O experimento da fenda dupla

Que tal reproduzir em casa um dos experimentos de física mais famosos de todos os tempos?

Em 1801, o físico Thomas Young provou que a luz se comporta como uma onda, ao fazer o experimento da interferência da fenda dupla – em inglês, double slit interference. As consequências foram tremendas, mudou completamente a ideia dos cientistas sobre a luz.

 

 

Hoje em dia, qualquer um pode reproduzir tal experimento em casa, sem fazer muita força.

É necessário apenas um ponteiro laser e um pedaço de papel cartão.

 

IMG_0551
Ponteira laser, verde, 512 nm

 

Peguei um pedaço de papel grosso, e com um estilete simples, fiz uma fenda única, e a fenda dupla (colocando 1 mm de espaço entre fendas).

Fendas.png

 

Apontando o laser direto para a parede acontece isto, como qualquer um que já brincou com ponteiras laser sabe:

SemFenda.png

 

Apontando o laser verde através da fenda única deu o seguinte resultado:

singleslit.jpg

 

Passando o laser pela fenda dupla, algo semelhante.

doubleslit.jpg

Note em ambos os casos, o padrão de interferência: a luz é mais forte em alguns pontos e nula em outros – parece uma linha tracejada.

A explicação de Young foi que a luz se comporta como uma onda passando pelas fendas, e gerando o padrão de reforçar ou anular as amplitudes. Vide https://en.wikipedia.org/wiki/Double-slit_experiment para mais detalhes.

No caso da fenda única, o argumento é mais ou menos parecido. Mesmo com uma fenda apenas, cada ponto de luz ao longo da largura da fenda forma uma fonte. (https://www.khanacademy.org/science/physics/light-waves/interference-of-light-waves/v/single-slit-interference)

Colocando as duas fotos juntas:SingleDoubleSlit.png

No single slit é um pouco mais difícil perceber o padrão de interferência, com distância entre picos menores, e o brilho do centro é maior.

 

Um detalhe que eu não tinha percebido, quando li sobre como fazer a experiência. Fiz as fendas na horizontal, e o padrão resultante apareceu na vertical! Algo como no diagrama a seguir.

 

Fendas

Pensando bem, faz sentido. Se fiz  a fenda na horizontal, ao longo de toda esta horizontal, a luz pode passar, então é como se não tivesse fenda alguma. É ao longo da vertical que há uma barreira física de verdade. Experimento prático é para isso mesmo, para perceber detalhes que passariam despercebidos olhando só para teoria.

Outra variação. Reproduzi o experimento com uma lanterna, e não deu nada. Isto era esperado. A luz é composta por várias cores e mesmo dentro da mesma cor, há várias fases aleatórias – ou seja, tudo interfere com tudo e não vemos padrão.

Para dar certo, não pode ser uma luz qualquer. A luz emitida tem que ser monocromática (uma cor apenas) e coerente (as ondas na mesma fase). Como o Young gerou esta fonte de luz há 200 anos atrás, eu não sei exatamente, mas certamente ele teve muito trabalho.

Este experimento é uma dos pilares da ótica, e uma variação extremamente interessante deste (colocando detectores para saber por qual fenda a onda vai) deu origem aos questionamentos da física quântica, que até hoje estão sendo discutidos. Vou tentar reproduzir a mesma, algum dia.

 

O impressionante é que, no mundo contemporâneo, é possível fazer um laboratório de física sem sair de casa. O laser, made in China, eu comprei num stand shop de eletrônicos da Av. Paulista por R$ 30,00. Um laser, um papel cartão e um estilete foram tudo o que precisei para reproduzir o experimento. Imagine o que Isaac Newton faria hoje!

 

 


 

Links

https://www.khanacademy.org/science/physics/light-waves/interference-of-light-waves/v/single-slit-interference

http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/interference/doubleslit/

Como resolvi o cubo Skewb

O cubo Skewb é esta belezinha da foto. É tipo um cubo mágico, porém, as peças se movimentam nas diagonais.

Skewb01.jpg

 

O cubo é importado da China, e vem com um manual de instruções. A primeira coisa que fiz foi jogar fora o manual de instruções. Qual a graça de ter um quebra-cabeça se ele já vem montado? Ou fazer uma prova sabendo as respostas? O divertido é inventar as suas respostas, que talvez sejam até melhores do que as do fim do livro. Reinventar a roda.

 

A internet está cheia de respostas corretas, basta procurar. Entretanto, há pouquíssima ou nenhuma informação sobre como raciocinar. Esta página tem a pretensão de ajudar a preencher esta lacuna, ao reproduzir o processo cognitivo de tentar encontrar a solução do Skewb.

 

O método para resolver cubo Skewb pode ser reduzido a uma sentença: identificar padrões. Isto é válido para qualquer tipo de cubo – reconhecer e aplicar padrões. De preferência, padrões que variem o mínimo possível de peças, para que possamos facilmente entender o efeito – chamo isto de “padrão invariante”.

Para enfatizar: reconhecer padrões vale tanto para o Skewb quanto para um cubo 1000 x 1000 x 1000! A diferença é que o cubo gigante vai ser um pouco mais complicado…

O Skewb é mais complexo de resolver do que o Pyramix, porém mais simples do que o cubo de Rubik tradicional. Vide post sobre poliedros mágicos.

Pyramix

Portanto, é um bom exemplo para mostrar como se raciocina para resolver este tipo de problema. Vamos lá.

 

 


 

Passo 1: O Skewb – análise preliminar

“Skew” significa em inglês algo diagonal, enviesado. O “b” de “skewb” deve ser para ficar sonoramente parecido com “cube”, mas é chute meu.

 

Este quebra-cabeça consiste de um cubo, de seis lados, cada lado com uma cor: branco, vermelho, verde, azul, amarelo e laranja.

Diagrama esquemático. Há seis peças de centro, os losangos do meio, cada um com cor diferente.

Há oito peças de canto, cada uma tem três cores – três triângulos formam uma peça, no diagrama simplificado.

Diagram01.png

As cores e a posição relativa das cores coincide com o cubo Rubik tradicional, o que é bom, não precisa decorar de novo.

 

Skewb02.jpg
Exemplo do movimento R

 

Passo 2: Notação dos movimentos

Após brincar bastante com os cubos, proponho a seguinte notação para os movimentos. É a mesma lógica do movimento do cubo de Rubik tradicional.

Tomando como referência o quadrado branco, visto na diagonal. O movimento padrão é no sentido horário.

R (Right)
L (Left)
B (Back)
F (Front)

Diagram02.png

Exemplo. O movimento R dará o seguinte diagrama.

Diagram03.png

Foto correspondente:

Skewb02.jpg

O movimento com linha (‘) é no sentido anti-horário.
R’
L’
B’
F’

Diagram04.png

Exemplo do diagrama R’:

Diagram05_RLinha.png

 

 

O movimento com exponencial indica o número de repetições do movimento. R^2 = R seguido de outro R. Porém, R^2 vai ser idêntico a R’.
R^2 = R’
L^2 = L’
B^2 = B’
F^2 = F’

Há apenas dois movimentos possíveis em cada lado, no terceiro movimento, volto para a posição original – abaixo, I significa Identidade, ou seja, voltei ao início.

R^3 = I
L^3 = I
B^3 = I
F^3 = I


 

Passo 3: Reconhecendo padrões

A metologia: partir do cubo montado, aplicar possíveis movimentos e anotar os efeitos.

Trabalhar com o cubo já embaralhado torna quase impossível entender o que acontece. O problema é que as vezes a gente se perde, e não sabemos voltar para o cubo arrumado. No caso do cubo Skewb, era fácil desmontar o mesmo (chamado ironicamente de método da chave de fenda), e voltar para a posição inicial. Usei o mesmo algumas vezes, para conseguir entender os padrões.

O divertido agora é mapear combinações dos movimentos, digamos, RL – R^2L – RLRL – RBRB – RLRLRL – RBRBRB, assim sucessivamente, e ver o que acontece.

O algoritmo em geral, é: faça o movimento – veja o que aconteceu – anote.

Algumas séries têm efeito tão complicado (digamos, mudando 8 peças de posição), que tornam impossível decorar o efeito delas – a não ser que eu seja um computador, o que não é o caso.

Exemplo: O movimento RL é tão complicado que não dá para decorar todo o seu efeito.

Diagram06_RL.png

Foto da visão frontal e virando do outro lado:

FotoRL.png

 

Outras séries podem mudar poucas peças (digamos, apenas três), o que fazem elas merecedoras de maior atenção.

Fique com os movimentos mais invariantes, aquelas que mudam o menor número de peças possíveis, anotando num caderno o efeito delas.

Após inúmeras horas brincando com estes movimentos, podemos mapear alguns resultados interessantes.

O movimento Troca centros 1 (por falta de nome melhor) troca apenas apenas a posição de centros de quatro peças – bem melhor, por exemplo, que a confusão do movimento RL acima.

Diagram07_TrocaCentros1.png

FotoCentros02.png

Note um padrão. R’B’ seguido de RB – repita três vezes seguidas. Ou seja, de certa forma, faço um movimento e depois desfaço o mesmo, e sigo fazendo isto até chegar em alguma coisa interessante (se não chegar em nada novo, desisto e volto para o começo).

Descobri também que a série (RB’)^9 dá o mesmo resultado, só que com mais movimentos.

Pode parecer fácil olhando o resultado final, mas fiquei trabalhando por muito tempo até chegar a este primeiro movimento invariante.

 

O movimento Troca centros 2 é ligeiramente diferente, (R’B) seguido de (RB’), três vezes – note a simetria, o movimento de ida e de volta.

Este vai trocar os centros, mas centros difentes.

Diagram08_TrocaCentros2.png

 

O terceiro padrão interessante é o (RL)^9. Tem um efeito ligeiramente mais complicado, mexendo em 5 centros ao invés de 4.

Diagram09_TrocaCentros3.png

Foto04.png

Padrão análogo, mas mudando a ordem.

Diagram10_TrocaCentros4.png

 

Pois bem, nota-se que é fácil mudar as peças de centro. Portanto, parece fazer sentido primeiro arrumar as peças de canto, e depois arrumar as peças de centro seguindo os movimentos invariantes acima.

 

Portanto, vamos concentrar em encontrar alguma solução para as peças de canto.

 

Infelizmente, após muito buscar, não achei solução fácil. O jeito foi adaptar uma solução difícil, ignorando os efeitos nas peças de centro (já que serão resolvidas depois).

Diagram11_TrocaCantos01.png

Foto05.png

Pintando de preto os centros que não interessam (por que serão resolvidos pelos movimentos de troca de centro), o movimento (R’BRB’) mantém os cantos superiores inalterados, enquanto gira os inferiores. Como a representação acima é péssima para visualizar isto, segue abaixo um diagrama esquemático do efeito.

Diagram12_TrocaCantos01.png

O diagrama é uma visão de cima, do topo para baixo, mostrando apenas as peças de canto. O quadrado do meio são as peças da camada superior, e o quadrado maior, das peças inferiores.

r1 = rotaciona uma vez (120 graus)

r2 = rotaciona duas vezes (240 graus)

 


 

Passo 4: Juntando tudo na sequência correta

Os movimentos acima são suficientes para resolver o Skewb. Falta saber aplicar a sequência correta.

Das séries obtidas, nota-se que mudar os centros de posição é mais simples do que rotacionar os cantos. Portanto, a sequência para arrumar o Skewb é

a) Posicionar as peças de canto no local certo, independente da rotação e das peças de centro.
É sempre possível fazer isto, de forma relativamente simples, por haver muitos graus de liberdade. Não há algoritmo descrito aqui para esta primeira etapa, por ser simples.

b) Girar as peças de canto para a posição correta.

Para tal, utilizei apenas o movimento troca cantos descrito acima. O leitor deve analisar quantas vezes a peça de canto deve ser rotacionada, e posicionar o cubo de forma a ir arrumando as peças.

Não achei necessidade de usar algum outro movimento, mas sempre é possível descobrir outros.

Dica: girar os cantos corretos para um layer (digamos o superior), e depois o inferior.

 

Uma posição especialmente difícil é a posição abaixo, onde as setas indicam quantas rotações são necessárias para arrumar a posição.

Diagram13_posicaoEspCantos.png

Para resolver tal impasse, aplicar o movimento roda cantos, girar o cubo todo uma vez, no sentido horário e aplicar novamento o movimento roda cantos.

 

c) Arrumar as peças de centro. Utiliza-se a combinação dos movimentos de troca de centro acima. Não tem uma única forma de aplicar todos, o leitor deve analisar qual o movimento que faz sentido e aplicar o mesmo.

 

Uma posição especial relativamente difícil é quando há três centros arrumados, e três desarrumados.

Diagram14_posicaoEspCentros.png

É possível resolver utilizando a combinação de movimentos (RL)^9, girar o cubo inteiro no sentido horário, e (L’R’)^9.

 

De posse desses movimentos e das dicas especiais citadas, é sempre possível resolver o Skeweb.

Há também os mesmos movimentos, mas simétricos, espelhando todos os movimentos (e obtendo resultados espelhados). A fim de simplificar este post já longo, deixo-os de fora.

Entretanto, o desafio não é aplicar os algoritmos para resolver o cubo, e sim, criar os próprios métodos, notações e ter o espírito de resolver, não só este, mas qualquer outro problema  semelhante.

 


 

Bônus – “Making off” da solução.

 

Fotos de algumas anotações de caderno e estudos, já que a ideia é mostrar o raciocínio.

 

Fiz os diagramas no Power Point, criando os shapes de retângulos e triângulos e os colorindo. Mas não é o software da Microsoft, é o Libre Office que vem com o Ubuntu Linux. Usei este por ser fiel ao dogma de experimentar outras alternativas, conforme descrito aqui. E o resultado foi excelente, além de ficar muito bonito, aprendi um pouco mais do Libre Office.

Diagram15_LibreOffice.png

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Resposta ao “Desafio Superinteressante”

Desafio 1: Quantos ursos ao redor do buraco?
Puzzle1.JPG
Resposta: 6
Basta imaginar a posição central do dado como se fosse um buraco, e contar quantos ursos estão ao redor deste buraco.
Por exemplo, o número 5 tem o buraco no meio, e 4 ursos olhando ao redor.

 


Desafio 2: O quadrado da questão
 Puzzle2.JPG
Resposta: 6.
Desta vez, a ideia é considerar somente os quatro buracos do número quatro, e ignorar os outros buracos.

​ Superinteressantes

Uma senhora chamada Teresa Doi foi uma das pessoas mais importantes na minha formação.

 

Nos anos 90, quando eu tinha uns 13 anos, ganhei uma coleção de revistas Superinteressante dessa senhora, amiga de meus pais. Tinha umas 50 revistas velhas que ela iria jogar fora. Como sempre tive a fama de ser curioso e inteligente, ela achou que isto tinha mais utilidade para mim do que para o lixão.
Supers.JPG
E, realmente, esta coleção de revistas foi uma preciosidade para mim! Juro que li todas as revistas, devorando cada artigo, cada figura, cada gráfico. Quando criança, tinha a Biblioteca do Escoteiro Mirim.  Na pré-adolescência, essas revistas Super. E a coleção Fundamentos da Matemática Elementar, no Ensino Médio.
Os temas variavam do surgimento do CD, e de como isto iria aposentar o LP, até Aristóteles, e como o maior pensador da história achava que o cérebro servia para esfriar o sangue.
A Super daquela época era muito mais sisuda, mais técnica, do que a Super atual, que quer ser mais descolada.
Grande parte dos artigos eram sobre Física, e eu gostava principalmente das reportagens sobre Albert Einstein, de como ele imaginava-se viajando na velocidade da luz e olhando-se para o espelho: veria ele a própria imagem no espelho? Ou o paradoxo dos gêmeos: o tempo passaria mais devagar para um gêmeo viajando próximo à velocidade da luz, e quando se encontrassem novamente, o gêmeo terrestre estaria mais velho que o que viajou. Ou dos misteriosos quanta, que desafiavam o senso comum: quando observados, comportavam-se como partículas, senão, como ondas.
Resultado de imagem para einstein
Ganhei uma quantidade incrível de conhecimento, vocabulário, repertório de ideias e capacidade analítica, e usaria o máximo desse conhecimento nos anos vindouros, e até os dias de hoje.
Este blog tem mais ou menos o mesmo objetivo, o de apresentar ideias complexas de forma palatável, e possibilitar que outras pessoas tenham a mesma sensação, a mesma fome de conhecimento. Ao dividir conhecimento, na verdade o multiplicamos, como uma grande chama que forma outras chamas.
No final de cada edição da Super antiga (hoje não tem mais), havia um desafiozinho de lógica, pelo prof. Luiz Barco. Lembro de perder horas tentando resolver tais questões.
Inspirado nos desafios do prof. Barco, e para manter a tradição dos puzzles no final de casa Super, proponho dois probleminhas a seguir.
Desafio 1: Quantos ursos ao redor do buraco?
Puzzle1.JPG
Desafio 2: O quadrado da questão
 Puzzle2.JPG
Respostas no próximo post.

Quantos envelopes preciso comprar para completar o álbum da Copa do Mundo?

Este blog não tem foco em matemática, mas não dá para resistir a um desafiozinho.
 
O meu amigo Marcos Melo quer completar o álbum de figurinha da Copa do Mundo para os netos. Só que, antes disso, quer estimar o custo da brincadeira. A pergunta: qual a probabilidade de completar o algum da Copa, comprando n envelopes?
São 682 figurinhas, 5 figurinhas por envelope.
 
 
Resposta curta.
 
– Com 600 envelopes, 0,02% de chance de completar o álbum.
 
– Com 1000 envelopes, 65% de chance de completar o álbum.
 
– Com 1500 envelopes, 99% de chance de completar o álbum.
 
O Excel / VBA aqui tem um simulador de sorteio de figurinhas por envelope, e a fórmula teórica da probabilidade, para brincar um pouco.
 
           
 
Resposta longa, para quem gosta.
 
 
Imagine todas as figuras em ordem, cada uma sendo uma caixinha.
 
 Figurinhas.png
 
Hipótese: Não há figurinhas especiais, todas têm igual chance de sair no envelope.
 
 

Vamos focar em uma figurinha qualquer, a figurinha F.
 
Se eu abro apenas um envelope, a probabilidade da figurinha F ser sorteada é 5/682. E a de não ser sorteada é o complemento disto.
 
p(fig F SER sorteada com 1 envelope) = 5/682

p(fig F NÃO ser sorteada com 1 envelope) = 1 – 5/682


Outra hipótese aqui: as 5 figurinhas são diferentes, se puderem ser iguais, a fórmula é ligeiramente diferente.
 

 


Para facilitar a notação, vamos chamar a primeira linha de p(1) e a segunda de p(0), onde 1 quer dizer “sucesso, achei a figurinha” e 0 quer dizer “não encontrei a figurinha”.
p(1) = p(fig F SER sorteada com 1 envelope) = 5/682

p(0) = p(fig F NÃO ser sorteada com 1 envelope) = 1 – 5/682



 

Se eu abro n envelopes, posso calcular a probabilidade da figurinha F ser sorteada como:

p(fig F NÃO ser sorteada em
n envelopes) = p(0) * p(0) * … *  p(0)  = p(0)^n = (1 – 5/682)^n

p(fig F SER sorteada em
n envelopes) = 1 –  p(0 em n envelopes) = 1 – (1 – 5/682)^n
Hipótese aqui, e bem razoável: a probabilidade da figurinha ser sorteada é independente para cada envelope.



Agora, considerando todas as figurinhas do álbum.
 
p(completar o álbum) =  p(1 na primeira figura) x p(1 na segunda figura) … x p(1 na 682 figura)
= (1 – (1 – 5 / 682)^n) ^682


Outra hipótese aqui: a probabilidade de uma figurinha ter sido sorteada independe da probabilidade de outra figura do álbum ser sorteada. Infelizmente, esta hipótese não é verdadeira, porque se uma figura não foi sorteada quer dizer que alguma outra foi, mas podemos considerar que a hipótese é aproximadamente válida.

Conclusão
 

p(completar o álbum) = (1 – (1 – 5 / 682)^n) ^682

onde n é o número de envelopes comprados.

Com 600 envelopes, 0,02% de chance de completar o álbum.

Com 1000 envelopes, 65% de chance de completar o álbum.

Com 1500 envelopes, 99% de chance de completar o álbum.

O programinha no Excel simula os sorteios, e realmente acontece comportamento próximo à fórmula: com 600 envelopes nunca completo o álbum, com 1500 sempre completo o álbum, e com 1000 na maioria das vezes completo, mas às vezes, não completo.

Sorteio.JPG

É lógico que, na prática, faz muito mais sentido trocar as figurinhas repetidas com outras pessoas do que sair comprando a esmo. E, também, provavelmente há níveis de raridade diferentes entre figurinhas, o que torna a coleção mais difícil ainda.

É claro também que, se fizer muita conta, a pessoa acaba desistindo do álbum. Então, o negócio é esquecer isto tudo e se divertir.

 

Método de Monte Carlo e os perigos de ignorar o desvio padrão

Método de Monte Carlo

Este pequeno experimento visa demonstrar o efeito e perigos de fazer dimensionamento a partir da média, desconsiderando o desvio padrão. Utilizaremos o método de Monte Carlo, em Excel, para isto. Download do arquivo.

Suponha a seguinte situação. Uma fábrica produz 10 mil itens por dia, envia para um centro consumidor, e neste, 10 mil itens são consumidos por dia. Pergunta: qual o estoque necessário para suportar a demanda?

Monte01.jpg

Montando num excel, é só considerar uma coluna para produção (10 mil), outra para demanda (10 mil).
Só tem uma fórmula: estoque de hoje = estoque dia anterior + produção – consumo.

Monte02.png

Resposta: É necessário estoque zero. Nada.
Se o mundo fosse determinístico, perfeito, não seria necessário ter item algum em estoque. Produção é igual à demanda, e fim de papo.


 

Mundo não-determinístico

O único problema é que o mundo não é determinístico. É o livre-arbítrio de cada um de nós que decide o que queremos fazer, o que queremos consumir. A soma de todas essas decisões individuais é o mercado. Não controlamos o mercado. É o mercado que dita as regras, e tais regras podem ter um comportamento estatístico modelável (ou não). Para descrever este comportamento estatístico, podemos lançar mão de ferramentas como o Método de Monte Carlo.

Basicamente, o método de Monte Carlo simula o comportamento da fábrica e o do consumidor, segundo alguma distribuição estatística.

Uma normal (ou gaussiana) é completamente definida por uma média e um desvio padrão. Quanto maior o desvio padrão, maior a chance do valor observado estar mais distante da média.

Monte03.png

No mesmo caso descrito, digamos que tanto a produção quanto o consumo sejam modelados por uma normal de média 10 mil e desvio padrão de 3 mil.

Monte04.jpg

O Monte Carlo vai sortear um valor para a produção, que vai ser próximo de 10 mil, talvez um pouco para cima ou um pouco para baixo. 65% dos valores estarão entre 7 mil e 13 mil (mais ou menos um desvio padrão), 95% dos valores estarão entre 4 mil e 16 mil (dois desvios padrões). Portanto, pode haver um dia com consumo muito acima da média, mas tais ocorrências serão raras. Por haver sorteios, este método lembra um cassino, por isso o nome “Monte Carlo”, em referência ao cassino.

Em termos de modelo Excel, usamos a função genNormal(média, desvio) para simular um sorteio de uma variável aleatória normal. Esta função é do pacote Yasai, cujas fórmulas estão contidas na planilha anexa. O Yasai é um pacote open source para simulação em planilha. Alguns pacotes mais famosos são o Cristal Ball e AtRisk.

Para um trial, ou seja, uma rodada aleatória, a produção gira em torno de 10 mil, a demanda também em torno de 10 mil. Estoque inicial igual a zero. Mas o estoque varia ao longo dos dias.

Monte05.png

No gráfico, nota-se que o estoque ficou negativo a maior parte do tempo.

Monte06.png

Para um outro trial:
(para simular outro trial no excel, apertar F9).

Monte07.png

Deve-se simular o modelo diversas vezes e guardar os resultados, para ter massa de dados para compensar o efeito da aleatoriedade de um trial.

Rodando uns 1000 trials neste caso, vai dar que 50% das vezes haverá problemas de desabastecimento e 50% sem problemas.

Na média, o consumo é igual à produção, mas o problema é o desvio padrão. Para suportar tais flutuações, são necessários os estoques.

 

Digamos, um estoque de 7 mil peças dá um aumento da garantia de abastecimento. O estoque tem que ser suficiente para cobrir o efeito somado dos desvios padrões (consumo e produção).

Monte08.jpg

Deve-se variar o estoque inicial, rodar outros tantos 1000 trials, e verificar a probabilidade de desabastecimento.

A pergunta final a responder é: qual o risco que quero correr? Qual o estoque mínimo que compense o custo do desabastecimento?

  • Se o produto não for importante, pode faltar à vontade, e é necessário pouco ou nenhum estoque.
  • Se o produto for crucial, é bom que o estoque seja bem calculado.
  • Quanto maior o custo do desabastecimento, maior o estoque de segurança necessário.

 

O método de Monte Carlo pode ser utilizado para modelar situações complexas da vida real, e fornecer uma estimativa dos riscos associados. O modelo apresentado é muito simples, mas este pode ser tão complicado quanto se queira, com outras distribuições estatísticas, etc.

Ponderar Riscos x Seguros é exatamente a mesma conta de fazer o seguro do carro. Pagar o seguro é salgado, digamos 2 mil reais, mas ter o azar de ter o carro roubado é muito pior, digamos 50 mil reais.

Um seguro, um estoque, custa caro, mas vale a pena se este for dimensionado para evitar um prejuízo ordens de grandeza maior.

 

 

 

Matéria, onda, energia, bola de futebol e prof. Weis

​Em 1998, o professor doutor Carl Hermann Weis aplicou uma prova de química, no Instituto Tecnológico de Aeronáutica, onde havia a seguinte questão:

Qual o comprimento de onda de uma bola de futebol de massa m, numa velocidade v?

O prof Weis era considerado o maior eletroquímico do mundo na época, deu aulas no ITA por várias décadas, era uma espécie de lenda viva. Exemplo: por conta de uma prova antiga de Weis, os veteranos faziam a gente decorar era o nome completo do químico Paracelsus: Philippus Aureolus Theophrastus Bombastus von Hohenheim.

Voltando à questão do comprimento de onda da bola. É claro que a acertei, senão não estaria aqui falado sobre ela. Mas acertar a questão significava decorar a fórmula certa, interpretar as variáveis e aplicar a mesma, de forma mecânica. Não tínhamos tempo para compreender o que isto significava.

São conceitos bem esquisitos envolvidos.

  • Uma bola é algo físico. É matéria, tem peso, dá para tocar. É um tijolinho, um átomo no sentido de Demócrito.
  • Frequência e comprimento de onda são conceitos de ondas: energia elétrica, som, luz, ondas de rádio.

Matéria não tem comprimento de onda ou frequência. E uma onda não tem peso, não dá para tocar ou chutar.

https://i1.wp.com/images.tutorvista.com/cms/images/38/wave-particle-duality-of-light.PNG

Uma bola de futebol não é um sinal de TV… Era o que se pensava, até que, no começo do século passado, a teoria quântica sugeriu que a luz se comporta ora como partícula, ora como onda. Era a dualidade onda-partícula.

Portanto, a luz era uma onda eletromagnética, mas de vez em quando era partícula também. Ora era como luz ora como uma pedrinha minúscula.

Albert Einstein foi um dos primeiros a tentar explicar um comportamento estranho da luz utilizando o fato de que às vezes esta é uma onda, às vezes uma partícula. Einstein tem um prêmio Nobel de Física, mas o ganhou por conta do efeito fotoelétrico, não por causa da Teoria da Relatividade.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/77/Photoelectric_effect.png/222px-Photoelectric_effect.png

Ok, essas coisas esquisitas ocorrem a nível de partículas subatômicas, então isto não muda nada na nossa vida… será?

Até que, nos anos 1920, um candidato a doutor na Universidade de Sorbonne, França, chamado Louis de Broglie, apresentou uma tese muito mais maluca. Já que a luz é uma onda e pode ser partícula às vezes, o inverso pode ser verdadeiro também.

Uma partícula, como uma bola, também pode ser comportar como onda, como a luz. Ele estendeu o comportamento bizarro da luz para todas as partículas.

A tese foi rotulada como maluca, e não foi aceita. E também era muito simples, poucas páginas, e acadêmicos gostam mesmo de um bostejo infinito que não leva a nada.

Até que de Broglie enviou a mesma para Einstein, que achou a ideia genial. Com o suporte de Einstein, o pessoal da Sorbone aceitou a tese, e anos depois de Broglie ganhou um Nobel de Física.

Voltando à pergunta da prova, a resposta da mesma era aplicar a equação de de Broglie. E ela também mostra que a hipótese do de Broglie vale para todos os objetos, inclusive os macroscópicos!

Esta ideia de dualidade dá margem a várias especulações possíveis.

  • Se somos feitos de partículas sólidas, mas tais partículas podem ser ondas, então podemos ser ondas de vez em quando?
  • Seríamos feitos de energia, uma energia confinada? Mas, o que é energia exatamente? Uma onda congelada? Ou a onda é uma partícula livre?
  • O que é um pensamento? É um monte de sinais elétricos em nossa cabeça, indo e vindo por redes neurais? Mas, sendo ondas, seria possível que a nossa cabeça entre em ressonância com outras ideias e outras cabeças que estão no ar, assim como ondas de rádio? Seríamos feitos de pensamento?
  • Ou seria como disse Buda, “Nós somos o que pensamos”.
  • Será que existe a alma? Um corpo que acabou de morrer tem exatamente o mesmo número de átomos de um corpo vivo. Mas há algo diferente, porque o corpo não se mexe sozinho. Esta alma, seja o que for, não é material, não tem peso. Seria uma espécie de onda? Seria alguma outra coisa que não temos a menor ideia do que seja? Aliás, isto também tem um nome, dualidade corpo-alma.

Lembrando que tudo aqui é teoria. Pode ser que, no futuro, surjam outras.

Citando Shakespeare, “Há muito mais no Céu e na Terra do que sonha a nossa vã filosofia”.

 

O prof Weis faleceu em 2013, segundo o site do Wikita. Ele sempre dizia que deveria viver duas vezes, uma para estudar e outra para ganhar dinheiro. E esta vida ele tinha utilizado para estudar. Quem sabe, na próxima!


 

Nota: Não lembro se realmente tal questão caiu numa prova ou a fonte foi um bizu antigo. Mas coloquei que acertei a mesma, porque acertaria na época. Tem a resposta deste site.

https://socratic.org/questions/what-is-the-de-broglie-wavelength-of-a-ball-with-a-mass-of-0-20-kg-when-it-strik

 


Outros links:

https://en.wikipedia.org/wiki/Louis_de_Broglie

http://www.aeitaonline.com.br/wiki/index.php?title=Aulas_do_Prof_Weis

http://www.aeitaonline.com.br/wiki/index.php?title=Carl_Herrmann_Weis

 

Feliz ano novo em VBA

Cartão de ano novo em VBA. Um presente para os leitores deste espaço.

Baixe do Google Drive e clique em “gerar”, para ver a mensagem. As macros devem estar ativadas.

https://drive.google.com/open?id=1AlmxLJCevUlJkMa52aWoOauLxJPzA5-8

Do meu blog de Excel-VBA.

Um cartão de ano novo com flores e imagens bonitas é para os fracos.

Bom mesmo é um cartão em Excel VBA. Baixe a planilha no link abaixo, e clique em “Gerar” para ver a mensagem. As macros devem estar ativadas. https://drive.google.com/open?id=1AlmxLJCevUlJkMa52aWoOauLxJPzA5-8

via Cartão de ano novo em VBA — Ferramentas em Excel-Vba

​O amante Halley

A Terra tem um amante, que a visita precisamente a cada 75 anos para lhe dar um beijo na bochecha.

Quando eu tinha uns 7 anos, em 1986, a notícia de que o cometa Halley viria nos visitar estava em todos os jornais e na TV. Se perdêssemos esta chance de vê-lo, só teríamos outra daqui a 75 anos.

Naquela época, eu pensei: “Como é que sabem que ele passa exatamente a cada 75 anos? Ninguém vive tanto tempo para ver o cometa passar várias vezes para ter certeza.”

E, com a precisão de um relógio, lá estava o cometa. Majestoso, com sua cauda característica, a brilhar no céu. Para falar a verdade, nunca vi o tal cometa, talvez por ser muito pequeno na época. Só vi umas fotos na TV.


 

Edmond Halley era um astrônomo, contemporâneo do grande físico Isaac Newton, no final dos anos 1600 e começo dos anos 1700.

Era a época das grandes descobertas astronômicas. Copérnico tinha tirado a Terra do centro do universo. Kepler tinha descoberto que a trajetória dos planetas era elíptica. Newton tinha descoberto as leis fundamentais da mecânica, que governam tanto a maçã que cai em sua cabeça, quanto a força de atração entre estrelas.

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https://ideiasesquecidas.files.wordpress.com/2017/08/73b00-1448971600261.jpg?w=314&h=394
Um dos primeiros logos da Apple computer foi uma maçã do Newton

Isto tudo não era por acaso. Se hoje a tecnologia disruptiva é a computação, na época era a ótica. Algumas dezenas de anos com avanços tecnológicos impressionantes possibilitaram a criação de instrumentos óticos (telescópios e microscópios) cada vez mais sofisticados. A partir daí, uma legião de astrônomos começou a mapear os céus, criando uma base de dados. Esta base de dados possibilitou o cálculo como as trajetórias de Kepler.

A contribuição de Halley, especificamente, está na descrição que ele fez de 23 cometas: trajetórias, luminosidade, características.

Ao fazer este trabalho, ele notou um padrão – aliás, se fosse para descrever a ciência em um termo, eu usaria descoberta de padrões. Um corpo celeste muito parecido tinha feito a mesma trajetória nos anos de 1531, 1607 e 1682. A do ano de 1682 ele mesmo viu. A dos outros anos, por descrições em livros antigos.

Se os planetas giram em torno do Sol, por que os cometas seriam diferentes? Alguns deles devem girar em torno do Sol também – este era o pensamento de Halley. As três aparições não seriam de três corpos diferentes, mas sim do mesmo cometa.

Assim, ele calculou a trajetória do cometa e postulou que o mesmo apareceria em 1758. Ele não chegou a viver o suficiente para ver o seu cometa, mas precisamente no dia e hora do encontro, lá estava ele.

 

É como se fossem os ponteiros do relógio. Um grande, que gira em uma velocidade e trajetória, e um pequeno que gira em outra velocidade e trajetória. Mas sabe-se que exatamente à meia-noite eles se encontram e se tornam um.

halleytrajectory.JPG

 

Na história “Homens de boa fortuna” da série Sandman, há um personagem chamado Hob Gadling. Ele fez um trato com Sandman. Ele seria imortal e não envelheceria, bastando para isso ter um encontro com o mestre dos sonhos a cada 100 anos. A cada encontro em 100 anos, ele conta o que fez, os países que visitou, como fugiu para retornar anos depois fingindo ser o seu próprio filho…

O cometa Halley e a mãe Terra se encontram a cada 75 anos, e Halley conta as fofocas de Júpiter, as novidades do cinturão de Kuiper, e o surgimento de mais um anel de Saturno. Deve ser uma conversa interessante.

A próxima visita de Halley será precisamente no dia 28 Julho de 2061. Espero estar por aqui para rever este grande amigo.

 


 

https://en.wikipedia.org/wiki/Halley%27s_Comet

https://oglobo.globo.com/sociedade/ultima-passagem-do-cometa-halley-pelo-sistema-solar-completa-30-anos-18640940

https://en.wikipedia.org/wiki/Edmond_Halley

 

Onde está o cometa Halley?

Puzzle dos leões, da raposa e do coelho

Suponha que numa região haja N leões.

Eles têm conhecimento perfeito de quantos leões existem e de que todos tomam decisões perfeitamente lógicas. Cada leão é tão forte quanto os outros, impossibilitando um combate direto entre eles.

https://i0.wp.com/ngm.nationalgeographic.com/serengeti-lion/assets/i/index/Coalition-index_lo.jpg

 

Uma raposa quer atravessar a região. Ela sabe que os leões estão famintos. Mas também sabe que, se um leão comer algo, ficará fraco, e poderá ser devorado por outro leão.

 

Cada leão prefere salvar a vida a devorar uma presa e ficar vulnerável. E cada leão prefere devorar a presa, caso possa fazer isto sem o perigo de ser devorado.

 

A raposa pode, opcionalmente, levar um coelho na jornada. Se um leão avançar, a raposa joga o coelho ao leão, e isto dá tempo suficiente para ele atravessar a região.

 

Se um leão estiver comendo o coelho, e a raposa estiver livre, um segundo leão prefere atacar o primeiro leão com o coelho, assim conseguindo uma refeição e eliminando um concorrente (isto se o segundo leão tiver certeza de que não ficará vulnerável aos demais).

 

Se tiver opção, o leão prefere devorar o coelho à raposa, pelo coelho ser mais apetitoso.

 

A pergunta: qual a estratégia para a raposa se safar, para cada valor possível de N?

 

Este puzzle é baseado em outro, porém com um coelho a mais de dificuldade.

Resposta em uma semana.

 

Um sujeito anormal procurando um número interessante

Após tirar esta foto, do prédio escrito “normal”, o sujeito anormal da foto – eu – lembrou-se de um paradoxo “interessante”.

IMG_4316.JPG

Suponha que eu liste os números naturais em ordem:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

Agora vamos dizer algum fato interessante sobre cada um dos números:

  • 1 É o primeiro número de todos, é divisor de todos os outros
  • 2 É o primeiro e único número primo par
  • 3 É o primeiro primo ímpar
  • 4 É o primeiro quadrado perfeito

Digamos que os números que têm alguma propriedade interessante sejam chamados de números “interessantes”.
E os números que não são interessantes sejam os números “normais”.

Utilizando esta definição, a lista ficaria assim:

  • 1 É um número interessante
  • 2 É um número interessante
  • 3 É um número interessante
  • 4 É um número interessante

É uma lista que parece possível de fazer.

Agora, suponha que o número x seja o primeiro número “normal” da lista.

  • 1 É um número interessante
  • 2 É um número interessante
  • 3 É um número interessante
  • 4 É um número interessante
  • x É um número normal

Mas, se x é o primeiro número “normal”, ele é um número “interessante”, porque ele tem uma propriedade interessante: a de ser o primeiro número “normal”.

Por outro lado, se considerarmos x um número “interessante” por ter a propriedade de ser o primeiro número “normal”, ele deixa de ser um número “normal” e passa a ser “interessante”, assim perdendo a propriedade de ser o primeiro “normal” e deixando de ser “interessante”…

Que confusão! Não é “interessante”?


Para falar algo interessante, este problema tem o nome de “Paradoxo dos números de Richard”, descrito pelo matemático Jules Richard em 1905.

Este link (https://en.wikipedia.org/wiki/Richard%27s_paradox) conta mais detalhes sobre o paradoxo de Richard, mas de forma menos interessante do que neste espaço.

Um outro paradoxo semelhante é o “Paradoxo do mentiroso”. Um homem que só conta mentiras diz “Estou mentindo”. Porém, como ele só mente, ele estará dizendo a verdade nesta afirmação. Mas se ele falar a verdade, ele não é alguém que só conta mentiras.

Esses paradoxos “bugam” não só a cabeça de um ser humano comum, mas também a cabeça dos maiores matemáticos da história.


O matemático austríaco Kurt Godel abalou as fundações de toda a matemática, em 1931, ao provar que a matemática não pode ao mesmo tempo ser Completa e Consistente, com seus Teoremas da Incompletude. Ou seja, a matemática tem limites. Godel encontrou um “bug” nas fundações da matemática – ela não consegue ao mesmo tempo se livrar desses paradoxos bizarros e responder Verdadeiro ou Falso a todas as suas proposições. Godel utilizou um versão sofisticada do Paradoxo de Richard para provar isto.

É uma longa história, que envolve gigantes do pensamento como David Hilbert e Bertrand Russell, e esta história fica para outro dia.

A propósito, eu acho que o autor do jogo de luzes do prédio escreveu “normal” de uma  forma “interessante” só para o prédio não ser mais “normal” e assim confundir a nossa cabeça…

 

IMG_4315.JPG

Nunca mais erre uma fórmula: análise dimensional, álgebra e ideogramas

​Análise Dimensional

Um peso mexicano vale 0,17 real. Comprei 1.300 pesos. Quanto gastei em reais?

Há muito tempo atrás, eu me perguntava: a conta seria 1300*0,17 ou 1300/0,17?
A “análise dimensional” resolve facilmente esta dúvida.
Formula1.png
Peso corta com peso, sobrando real.
Se eu fizesse a conta oposta:

Formula2.jpg
O resultado é na unidade peso^2 / reais. Esta unidade não faz o menor sentido, então a fórmula está errada.
A análise dimensional consiste em fazer a conta algébrica com as unidades de medida, “cortando” e multiplicando as unidades.

Conheço esta técnica há tanto tempo que achei que todos a soubessem. Mas, descobri o oposto: a maioria das pessoas não conhece a análise dimensional. É uma técnica tão boa que não posso deixar de divulgá-la neste espaço.

Outro exemplo:

Tenho 20 m2 de área. Em um metro quadrado cabem em média 70 kg de uma material, digamos café. Cada quilo encolhe 10%, por conta de evaporação de água. Vendo o café por R$ 300 o saco de 5 Kg. Quanto será a receita esperada para a minha área?

Pela análise dimensional, é só montar a equação de forma a fazer todos os intermediários se cortarem:

Formula3.jpg


Álgebra x Aritmética
Qual a diferença entre Álgebra e Aritmética?
Em álgebra a gente faz a conta com letras, ou seja, de forma genérica: ax^2+bx+c = y

Em aritmética, a conta é numérica: 5*7^2 + 8*7-10 = 291.

Portanto, a aritmética estuda as regrinhas com as quais a gente faz as contas, enquanto a álgebra trata regras mais abstratas.


Algebrizando ideias não algébricas

Aproveitando o post algébrico, que tal inventar umas fórmulas?

Digamos que felicidade seja diretamente proporcional à saúde e à harmonia e inversamente proporcional ao stress.

Poderíamos escrever

Felicidade = saúde * harmonia – stress

Ou

Felicidade = saúde * harmonia /stress

Ou

Felicidade = saúde + harmonia – stress

Ou alguma outra combinação dessas. Qual a fórmula que melhor descreve a relação entre variáveis?

Quando usamos “vezes”, é como se fosse um conectivo lógico “e”. Se um dos campos zera, o resultado final é zero.

Com zero saúde minha felicidade cai a zero, não há harmonia que compense, e vice-versa.
Já quando usamos “mais”, as coisas se somam, e o excesso de um compensa o outro – equivale ao conector lógico “ou”.

Se a felicidade da saúde e harmonia for menor do que a infelicidade causada pelo stress, ainda assim estou um pouco feliz.

Portanto, por este raciocínio, a fórmula seria:

Felicidade = saúde * harmonia – stress

Isto é apenas um exercício de interpretação de fórmulas, mas note que felicidade é independente de dinheiro.


Bom em chinês

O ideograma (hanzi) chinês para “bom” é quase uma fórmula. É um ideograma formado por outros hanzi: o de mulher e de filho. Bom é ser casado e ter família.

 

Sábias palavras…