodegree de carros autônomos da Udacity, aqui está um preview, para acessar o conteúdo do curso, por tempo limitado.
http://blog.udacity.com/2017/04/free-sneak-preview-self-driving-car-nanodegree-program.html

Divirta-se.

​ O maior trote científico da história

On por Arnaldo Gunziem ForgottenMath, InovaçãoDeixe um comentário

“Treino é treino, jogo é jogo”, já dizia o ditador popular futebolístico.
 

treinoetreino-468x630.jpg
 

Num treino ninguém tem o mesmo nível de seriedade, de stress, de um jogo de verdade.

 

Agora, imagine um time que tem um jogo a cada dez anos. Mas este jogo pode ocorrer a

 

qualquer momento, inesperadamente. Ou seja, para ganhar tem que estar preparado. Mas como se preparar só treinando, sem jogar?

 

É mais ou menos isso que acontece em alguns eventos da vida real. Uma oportunidade de uma vida surge em um momento, e quem estará preparado para tal?

 

 
LIGO
 
O mesmo problema aconteceu num dos maiores projetos do mundo contemporâneo: o Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory (LIGO), que detectou as ondas gravitacionais de Einstein. A história completa encontra-se neste link: http://nautil.us/issue/42/fakes/the-cosmologists-who-faked-it, pelos pesquisadores Jonah Kanner e Alan Weistein, e a solução deles é surpreendente.

 

O projeto LIGO foi construido para capturar as tais ondas gravitacionais de Einstein. Elas tinham sido previstas há 100 anos, mas até o momento ninguém havia conseguido construir equipamentos sensíveis o suficiente para captá-las.
 
O LIGO consiste em 2 detectores gigantescos em formato de L com braços de 4 km, mantendo vácuo interno, e com espelhos refletindo raios laser, ao custo de alguns bilhões de dólares.

 
 
ligo-Aerial5.jpg
 
Portanto, imagine o problema. Um equipamento gigantesco, projetado para capturar onduletas minúsculas a bilhões de anos-luz de distância, sem que ninguém saiba exatamente se elas serão mesmo capturadas, quando aparecerão, e qual o formato delas… É a situação descrita, de treinos eternos por dezenas de anos, até que um dia pode (ou não) ter o jogo real.
 

O “trote”
 
A solução: aplicar um “trote” em si mesmos.
 
Em 2009, os pesquisadores criaram um mecanismo na qual uma equipe pequena (5 pessoas) poderia criar um evento falso. Eles poderiam adicionar secretamente um sinal simulando a tal onda gravitacional, e enganar o resto do time. Esta equipe secreta deveria manter sigilo absoluto nesta operação, sendo que nem a alta gerência poderia saber se a informação detectada era fake ou não.
 
Ligowaves.jpg
 
Toda a equipe de pesquisa sabia que havia a possibilidade de sinais falsos serem propositalmente gerados, mas não saberiam se um sinal específico era verdadeiro ou falso. Este mecanismo é muito bom, porque obriga que os pesquisadores façam um check duplo, triplo, quádruplo, em todas as hipóteses imagináveis: erro nos sensores, ruído vindo de alguma outra fonte, problemas mecânicos nos equipamentos, erros de interpretação, etc… Seria uma forma de policiar a si mesmos, já que é muito fácil cometer um erro nesta situação.
 
Eis que, em setembro de 2010, o LIGO captou um sinal. Era um sinal diferente de todo ruído terrestre até então captado. Os pesquisadores se movimentaram, concluíram que era um evento estranho, e passaram a investigar o mesmo a fundo. Chamaram este sinal de “Cachorro Grande”, por esta ter ocorrido na direção da constelação de “Canis Major”.
 
Assim, pelos próximos 6 meses os pesquisadores diretamente ligados ao LIGO, e uma rede de mais de 700 pesquisadores ao redor do mundo, passaram a investigar todos os detalhes do evento “Cachorro Grande”. Seria um erro de medida? Seria isto real? Haveria problemas no hardware? Erro de interpretação? Como fazer para tanta gente assim concordar com as conclusões de uma investigação tão fora da realidade quanto esta?
 
Em março de 2011, após infindáveis discussões, eles tinham fechado um artigo descrevendo o evento de detecção de ondas gravitacionais. Um grupo de mais de 300 cientistas se reuniu num hotel na Califórnia, com mais algumas centenas conectados pela internet, e votaram a submissão do artigo para uma revista científica. Após inúmeros discursos, contestações, divagações, eles finalmente aprovaram a publicação do artigo.
 
Então o diretor do Laboratório LIGO, Jay Marx, tomou o palco. Ele estava carregando um envelope no seu bolso havia seis meses. O envelope continha a verdade, sobre os dados serem falsos ou não. Seria a diferença entre um prêmio Nobel ou alguém rindo da cara deles. E, finalmente, ele abriu o envelope, para dizer que esses dados eram falsos, injetados artificialmente.
 
Os pesquisadores abriram champanhe, assim mesmo. Se o jogo não foi jogado, pelo menos tinha sido um treino da mais alta intensidade, capacitando-os para um futuro jogo real.
 

O Jogo Real
 
Cinco anos depois, no final de 2015, os detectores do LIGO captaram um sinal diferente de tudo o que já tinham visto antes.
 
Eles tomaram como base o checklist e os questionamentos do trote de 5 anos atrás, para a checagem de tudo o que seria possível. E o sinal passou por todos os critérios. Desta vez, não era um trote programado. Eram as ondas gravitacionais, com nível de confiança de 99.9999 porcento.
 
Cinco meses depois, eles tinham plena confiança de que finalmente tinham conseguido detectar as tais ondas gravitacionais. Após algumas dezenas de publicações, (https://www.ligo.caltech.edu/page/detection-companion-papers), eles anunciaram publicamente a descoberta das ondas gravitacionais (e o ponto alto de suas carreiras é que ganharam um post neste blog, sobre as ondas gravitacionais, clicando aqui).
 
Como se preparar para um grande jogo, que acontece esporadicamente ou nem venha a acontecer? Uma das formas é com simulações do jogo, assim como fazemos simulados de cursinho para o vestibular.

  

Solução do Desafio do Penrose Institute

On por Arnaldo Gunziem ForgottenMath7 Comentários

Neste post, foi apresentado o interessante Desafio do Instituto Penrose. Interessante porque os melhores supercomputadores não conseguem resolver, mas é mais ou menos simples para um ser humano.

https://ideiasesquecidas.com/2017/03/30/desafio-do-penrose-institute/

instituteoff
Brancas jogam e empatam ou vencem

A chave é perceber que as peças Pretas estão travadas. As únicas peças que se movem são os bispos pretos, que não ameaçam o Rei Branco enquanto o mesmo estiver numa casa branca.

Portanto, basta o Rei Branco ficar andando aleatoriamente pelas casas brancas. Nunca será ameaçado. Após enfadonhos 50 movimentos de cada lado, o jogo será considerado empatado pela regra abaixo.

Regra dos cinquenta movimentos: é considerado empate se não há captura ou movimento de peão nos últimos 50 movimentos de cada jogador.

Podem existir outras respostas, afinal, a imaginação humana é inigualável!

Alguma outra solução?

Solução alternativa. A solução do petista.

Discutir com petista é como jogar xadrez com pombo. Ele vai derrubar as peças, cagar no tabuleiro e sair cantando vitória.

 

Atualização:

Veja a solução do prof. Aílton, que postou um link de sua resposta nos comentários deste blog.

 

 

Atualização 2: O meu amigo Marcos Melo recebeu a resposta oficial do Instituto Penrose sobre o desafio. Não achei um link para o mesmo, portanto posto abaixo prints do e-mail recebido.

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Veja também:

Estratégias do xadrez para a vida