Digital Minds – A Década Quântica

Participei da série Digital Minds, da IBM, com a participação de alguns dos maiores especialistas do Brasil. Uma mesa-redonda sobre computação quântica e aplicações.

Alguns dos tópicos:

  • Que sugestões você daria para CEOs e CIOs que pretendam implementar uma estratégia de computação quântica nos negócios?
  • Quais aplicações com maior potencial?
  • Quais os maiores riscos e qual o status atual da tecnologia?

Confira no link a seguir.

Teoria dos Números Visual – Divisão

Vou começar uma série de artigos, explicando a bela Teoria dos Números a partir de uma abordagem visual, que chamei de “álgebra de pedrinhas”.

A motivação é que os livros comuns de matemática exploram pouco os recursos visuais, e a matemática fica mais intuitiva com objetos do mundo real.

Vamos começar com a divisão.

Definição. Se a e b são inteiros, dizemos que a divide b, denotando por a|b, se existir um inteiro c tal que b = a*c.

Por exemplo, 12 dividido por 4 = 3, pode ser interpretado por 12 bolinhas, dispostas em 4 colunas, cada coluna com 3 bolinhas de altura.

Convido o leitor a experimentar o algoritmo em:

https://asgunzi.github.io/TeoriaNumeros01_Divisao/Index.html

Definição: O algoritmo da divisão.

Dados dois inteiros a e b, b>0, existe um único par de inteiros q e r tais que:

a = q*b+r,

com 0<= r < b

q é chamado de quociente e r de resto da divisão de a por b.

Outro exemplo: 8 dividido por 2 = 2 colunas com 4 bolinhas de altura (o quociente). No caso, o resto da divisão é zero.

Vejamos um caso com resto na divisão.

Para o caso 13 / 4, não consigo arrumar 13 bolinhas em 4 colunas. Consigo arrumar 4 colunas com 3 bolinhas de altura (quociente), e vai “sobrar” uma linha com uma bolinha. Essa “sobra” é o resto da divisão.

13 = 4*3 + 1

(numerador = denominador*quociente + resto)

Neste caso, é dito que 13 não é divisível por 4.

Um último exemplo: 22 não é divisível por 5, porque vai restar uma linha com 2 pedrinhas “sobrando” (resto da divisão).

O algoritmo da divisão é base de todo o resto do livro, e dá para chegar à conclusões bastante complexas construindo o raciocínio, pouco a pouco.

Rodar algoritmos de apoio em:

https://asgunzi.github.io/TeoriaNumeros01_Divisao/Index.html

Referência: Introdução à Teoria dos Números, José Plínio de Oliveira Santos, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada.

Veja também:

Por que existem anos bissextos?

Uma pergunta recorrente no início do ano é se o ano é bissexto ou não. No caso, 2022 não é um ano bissexto – o próximo será em 2024.

A segunda pergunta que vem: por que existe esse tal de ano bissexto, só para complicar a vida?

Nota: em inglês, é “leap year”, porque pula de 4 em 4 anos

A resposta é porque o ciclo da Terra ao redor do Sol não é de 365 dias exatamente, e sim, de 365 dias, 5 horas, 48 minutos (e uns segundos, que vou ignorar aqui para facilitar a conta).

Ou seja, a cada ano, contabilizamos 5h 48min a menos. Para compensar, acrescentamos um dia a mais a cada 4 anos.

Porém, um dia tem 24 horas, e 5h 48min x 4 anos = 23,2h. Ou seja, com anos bissextos, colocamos 0,8 h a mais a cada 4 anos. Pode ser pouco, porém, ao acumular muitas décadas, o problema pode ficar grande no final.

Daí, a solução. A cada 100 anos, acumulamos um crédito de 0,8*100/4 = 20h. Então, se ignorarmos o ano bissexto a cada 100 anos (em 1800, 1900), teremos um déficit de 4h a cada 100 anos.

Ora, mas ainda temos um problema. 4h é muita coisa, ao acumular por centenas de anos.

Solução: a cada 400 anos, ignoramos o cancelamento do ano bissexto.

Em resumo: a cada 4 anos acrescentamos 1 dia a mais em fevereiro, exceto nos anos múltiplos de 100 que não são múltiplos de 400).

Ex. 1904, 2016, 2020, bissextos.

1900, 1800, 2100, não bissextos.

1600, 2000, 2400 bissextos.

Baita confusão. É uma conta de arredondamento: coloca 1 a cada 4 anos, não coloca 1 a cada 100 anos, coloca a cada 400 anos… Mesmo assim, não resolve o problema, talvez precisemos fazer outra reforma de calendário daqui a alguns milênios.

Esse tira-põe eterno ocorre porque a rotação da Terra ao redor de si mesma não é múltiplo da rotação da Terra ao redor do Sol.

Ou seja, apesar de nossos poderosos relógios atômicos atuais, ainda estamos presos aos ciclos da Terra e do Sol, como os romanos antigos.

Obs. Esta não é uma explicação científica, é um resumo didático.

Veja também:

Cartão Ano Novo 2022

Abra a sua mensagem, no cartão de Ano Novo especial, em VBA (download em https://1drv.ms/x/s!Aumr1P3FaK7jn2xWRBFi7K056PNB). Rode a macro para ver.

Um Feliz Natal e um excelente 2022 para todos!

Ideias técnicas com uma pitada de filosofia

https://ideiasesquecidas.com/

O bilionário que fazia gráficos com lápis coloridos

Ray Dalio é, literalmente, um homem de 20 bilhões de dólares. Sua empresa, a Bridgewater, é o maior fundo de investimentos do mundo. Dalio é o “Steve Jobs” das finanças.

Dalio descreve, no livro “Princípios”, que fazia análise de regressão no braço, e desenhava gráficos com lápis coloridos, na era pré computadores.

“Bem no começo, fazia regressões com a minha calculadora de bolso Hewlett-Packard HP-67, traçava gráficos com lápis de cor e registrava em cadernos.

Com a chegada dos computadores pessoais, passei a digitar os números e vê-los convertidos em planilhas. Sabendo como gado bovino, porcos e frangos avançavam pelos seus estágios de produção era possível ver como a máquina produzia preços de gado bovino, porcos e frangos nos quais eu podia apostar.

Por mais básicos que fossem esses modelos iniciais, eu adorava construí-los e refiná-los — e eles eram bons o suficiente para me render dinheiro.

Essa abordagem diferenciada era um dos principais motivos pelos quais eu captava movimentos econômicos e de mercado que os demais deixavam passar.

Computadores estavam entre os bens mais valiosos que adquiri; eles me ajudavam a pensar. Sem eles, a Bridgewater nem de longe teria conquistado tanto sucesso.”

A abordagem de Dalio obviamente vai além do number crunching, é claro. Saber a conta a fazer é mais importante do que saber fazer a conta. Esse é poder do #Analytics para tomada de decisão.

Uma bobina a mais e o MP Load

Descrevendo uma situação que me deixou bastante feliz. Durante visita à unidade de Sacos, em Lages, o meu amigo Marcelo Oliveira contou que a utilização do MP-Load, descrito abaixo, possibilitou o envio de um pallet a mais no contêiner. “Não cabe”, dizia o pessoal; “Cabe, olha só o estudo”, disse o Marcelo.

O MP Load é uma ferramenta extremamente simples, feita em Excel – VBA.

Basta preencher as dimensões (Altura – Largura – Comprimento) e carga máxima do contêiner; e dimensões da bobina a ser transportada – diâmetro externo, largura e peso individual.

As unidades das dimensões estão em milímetros.

Como hipótese, as bobinas sempre vão de pé, e todas as bobinas são iguais. O limite é o volume geométrico ou o peso máximo, o mais restritivo.

Há ferramentas de formação de carga extremamente mais complexas, que conjugam bobinas de vários tipos, deitadas, de pé, etc. Porém, a situação simples de bobina única e de pé deve atender uns 90% das situações, e a beleza é ela ser puramente geométrica, simples de resolver.

O MP Load surgiu com a inspiração acima, pelo amigo Didiel Peça. A ideia era utilizar na hora de tirar pedidos dos clientes de mercado externo, de modo que o valor solicitado fechasse exatamente a carga de um contêiner.

Para o caso de Pallets, basta escolher “P” no campo. As dimensões agora são comprimento – largura – altura (pelo pallet ser retangular) e o peso por pallet.

Há também uma folga adicional de 10 mm no comprimento e na largura, por hipótese.

E que diferença faz uma bobina a mais por carregamento, ou um pallet a mais? Otimização de frete.

Uma bobina faz pouca diferença, individualmente. Mas uma bobina, multiplicada por todas as áreas que otimizam o carregamento, multiplicada por todos os dias em que o estudo é feito, faz toda a diferença.

Segue link.

https://1drv.ms/x/s!Aumr1P3FaK7jn2hfs8JKd7qiZX30

Hipóteses utilizadas:

  • As bobinas são todas idênticas (idem para pallets)
  • As bobinas sempre vão de pé
  • No caso de pallets, há uma folga considerada de 10 mm
  • O comprimento do contêiner é maior do que a largura do mesmo

Como o cálculo é realizado?

Tanto para bobinas quanto para pallets, são analisados dois padrões: retangular e zig-zag

O padrão retangular é um do lado do outro.

Para o cálculo, arrendondar para baixo as dimensões do contêiner dividido pelo diâmetro da bobina.

Já o padrão zig-zag (por falta de um nome melhor), considera um encaixe tipo laranjas empilhadas:

Sejam c e d catetos de um triângulo retângulo, com a hipotenusa sendo o diâmetro externo.

d = sqrt ( Dext^2 – c^2)

Se encontrarmos o valor de c, o valor de d estará definido pela fórmula acima.

No zig-zag, o contorno externo terá um Dext de dimensão, e as camadas internas serão X vezes a dimensão c.

O limite máximo para X é dado pela (Largura do contêiner – Dext) dividido pelo Dext, arredondando para cima.

Com isso, calculamos o número de linhas X, o c e o d, todos os parâmetros para a distribuição.

Por fim, analisamos o carregamento pelo padrão retangular x padrão zig-zag, e pegamos o que ficou melhor.

Um mundo melhor através do Analytics.

https://ideiasesquecidas.com

Veja também:

Empilhamento de cartas e série harmônica

Quantas cartas consigo empilhar, de modo que a borda das superiores saiam da mesa e elas se sustentem apenas por gravidade? Qual distância máxima consigo chegar?

Este probleminha é relativamente simples, e interessante, por remeter à série harmônica.

Para analisar o raciocínio, deve-se pensar da carta de cima para as cartas de baixo.

Com uma carta, posso colocar o centro de gravidade exatamente na borda da mesa (representada pelo triângulo). Ou seja, ando lateralmente meia carta. Como hipótese, podemos considerar que a carta tem tamanho 2, sendo assim, meia carta tem tamanho 1, para facilitar as contas seguintes.

Com duas cartas, considera-se que o centro de gravidade da primeira carta está exatamente na borda da segunda carta. O ponto de equílibro do centro de gravidade do sistema é dado por pela soma de distâncias * pesos.

Nesse caso: (1-x) P = x*P

-> x = 1/2

Com três cartas e o mesmo raciocínio:


(1-x)* P = x*2*P

-> x = 1/3

Temos um padrão, e para a k-ésima carta:
(1-x)* P = x*(k-1)*P

-> x = 1/k

Ou seja, o total que a pilha anda lateralmente é dado exatamente pela série harmônica:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … + 1/k

Sobre a série harmônica, o notável matemático Leonard Euler, no século 18, notou que esta tem uma similaridade enorme com a função logaritmo. Mais formalmente, temos a constante de Euler, dada por:

e

γ≈0.5772156649

Ou seja, a soma da série harmônica e o logaritmo neperiano tendem a uma constante.

Dá para perceber a semelhança entre as séries através da prova da divergência da série harmônica (veja aqui). Para cada avanço adicional na soma da série, é necessária uma quantidade exponencialmente maior de termos (ou seja, para cada metro lateral adicional, é necessária uma quantidade exponencialmente maior de cartas).

Uma curiosidade é que não se sabe até hoje se a constante de Euler é racional ou irracional.

Bom, respondendo à pergunta do problema. A série harmônica diverge, ainda que muito lentamente, de modo que a pilha pode andar na lateral uma distância infinita! É claro que, para isso, será necessária uma quantidade infinita também de cartas. Nada mau, para uma pergunta tão ingênua!

Veja também.

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_constant

https://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html

A Espiral musical em Excel

A “Espiral musical”, a figura abaixo, é construída somente com retas e uma regra simples de ângulos.

Ela é baseada num vídeo enviado pelo amigo Maurício Cota.

Comece com uma reta qualquer. Depois, trace uma nova reta, adicionando uma rotação com um ângulo.

Continue a sequência, agora adicionando reta com 2*ângulo, depois 3*ângulo…

Na sexta iteração:

Com 100 iterações:

O arquivo Excel aqui (https://1drv.ms/x/s!Aumr1P3FaK7jn2acOg89jOQF3Kl4) implementa a rotina, podendo variar ângulos, tamanho da reta e número de iterações.

Dica: Para plotar uma reta no VBA, basta usar o comando abaixo.

    ActiveSheet.Shapes.AddConnector(msoConnectorStraight, x1, y1, x2, y2).Select

Este vai plotar uma reta começando nas coordenadas (x1,y1) e terminando em (x2,y2).

Alguns exemplos:

Mudando um pouco a rotina, é possível fazer degradê de cores.

Outra dica é colocar um ângulo fracionário. Isso porque um ângulo inteiro uma hora vai se tornar periódico, e a figura não será tão legal.

Trilha sonora: O Rancho das Flores, de Vinícius de Moraes e Johann Sebastian Bach

Vinicius de Moraes – Rancho das flores, com Toquinho e Clara Nunes. – YouTube

Veja também:

https://ferramentasexcelvba.wordpress.com

Mil dólares para quem resolver o “Desafio 14-15”

Em 1890, o designer de jogos e puzzles Sam Loyd ofereceu 1000 dólares para quem resolvesse o “Desafio 14-15” abaixo.

Consiste num tabuleiro 4×4 com um vazio, e as peças deslizam para o espaço vazio.

Note que as posições 14 e 15 estão invertidas, e o objetivo é arrumar o tabuleiro todo em ordem crescente.

O desafio e a facilidade de mexer no joguinho tornaram o mesmo uma febre, à época. Porém, desde então, o problema nunca obteve uma solução válida, por um motivo muito simples: é impossível.

Muita gente já deve ter brincado com esse quando criança, mas com a versão solúvel do mesmo (ou seja, o 14 e 15 na posição correta). Vou chamar a versão solúvel de “Puzzle do 15”, ao invés de “Desafio 14-15”.

Segue uma versão Excel do “Puzzle do 15”.

Um duplo clique na célula vai mover a peça para o posição vazia adjacente.

As macros devem estar ativadas para funcionar.

Link para download: https://1drv.ms/x/s!Aumr1P3FaK7jn2Lesl-PB1Z-O3Yi.

Também deixei a planilha no Github: asgunzi/Puzzle-do-15-Excel: Versão Excel do Puzzle do 15 (github.com)

Sobre a insolubidade do “Desafio 14-15”

A prova tradicional consiste em encontrar uma propriedade invariante, e mostrar que o 14 e 15 trocados não respeitam a propriedade.

A invariante, no caso, é a paridade do número de permutações. Porém, eu fiquei o dia inteiro pensando numa prova mais intuitiva e menos formal, que vou explorar a seguir.

Imagine não que as peças se movem, mas que o vazio se move.

Para que o espaço vazio comece e termine no canto inferior direito, ele tem que fazer um circuito fechado. Pintando de outra cor as células que sofreram alteração. Lembre-se de que a seta indica o espaço vazio que se move, então a peça cheia move-se no sentido contrário da seta.

Note que a peça vazia teve que ir para a esquerda e depois voltar para a direita, subir e depois descer.

Todas as vezes que a peça vazia subir, uma hora vai ter que descer; todas as vezes que for para a esquerda, uma hora deve voltar à direita, para que termine no canto inferior direito.

Outro tour possível:

O vazio andou dois para esquerda, dois para a direita, um para cima e um para baixo.

Um tour um pouco mais complicado, mas é a mesma lógica.

Agora, olhe para o “Desafio 14-15”:

Imagine começar da configuração possível e tentar chegar nessa configuração 15-14.

É uma posição esquisita, porque se o vazio percorrer somente a última linha, ele tem que ir à esquerda e voltar à direita, e nada vai mudar de lugar.

Se o vazio subir e descer, teria que bagunçar alguma coisa na linha de cima.

Se bagunçar e tentar consertar a linha de cima, automaticamente conserta a de baixo também, nunca chegando à posição 15-14.

É uma prova informal, só para dar uma intuição.

A prova mais formal diz que a paridade da permutação, mais a “distância de táxi” do vazio tem que ser par, porque quando muda uma coisa, a outra muda também.

O mais importante: Divirta-se com o “Puzzle do 15”!

Veja também:

15 puzzle – Wikipedia

Parity of a permutation – Wikipedia

Uma moça formosa, o último Teorema de Fermat e o Prêmio Wolfskehl

Como um amor não correspondido pode influenciar num dos teoremas mais famosos da matemática?

O alemão Paul Wolfskehl, descendente de um banqueiro, era médico de formação, porém, também estudou matemática nas universidades de Bonn e Bern, em torno de 1880.

Nessa época, ele estava terrivelmente apaixonado por uma jovem moça do seu círculo social. Contudo, já desde esta época, jovens nerds não atraíam moças formosas. Após inúmeros “foras”, ele tinha perdido totalmente as esperanças de um casamento, e também a motivação de viver…

Decidido, Wolfskehl planejou cuidadosamente o seu suícidio. Marcou data e hora exatas, testamento feito e todos outros procedimentos completos para o ritual.

Entretanto, ele tinha sido eficiente demais, e ainda faltavam várias horas para o momento previsto. Para matar o tempo, ele decidiu estudar sobre um curioso teorema que tinha acabado de ser provado.

Este era o último teorema de Pierre de Fermat, que estava fascinando matemáticos desde sua formulação, em meados de 1600.

O grande Teorema de Fermat afirma que não existem números inteiros a, b e c, para n>2, tais que:

a^n + b^n = c^n

Para n = 2, este se reduz ao famoso Teorema de Pitágoras, que todos nós estudamos no primeiro grau.

Na época de Wolfskehl, acreditava-se que o teorema tinha sido provado, pelo matemático Augustin Cauchy. Um teorema resolvido não apresenta um desafio. São os desafios das conjecturas não resolvidas que movem os matemáticos, como se fosse uma corrida do primeiro ao chegar ao topo do Everest ou ao Pólo Sul.

Na fatídica madrugada de seu suicídio, Wolfskehl passou horas concentrado, e descobriu um erro lógico na formulação de Cauchy. Com isso, o Teorema de Fermat continuava de pé!

Melhor ainda, quando Wolfskehl completou o raciocínio, o horário do suicídio já tinha passado.

Motivado pela deusa da Matemática, infinitamente mais bela do que qualquer contrapartida feminina, Wolfskehl decidiu continuar a viver.

Para a tristeza de seus parentes e de seu mordomo, Wolfskel tinha outros planos para o seu testamento. Agora, ele oferecia um prêmio de 100 mil marcos (equivalente a 1 milhão de libras em dinheiro atual), para quem decifrasse o Último Teorema de Fermat.

A notícia de que o teorema continuava não resolvido e o prêmio oferecido ajudaram a aumentar o interesse no tema, nas décadas seguintes.

O Último Teorema de Fermat foi finalmente provado cerca de 100 depois, por Andrew Wiles.

Essa história curiosa foi publicada no livro “O último teorema de Fermat”, por Simon Singh, recontada aqui com alguma simplificação aqui, algum exagero acolá.

Link da Amazon para o livro:

https://amzn.to/30ny8Pd

Veja também:

https://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Wolfskehl

https://simonsingh.net/media/articles/maths-and-science/the-wolfskehl-prize/

Sugestões para implementar Comp Quântica nos negócios

Dei uma entrevista à série “Digital minds”, da IBM, que será divulgada em alguns dias.

Foram várias perguntas e tinham outras pessoas na discussão, mas segue uma palhinha, sobre uma das perguntas:

Que sugestões você daria para CEOs e CIOs que pretendam implementar uma estratégia de computação quântica nos negócios?

As principais aplicações possíveis, para todas as indústrias, são: Cibersegurança / Simulação de moléculas químicas / Otimização.

  • Cyber: potencial de quebrar a criptografia atual / corrida para adotar protocolos resistentes à ataques de computadores quânticos.
  • Simulação de moléculas químicas: é a ideia original de Richard Feynman. Para simular propriedades quânticas dos átomos, porque não utilizar um computador quântico?
  • Otimização: problemas presentes em toda indústria, como roteirização de veículos, sequenciamento de produção, matching, trim da máquina de papel

É uma tecnologia disruptiva em futuro visível. E está havendo uma corrida para desenvolver melhores e maiores computadores. Ex. China X EUA.

Um dia a computação quântica vai se tornar tão relevante quanto IA é hoje.

Vejo dois maiores riscos, em paralelo com o que vem acontecendo com a Inteligência Artificial nos dias de hoje: 1) Falta de especialistas no mercado e 2) Aplicações que dizem usar IA mas que não geram valor real.

Para tal:
1) Já começar a preparar times internos que entendam do tema e que dominem os problemas do negócio. Ter pessoas minimamente antenadas no que vem acontecendo.

2) Ter em mente que vai demorar muitos anos para colher resultados, mas que sem o patrocínio das empresas atuais será muito difícil conseguir.

Para dar uma ideia do potencial, anotei alguns números deste relatório da McKinsey.

O tamanho do impacto na indústria farmacêutica $200 bilhões. Em Telecom, $50 bilhões.

https://www.mckinsey.com/business-functions/mckinsey-digital/our-insights/tech-forward/the-path-forward-for-quantum-computing

Quem conseguir se preparar vai ficar à frente das outras.

A Espiral de Ouro – Espiral feita com Golden Ratio

A Espiral de ouro é feita plotando sucessivos pontos em coordenadas (raio, ângulo) = (raio + delta raio, ângulo + delta ângulo), onde o delta ângulo é dado pelo “ângulo de ouro”, o equivalente angular da regra de ouro, a “proporção divina”.

O valor do ângulo de ouro é 137,5, e a derivação pode ser vista no link: https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_angle

O interessante é que um pouquinho fora da razão áurea, o comportamento da espiral já muda.

Vira uma espiral comum.

O complemento do ângulo de ouro, 222,5 também apresenta comportamento semelhante.

Mexa no painel interativo, escrito na biblioteca D3 do Javascript:

https://asgunzi.github.io/Espiral-de-Ouro/

Sobre o Golden Angle:

https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_angle

Veja também: