Categoria: ForgottenMath

Um sujeito anormal procurando um número interessante

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Após tirar esta foto, do prédio escrito “normal”, o sujeito anormal da foto – eu – lembrou-se de um paradoxo “interessante”.

IMG_4316.JPG

Suponha que eu liste os números naturais em ordem:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • …

Agora vamos dizer algum fato interessante sobre cada um dos números:

  • 1 É o primeiro número de todos, é divisor de todos os outros
  • 2 É o primeiro e único número primo par
  • 3 É o primeiro primo ímpar
  • 4 É o primeiro quadrado perfeito
  • …

Digamos que os números que têm alguma propriedade interessante sejam chamados de números “interessantes”.
E os números que não são interessantes sejam os números “normais”.

Utilizando esta definição, a lista ficaria assim:

  • 1 É um número interessante
  • 2 É um número interessante
  • 3 É um número interessante
  • 4 É um número interessante
  • …

É uma lista que parece possível de fazer.

Agora, suponha que o número x seja o primeiro número “normal” da lista.

  • 1 É um número interessante
  • 2 É um número interessante
  • 3 É um número interessante
  • 4 É um número interessante
  • …
  • x É um número normal
  • …

Mas, se x é o primeiro número “normal”, ele é um número “interessante”, porque ele tem uma propriedade interessante: a de ser o primeiro número “normal”.

Por outro lado, se considerarmos x um número “interessante” por ter a propriedade de ser o primeiro número “normal”, ele deixa de ser um número “normal” e passa a ser “interessante”, assim perdendo a propriedade de ser o primeiro “normal” e deixando de ser “interessante”…

Que confusão! Não é “interessante”?

Para falar algo interessante, este problema tem o nome de “Paradoxo dos números de Richard”, descrito pelo matemático Jules Richard em 1905.

Este link (https://en.wikipedia.org/wiki/Richard%27s_paradox) conta mais detalhes sobre o paradoxo de Richard, mas de forma menos interessante do que neste espaço.

Um outro paradoxo semelhante é o “Paradoxo do mentiroso”. Um homem que só conta mentiras diz “Estou mentindo”. Porém, como ele só mente, ele estará dizendo a verdade nesta afirmação. Mas se ele falar a verdade, ele não é alguém que só conta mentiras.

Esses paradoxos “bugam” não só a cabeça de um ser humano comum, mas também a cabeça dos maiores matemáticos da história.


O matemático austríaco Kurt Godel abalou as fundações de toda a matemática, em 1931, ao provar que a matemática não pode ao mesmo tempo ser Completa e Consistente, com seus Teoremas da Incompletude. Ou seja, a matemática tem limites. Godel encontrou um “bug” nas fundações da matemática – ela não consegue ao mesmo tempo se livrar desses paradoxos bizarros e responder Verdadeiro ou Falso a todas as suas proposições. Godel utilizou um versão sofisticada do Paradoxo de Richard para provar isto.

É uma longa história, que envolve gigantes do pensamento como David Hilbert e Bertrand Russell, e esta história fica para outro dia.

A propósito, eu acho que o autor do jogo de luzes do prédio escreveu “normal” de uma  forma “interessante” só para o prédio não ser mais “normal” e assim confundir a nossa cabeça…

 

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Nunca mais erre uma fórmula: análise dimensional, álgebra e ideogramas

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​Análise Dimensional

Um peso mexicano vale 0,17 real. Comprei 1.300 pesos. Quanto gastei em reais?

Há muito tempo atrás, eu me perguntava: a conta seria 1300*0,17 ou 1300/0,17?
A “análise dimensional” resolve facilmente esta dúvida.
Formula1.png
Peso corta com peso, sobrando real.
Se eu fizesse a conta oposta:

Formula2.jpg
O resultado é na unidade peso^2 / reais. Esta unidade não faz o menor sentido, então a fórmula está errada.
A análise dimensional consiste em fazer a conta algébrica com as unidades de medida, “cortando” e multiplicando as unidades.

Conheço esta técnica há tanto tempo que achei que todos a soubessem. Mas, descobri o oposto: a maioria das pessoas não conhece a análise dimensional. É uma técnica tão boa que não posso deixar de divulgá-la neste espaço.

Outro exemplo:

Tenho 20 m2 de área. Em um metro quadrado cabem em média 70 kg de uma material, digamos café. Cada quilo encolhe 10%, por conta de evaporação de água. Vendo o café por R$ 300 o saco de 5 Kg. Quanto será a receita esperada para a minha área?

Pela análise dimensional, é só montar a equação de forma a fazer todos os intermediários se cortarem:

Formula3.jpg

Álgebra x Aritmética
Qual a diferença entre Álgebra e Aritmética?
Em álgebra a gente faz a conta com letras, ou seja, de forma genérica: ax^2+bx+c = y

Em aritmética, a conta é numérica: 5*7^2 + 8*7-10 = 291.

Portanto, a aritmética estuda as regrinhas com as quais a gente faz as contas, enquanto a álgebra trata regras mais abstratas.

Algebrizando ideias não algébricas

Aproveitando o post algébrico, que tal inventar umas fórmulas?

Digamos que felicidade seja diretamente proporcional à saúde e à harmonia e inversamente proporcional ao stress.

Poderíamos escrever

Felicidade = saúde * harmonia – stress

Ou

Felicidade = saúde * harmonia /stress

Ou

Felicidade = saúde + harmonia – stress

Ou alguma outra combinação dessas. Qual a fórmula que melhor descreve a relação entre variáveis?

Quando usamos “vezes”, é como se fosse um conectivo lógico “e”. Se um dos campos zera, o resultado final é zero.

Com zero saúde minha felicidade cai a zero, não há harmonia que compense, e vice-versa.
Já quando usamos “mais”, as coisas se somam, e o excesso de um compensa o outro – equivale ao conector lógico “ou”.

Se a felicidade da saúde e harmonia for menor do que a infelicidade causada pelo stress, ainda assim estou um pouco feliz.

Portanto, por este raciocínio, a fórmula seria:

Felicidade = saúde * harmonia – stress

Isto é apenas um exercício de interpretação de fórmulas, mas note que felicidade é independente de dinheiro.

Bom em chinês

O ideograma (hanzi) chinês para “bom” é quase uma fórmula. É um ideograma formado por outros hanzi: o de mulher e de filho. Bom é ser casado e ter família.

 

Sábias palavras…

​Dúvida sobre a física dos sons

On por Arnaldo Gunziem ForgottenMathDeixe um comentário

Tenho uma pergunta, sobre física dos sons, que nunca consegui responder plenamente.

O som é uma onda, que tem uma amplitude e frequência, como na figura a seguir. Aliás, o comprimento de onda é o inverso da frequência, das aulinhas de física.

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Nossos ouvidos ouvem sons numa determinada faixa de frequências (20 Hz ~20.000 Hz). Tanto as frequências abaixo quanto acima, não são captadas.

Por outro lado, se o som tiver uma amplitude muito alta, como a explosão de uma bomba, o tímpano de uma pessoa pode se romper.

Pergunta:

O que acontece se eu colocar o som numa amplitude extremamente elevada, a ponto de furar os tímpanos, mas numa frequência inaudível?

O tímpano vai ser prejudicado devido à energia que esta onda carrega? Ou
a onda vai se anular, e nada acontece?

Tentativa de resposta

Tenho uma tentativa de resposta, mas não tenho convicção sobre a mesma.

O som é um fenômeno puramente físico. O tímpano é como se fosse uma membrana de um tambor, que vibra devido à vibração do ar.

Snare_drum_clean.jpg

Se um som tiver frequência alta demais, o tímpano não tem tempo de reagir à excitação. Quando a membrana é excitada para “subir”, já está na hora de “descer” novamente, ou seja, a onda se anula. Portanto, para frequências muito altas, uma amplitude alta não vai explodir os tímpanos.

Timpano.jpg

O tal de “ultrassom” é isso, uma onda acima do que conseguimos ouvir. Mas, embora o tímpano não responda ao ultrassom, alguma coisa dentro do corpo responde, no sentido de refletir a onda sonora. Portanto, mesmo não explodindo o tímpano, vai explodir alguma coisa dentro do corpo humano, que tem um comprimento de onda pequeno o suficiente (ou seja, um material denso o suficiente) para entrar em ressonância com esta onda.

E se o som tiver frequência abaixo do que ouvido consegue captar? O limite inferior audível teoricamente é menor do que 20 hz. Mas 20 Hz é praticamente zero, para a escala sonora.  Na prática, um som em baixa frequência e alta amplitude vai explodir o tímpano, por estar na fronteira da faixa audível ao ser humano.

​

E a visão?

Podemos fazer a mesma pergunta, mas em relação à enxergar. Nós enxergamos uma faixa de frequências. E ficamos cegos se olhar para o Sol, por exemplo. E uma exposição a uma grande amplitude numa faixa invisível, vai nos cegar ou não?

Trilha sonora:

Com tantas ondas sonoras e eletromagnéticas, uma boa música para acompanhar este post: Wave – Tom Jobim

Udacity self-driving car preview

On por Arnaldo Gunziem ForgottenMathDeixe um comentário

Eis aqui uma grande oportunidade. Para aqueles curiosos sobre o nanodegree de carros autônomos da Udacity, aqui está um preview, para acessar o conteúdo do curso, por tempo limitado.
http://blog.udacity.com/2017/04/free-sneak-preview-self-driving-car-nanodegree-program.html

Divirta-se.

​ O maior trote científico da história

On por Arnaldo Gunziem ForgottenMath, InovaçãoDeixe um comentário

“Treino é treino, jogo é jogo”, já dizia o ditador popular futebolístico.
 

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Num treino ninguém tem o mesmo nível de seriedade, de stress, de um jogo de verdade.

 

Agora, imagine um time que tem um jogo a cada dez anos. Mas este jogo pode ocorrer a

 

qualquer momento, inesperadamente. Ou seja, para ganhar tem que estar preparado. Mas como se preparar só treinando, sem jogar?

 

É mais ou menos isso que acontece em alguns eventos da vida real. Uma oportunidade de uma vida surge em um momento, e quem estará preparado para tal?

 

 
LIGO
 
O mesmo problema aconteceu num dos maiores projetos do mundo contemporâneo: o Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory (LIGO), que detectou as ondas gravitacionais de Einstein. A história completa encontra-se neste link: http://nautil.us/issue/42/fakes/the-cosmologists-who-faked-it, pelos pesquisadores Jonah Kanner e Alan Weistein, e a solução deles é surpreendente.

 

O projeto LIGO foi construido para capturar as tais ondas gravitacionais de Einstein. Elas tinham sido previstas há 100 anos, mas até o momento ninguém havia conseguido construir equipamentos sensíveis o suficiente para captá-las.
 
O LIGO consiste em 2 detectores gigantescos em formato de L com braços de 4 km, mantendo vácuo interno, e com espelhos refletindo raios laser, ao custo de alguns bilhões de dólares.

 
 
ligo-Aerial5.jpg
 
Portanto, imagine o problema. Um equipamento gigantesco, projetado para capturar onduletas minúsculas a bilhões de anos-luz de distância, sem que ninguém saiba exatamente se elas serão mesmo capturadas, quando aparecerão, e qual o formato delas… É a situação descrita, de treinos eternos por dezenas de anos, até que um dia pode (ou não) ter o jogo real.
 

O “trote”
 
A solução: aplicar um “trote” em si mesmos.
 
Em 2009, os pesquisadores criaram um mecanismo na qual uma equipe pequena (5 pessoas) poderia criar um evento falso. Eles poderiam adicionar secretamente um sinal simulando a tal onda gravitacional, e enganar o resto do time. Esta equipe secreta deveria manter sigilo absoluto nesta operação, sendo que nem a alta gerência poderia saber se a informação detectada era fake ou não.
 
Ligowaves.jpg
 
Toda a equipe de pesquisa sabia que havia a possibilidade de sinais falsos serem propositalmente gerados, mas não saberiam se um sinal específico era verdadeiro ou falso. Este mecanismo é muito bom, porque obriga que os pesquisadores façam um check duplo, triplo, quádruplo, em todas as hipóteses imagináveis: erro nos sensores, ruído vindo de alguma outra fonte, problemas mecânicos nos equipamentos, erros de interpretação, etc… Seria uma forma de policiar a si mesmos, já que é muito fácil cometer um erro nesta situação.
 
Eis que, em setembro de 2010, o LIGO captou um sinal. Era um sinal diferente de todo ruído terrestre até então captado. Os pesquisadores se movimentaram, concluíram que era um evento estranho, e passaram a investigar o mesmo a fundo. Chamaram este sinal de “Cachorro Grande”, por esta ter ocorrido na direção da constelação de “Canis Major”.
 
Assim, pelos próximos 6 meses os pesquisadores diretamente ligados ao LIGO, e uma rede de mais de 700 pesquisadores ao redor do mundo, passaram a investigar todos os detalhes do evento “Cachorro Grande”. Seria um erro de medida? Seria isto real? Haveria problemas no hardware? Erro de interpretação? Como fazer para tanta gente assim concordar com as conclusões de uma investigação tão fora da realidade quanto esta?
 
Em março de 2011, após infindáveis discussões, eles tinham fechado um artigo descrevendo o evento de detecção de ondas gravitacionais. Um grupo de mais de 300 cientistas se reuniu num hotel na Califórnia, com mais algumas centenas conectados pela internet, e votaram a submissão do artigo para uma revista científica. Após inúmeros discursos, contestações, divagações, eles finalmente aprovaram a publicação do artigo.
 
Então o diretor do Laboratório LIGO, Jay Marx, tomou o palco. Ele estava carregando um envelope no seu bolso havia seis meses. O envelope continha a verdade, sobre os dados serem falsos ou não. Seria a diferença entre um prêmio Nobel ou alguém rindo da cara deles. E, finalmente, ele abriu o envelope, para dizer que esses dados eram falsos, injetados artificialmente.
 
Os pesquisadores abriram champanhe, assim mesmo. Se o jogo não foi jogado, pelo menos tinha sido um treino da mais alta intensidade, capacitando-os para um futuro jogo real.
 

O Jogo Real
 
Cinco anos depois, no final de 2015, os detectores do LIGO captaram um sinal diferente de tudo o que já tinham visto antes.
 
Eles tomaram como base o checklist e os questionamentos do trote de 5 anos atrás, para a checagem de tudo o que seria possível. E o sinal passou por todos os critérios. Desta vez, não era um trote programado. Eram as ondas gravitacionais, com nível de confiança de 99.9999 porcento.
 
Cinco meses depois, eles tinham plena confiança de que finalmente tinham conseguido detectar as tais ondas gravitacionais. Após algumas dezenas de publicações, (https://www.ligo.caltech.edu/page/detection-companion-papers), eles anunciaram publicamente a descoberta das ondas gravitacionais (e o ponto alto de suas carreiras é que ganharam um post neste blog, sobre as ondas gravitacionais, clicando aqui).
 
Como se preparar para um grande jogo, que acontece esporadicamente ou nem venha a acontecer? Uma das formas é com simulações do jogo, assim como fazemos simulados de cursinho para o vestibular.

  

Solução do Desafio do Penrose Institute

On por Arnaldo Gunziem ForgottenMath7 Comentários

Neste post, foi apresentado o interessante Desafio do Instituto Penrose. Interessante porque os melhores supercomputadores não conseguem resolver, mas é mais ou menos simples para um ser humano.

https://ideiasesquecidas.com/2017/03/30/desafio-do-penrose-institute/

instituteoff
Brancas jogam e empatam ou vencem

A chave é perceber que as peças Pretas estão travadas. As únicas peças que se movem são os bispos pretos, que não ameaçam o Rei Branco enquanto o mesmo estiver numa casa branca.

Portanto, basta o Rei Branco ficar andando aleatoriamente pelas casas brancas. Nunca será ameaçado. Após enfadonhos 50 movimentos de cada lado, o jogo será considerado empatado pela regra abaixo.

Regra dos cinquenta movimentos: é considerado empate se não há captura ou movimento de peão nos últimos 50 movimentos de cada jogador.

Podem existir outras respostas, afinal, a imaginação humana é inigualável!

Alguma outra solução?

Solução alternativa. A solução do petista.

Discutir com petista é como jogar xadrez com pombo. Ele vai derrubar as peças, cagar no tabuleiro e sair cantando vitória.

 

Atualização:

Veja a solução do prof. Aílton, que postou um link de sua resposta nos comentários deste blog.

 

 

Atualização 2: O meu amigo Marcos Melo recebeu a resposta oficial do Instituto Penrose sobre o desafio. Não achei um link para o mesmo, portanto posto abaixo prints do e-mail recebido.

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Penrose4.png

 

Veja também:

Estratégias do xadrez para a vida

Desafio do Penrose Institute

On por Arnaldo Gunziem ForgottenMathDeixe um comentário
Um desafiozinho de xadrez, criado pelo Penrose Institute.
É um puzzle relativamente simples de resolver, necessitando de um nível um pouco acima de básico de xadrez.
Entretanto, é muito interessante porque nem os melhores supercomputadores do mundo conseguem resolver.
Nota: Roger Penrose é um físico e matemático extremamente respeitado, tendo desenvolvido diversos trabalhos com o conhecido físico Stephen Hawking, um dos primeiros a propor a ideia de Buracos Negros.
O puzzle:
instituteoff.jpg
Peças brancas jogam. Objetivo: brancas empatarem ou vencerem
Sabendo como são programados os computadores, sabe-se também como enganá-los.
Xadrez é um jogo em que o número de combinações facilmente explode para infinito. É difícil olhar 2 jogadas à frente, imagine 5, 10, 15 jogadas à frente! Mesmo o computador mais poderoso do mundo não consegue explorar todas as jogadas possíveis de maneira exaustiva, demoraria milhares de anos para tal. Então, como fazer?
Os programas de computador levam em conta aspectos como a força relativa de cada peça (por exemplo, a dama vale mais que o cavalo), a posição (a dama numa posição central tem mais chance de atuar do que presa atrás de um peão), e também um banco de dados gigantesco de boas jogadas e posições.
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O xadrez é um jogo conhecido há uns 1500 anos (https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_chess).  Há séculos, as peças e as regras são as mesmas. Por isso, há centenas de milhares de jogos catalogados, e daí é possível extrair padrões: jogadas de início, meio de jogo, fim de jogo. É como se fossem marcos a serem atingidos numa viagem: para chegar à Índia, primeiro passar pelo Cabo da Boa Esperança, depois pelas ilhas de Madagascar, etc… Isto facilita muito o algoritmo, porque reduz violentamente o número de possibilidades.

Eu não sou nenhum especialista em xadrez, mas só de olhar o tabuleiro, dá para sacar algumas conclusões:

 

  • Em termos de força das peças, as pretas têm muito mais poderio: dama, torre, bispos, enquanto as brancas só tem três peões.
  • O posicionamento das peças é muito esquisito. As pretas, que começam o jogo na parte de cima, estão no lado esquerdo do tabuleiro. Esta posição bem unusual é feita de propósito, para evitar que o computador encontre um marco bem definido. É como chegar à Índia começando a viagem do pólo-norte, da onde não se tem rotas definidas.
  • As peças brancas, embora fortes, estão todas travadas, e numa posição bem maluca. É extremamente improvável, embora não impossível, ter uma situação dessas.
  • Três bispos brancos em casas da mesma cor? Eu já tinha resolvido o puzzle, mas não tinha sacado como seria possível ter três bispos no jogo. Só depois fui perceber: é possível sim, basta avançar um peão branco até a última casa e promover a bispo (também muito unusual).
  • Peças brancas fortes, posições esquisitas, tudo é muito estranho, para forçar o computador a abandonar a estratégia de pegar atalhos, fazê-lo percorrer milhões de combinações possíveis e não chegar a lugar nenhum.
Solução:
Minha solução será publicada daqui a uma semana, para dar aos leitores tempo para pensar.
Atualização: já publiquei a solução, aqui.
Para quem resolver, principalmente se tiver alguma ideia muito legal, enviar a solução para puzzles@penroseinstitute.com.
Sugiro parar a leitura para tentar a solução. Mas segue uma dica, se necessário.
Há alguns critérios possíveis para considerar um jogo empatado:
– Stalemate: brancas não tem jogada possível
– Não existe checkmate possível, exemplo quando sobra rei contra rei
– Repetição três vezes seguidas: a mesma jogada é repetida trẽs vezes consecutivas, pelos dois lados
– Regra dos cinquenta movimentos: não há captura ou movimento de peão nos últimos 50 movimentos de cada jogador.
Nota: Assim como em alguns puzzles anteriores, este me foi passado pelo grande engenheiro Marcos Melo.

RoadMap – Projetos de carro autônomo

On por Arnaldo Gunziem ForgottenMath, Self Driving carsDeixe um comentário

Terminei a parte 1 do nanodegree de carros autônomos da Udacity!

nanodegree.jpeg
“Certificado” de conclusão

Foram projetos como o de ensinar um carro a dirigir num ambiente simulado:

E o de treinar uma rede neural para reconhecer placas de trânsito:

Traffic.jpeg

E o de identificar outros veículos e as faixas de trânsito.

 

O Termo 2 do curso envolve sensores Lidar e robótica com C++!

Veja o relatório completo na plataforma Medium:
Relatório completo

O puzzle das 12 bolinhas e a Teoria da Informação

On por Arnaldo Gunziem ForgottenMathDeixe um comentário

Neste post, usarei uma resolução do puzzle da 12 bolinhas para mostrar como nós, intuitivamente, utilizamos os conceitos da Teoria da Informação para resolver este tipo de problema.

O problema das 12 bolinhas

“Há doze bolinhas, extremamente idênticas. Têm pesos iguais exceto uma delas que tem um peso um pouco diferente. Não se sabe a priori se é mais leve ou mais pesada. Com uma balança de dois pratos, encontre a bola diferente fazendo apenas três pesagens, dizendo também se é mais leve ou mais pesada”.

Sugiro que o leitor perca pelo menos 1 hora tentando resolver por si só, antes de retornar ao post.

Nota: o “culpado” por este post é o meu amigo Marcos Melo, que me enviou este puzzle.

 

Resolução

Imagine que temos 12 bolinhas. Podemos colocar a entropia desta situação inicial numa tabela:

Inform01.png

Pesagem 1: Coloco 4 no primeiro prato, e 4 no segundo, deixando 4 de fora.
Bal01.png

Há duas situações possíveis:

1.1 A balança fica equilibrada
1.2 A balança pende para um dos lados

Situação 1.1 – A balança fica equilibrada

É a situação mais simples. Teremos a certeza de que as 8 bolinhas são neutras, portanto, vamos pintar de cinza.
Bal02.png

 

A bolinha diferente está entre as quatro que ficaram de fora. Vamos colocar 2 bolinhas em um dos pratos, 1 no outro, e deixar 1 de fora. Para equilibrar a balança, vamos colocar uma bolinha neutra no lado que ficou sozinho.

Bal03.png
De novo, temos duas situações:
1.1.1 A balança fica equilibrada
1.1.2 A balança pende para um dos lados

Situação 1.1.1 – A balança fica equilibrada

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Se a balança ficar equilibrada, a bolinha que ficou de fora é o intruso. Uso a terceira e última pesagem somente para decidir se ela é mais leve ou mais pesada. Fim deste ramo da árvore.

Situação 1.1.2 A balança pende para um dos lados

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Vamos pintar as bolinhas do lado mais leve de verde, e do lado mais pesado de vermelho, exceto a bolinha neutra.
Observe que são três bolinhas incógnitas, duas da mesma cor e uma de outra. Vamos chamar este ponto de “Procedimento das três incógnitas“.

Peso as duas bolinhas que eram do mesmo prato.

Bal06.png

1.1.2.1 A balança fica equilibrada: quer dizer que a bolinha que ficou de fora é o intruso, e é mais pesada.
1.1.2.2 A balança pende para um dos lados: o intruso é a bolinha mais leve.

Para o caso em que há duas bolinhas vermelhas e uma verde, a resolução é análoga. Fim deste ramo da árvore.

Este é o caso fácil. Vamos para a outra situação.

Situação 1.2 A balança pende para um dos lados.
Vamos pintar as bolinhas.

 

Bal12.png

Para a segunda pesagem, retirar duas bolas de um prato e uma do outro. Completo com uma neutra.
Também inverto de prato duas das bolinhas que estavam inalteradas. Vou pesar assim:

Bal08.png
Tenho três situações:
1.2.1 A balança fica equilibrada
1.2.2 A balança pende para o lado contrário
1.2.3 A balança continua pendendo para o mesmo lado

Situação 1.2.1 – A balança fica equilibrada
Se a balança fica equilibrada, pinto as bolinhas dos pratos de cinza. Fico com três incógnitas, duas da mesma cor e uma de outra.

Bal09.png
Posso usar o mesmo “Procedimento das três incógnitas” do item 1.1.2 para encontrar o intruso e o seu peso relativo.

1.2.2 A balança pende para o lado contrário
Se a balança pender para o lado contrário à primeira pesagem, quer dizer que uma das duas bolinhas que mudaram de posição é o intruso. Posso pintar as demais de cinza.

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Uso a terceira pesagem, de uma das bolinhas do prato contra um peso neutro. Se der igual, sei que o intruso ficou fora, e se é mais leve ou não. Se der diferente, o intruso é a bolinha pesada, e sei o peso relativo.

1.2.3 A balança pende para o mesmo lado
Neste caso, sei que as bolinhas que ficaram de fora são neutras. E as que mudaram de lado também são neutras.

Bal11.png
Fico com três bolinhas de incógnita. Posso usar o mesmo  “Procedimento das três incógnitas” do item 1.1.2 para encontrar o intruso e o seu peso relativo.

Portanto, está resolvido o puzzle.

De forma geral, em cada passo procurou-se ganhar o máximo possível de informação nova. A distribuição do conjunto incógnitas no prato 1 x incógnitas no prato 2 x incógnitas fora do prato ficou o mais igual possível. E isto tem relação total com Informação.

Qual é a lógica da resolução do puzzle, sob a ótica da Teoria da Informação?

A Teoria da Informação de Claude Shannon, publicada em 1948, é importante para definir limites na transmissão de dados, número de bits para compressão de dados. Tem muita relação com entropia, que é mais ou menos a medida de desorganização do sistema.
A cada passo, tentamos diminuir ao máximo a entropia do sistema.

Início: Entropia máxima.

Inform01.png

Intuitivamente, sabemos que se eu usar a primeira pesagem para pesar uma bolinha em cada prato, e deixar 10 de fora, vou estar ganhando pouca informação. Se, por sorte, uma das duas bolinhas pesadas for mais leve ou mais pesada, resolvo de cara a situação, mas esta é uma possibilidade remota. A medida de entropia retira esta intuição por probabilidades.

Vejamos.

Após pesar 4 e 4 bolinhas, deixando 4 de fora, temos duas possibilidades: ou a balança dá igual, ou dá diferente.
Se a balança der diferente, saberemos que as 4 de fora são neutras, e que algumas bolinhas não poderão ser a mais leve e outras não poderão ser a mais pesada.
Se a balança der igual, saberemos que as oito serão neutras, mas não temos nenhuma informação sobre as quatro que ficaram de fora.
Inform02.png
Temos 16 incógnitas para primeira situação, e 12 na segunda.
Temos 2/3 de chance ocorrer a primeira situação (probabilidade da bolinha diferente estar entre as 8 pesadas) e 1/3 da segunda situação.
Portanto, o valor esperado do número de incógnitas é de 16*2/3 + 12 *1/3 = 14.6

Se eu pesar 5 e 5, deixando duas de fora?

Teremos o seguinte quadro.
Inform03.png
Valor esperado: 20*10/12 + 6*2/12 = 17.6 (terei mais incógnitas que pesando 4 x 4 x 4)

Se eu pesar 3 e 3, deixando 6 de fora?

Teremos o seguinte quadro.

inform04.png

Valor esperado: 12*6/12 + 18*6/12 = 15 (terei mais incógnitas que pesando 4 x 4 x 4)

Se eu pesar 1 e 1, deixando 10 de fora?

Teremos o seguinte quadro.
Inform05.png

Valor esperado: 4*2/12 + 30*10/12 = 25.6 (terei mais incógnitas que pesando 4 x 4 x 4 ou 5 x 5 x 2 ou 3 x 3 x 6)

E isto confere com a intuição. Pesar 1 e 1 deixando 10 de fora é pior do que pesar 2 x 2 x 8. E a melhor situação é a mais simétrica, 4 x 4 x 4.

Em machine learning, existe até um algoritmo de classificação que usa exatamente este mesmo princípio. O nome do algoritmo é  C4.5, e ele faz o seguinte: em cada passo, calcula a entropia se aplicar um critério, e escolhe o critério que mais reduz a entropia. Depois, escolhe o segundo critério da mesma forma, e assim sucessivamente.

O C4.5 é simples computacionalmente, e na prática chega a bons resultados. E é mais ou menos como aplicar o problema de separar bolinhas com uma balança, porém com milhares de bolinhas, e com uma balança de várias dimensões!

Bom, duvido que a pessoa que inventou o puzzle tivesse pensado em Claude Shannon e o algoritmo C4.5. Só mesmo este blog maluco para fazer este tipo de correlação!

Detecção de Veículos utilizando Visão computacional

On por Arnaldo Gunziem ForgottenMath, Self Driving carsDeixe um comentário

 

O projeto 5, do nanodegree de veículos autônomos da Udacity, consistia em identificar veículos num vídeo, utilizando visão computacional.

ScreenshotExample.jpg

Vídeo ilustrativo:

 

Relatório completo na plataforma MediumRelatório completo na plataforma Medium:
View story at Medium.com

Um neurônio de McCulloch-Pitts

On por Arnaldo Gunziem Administração, ForgottenMathDeixe um comentário

O que um único neurônio pode fazer?

 

A primeira noção de neurônio artificial é de um paper de 1943, por dois sujeitos: Warren McCulloch e Walter Pitts.

Imagine Walter Pitts como um pequeno gênio, nascido numa família severa, onde o seu pai odiava a escola e queria que ele trabalhasse. Imagine Pitts escondido na biblioteca pública à noite, lendo o Principia Mathematica de Bertrand Russell (um dos maiores matemáticos de todos os tempos) e sonhando em desvendar o mundo.

Walter Pitts (note a testa do sujeito)

Não conseguindo resistir à tentação, coloco aqui uma imagem do Líder, da revista Incrível Hulk.

O Líder

Anos depois, Pitts encontra Warren McCulloch, um neurofisiologista muito mais velho e já respeitado. McCulloch explica que quer modelar o cérebro de uma maneira lógica, como os neurônios do cérebro funcionam, as analogias com o modelo de computador de Alan Turing, a Principia Mathematica, e assim vai. Algumas horas depois, fica evidente que Pitts é o cara certo para fazer a formulação matemática do problema.

Warren McCulloch
Impressionado pela genialidade de Pitts, McCulloch o “adota”. Pitts passa a morar na casa de McCulloch, e eles trabalham juntos todas as noites, após a família de McCulloch ir para a cama. O brilhante, respeitado, velho cientista e o fugitivo de casa, desempregado, sem ensino médio, jovem gênio.
Juntos, eles criam a primeira ideia de neurônio artificial, no paper “A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity”, 1943.

O neurônio artificial é algo que recebe sinais como entrada, multiplica por um peso e compara o resultado contra um discriminante. Se é maior, a saída é um. Senão, é zero.

O neurônio de McCulloch-Pitts é binário, com poucos neurônios e sem técnica de retropropagação para fitar os pesos. Pitts mostrou que uma combinação desses neurônios pode emular as portas lógicas (ou, e, não) e, fazendo isto, fazer o mesmo cálculo que um computador digital. Na mesma época, os computadores digitais estavam sendo projetados pelo grande John von Neumann (outro gênio), o que significava que eles faziam todas as contas no braço.

Imagem do paper de 1943

Após este trabalho seminal, uma área completamente nova começou a florescer. Hoje, há retropropagação, múltiplas camadas, centenas de milhares de neurônios, várias funções de ativação, dropout, convolução, transferência de conhecimento, regularização… e muito, muito mais a vir.

Paper de 1943:

http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02478259

Este paper tem apenas três citações. Uma delas é o Principia Mathematica de Russell e Whitehead.

Apenas para finalizar esta nota histórica, a vida real não é um conto de fadas, de mendigo a príncipe. A vida de Pitts foi de mendigo a príncipe para mendigo de novo. Walter Pitts entrou em depressão após algumas decepções. Ele começou a beber pesadamente, se isolou cada vez mais de todos os outros, e morreu sozinho, na pobreza. Ele tinha 46 anos.

Fonte: revista Nautil.us.

http://nautil.us/issue/21/information/the-man-who-tried-to-redeem-the-world-with-logic

Conclusão

Walter Pitts trabalhou numa biblioteca à noite, com lápis e papel. Fico me imaginando o que ele poderia fazer, se tivesse um computador digital e técnicas modernas como TensorFlow, Keras, GPU…

Um mundo inteiro foi construído a partir do neurônio de McCulloch-Pitts, e um mundo muito, muito maior está sendo construído. O mundo é grande!

Escrevi este post em inglês no link a seguir, com um complemento técnico em Keras.

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Projeto 3 – Ensinando um carro a se auto-dirigir

On por Arnaldo Gunziem ForgottenMathDeixe um comentário

Sobre o projeto 3, do nanodegree de carros autônomos da Udacity.

Consiste em ensinar um carro a dirigir sozinho, num ambiente simulado – um vídeo game mesmo. Lida com visão computacional e redes neurais.

Fiz um relatório bem detalhado (e muito técnico) em https://medium.com/@arnaldogunzi/teaching-a-car-to-drive-himself-e9a2966571c5#.d06wvx7hy.

 

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