Como resolvi o cubo Skewb

O cubo Skewb é esta belezinha da foto. É tipo um cubo mágico, porém, as peças se movimentam nas diagonais.

Skewb01.jpg

 

O cubo é importado da China, e vem com um manual de instruções. A primeira coisa que fiz foi jogar fora o manual de instruções. Qual a graça de ter um quebra-cabeça se ele já vem montado? Ou fazer uma prova sabendo as respostas? O divertido é inventar as suas respostas, que talvez sejam até melhores do que as do fim do livro. Reinventar a roda.

 

A internet está cheia de respostas corretas, basta procurar. Entretanto, há pouquíssima ou nenhuma informação sobre como raciocinar. Esta página tem a pretensão de ajudar a preencher esta lacuna, ao reproduzir o processo cognitivo de tentar encontrar a solução do Skewb.

 

O método para resolver cubo Skewb pode ser reduzido a uma sentença: identificar padrões. Isto é válido para qualquer tipo de cubo – reconhecer e aplicar padrões. De preferência, padrões que variem o mínimo possível de peças, para que possamos facilmente entender o efeito – chamo isto de “padrão invariante”.

Para enfatizar: reconhecer padrões vale tanto para o Skewb quanto para um cubo 1000 x 1000 x 1000! A diferença é que o cubo gigante vai ser um pouco mais complicado…

O Skewb é mais complexo de resolver do que o Pyramix, porém mais simples do que o cubo de Rubik tradicional. Vide post sobre poliedros mágicos.

Pyramix

Portanto, é um bom exemplo para mostrar como se raciocina para resolver este tipo de problema. Vamos lá.

 

 


 

Passo 1: O Skewb – análise preliminar

“Skew” significa em inglês algo diagonal, enviesado. O “b” de “skewb” deve ser para ficar sonoramente parecido com “cube”, mas é chute meu.

 

Este quebra-cabeça consiste de um cubo, de seis lados, cada lado com uma cor: branco, vermelho, verde, azul, amarelo e laranja.

Diagrama esquemático. Há seis peças de centro, os losangos do meio, cada um com cor diferente.

Há oito peças de canto, cada uma tem três cores – três triângulos formam uma peça, no diagrama simplificado.

Diagram01.png

As cores e a posição relativa das cores coincide com o cubo Rubik tradicional, o que é bom, não precisa decorar de novo.

 

Skewb02.jpg
Exemplo do movimento R

 

Passo 2: Notação dos movimentos

Após brincar bastante com os cubos, proponho a seguinte notação para os movimentos. É a mesma lógica do movimento do cubo de Rubik tradicional.

Tomando como referência o quadrado branco, visto na diagonal. O movimento padrão é no sentido horário.

R (Right)
L (Left)
B (Back)
F (Front)

Diagram02.png

Exemplo. O movimento R dará o seguinte diagrama.

Diagram03.png

Foto correspondente:

Skewb02.jpg

O movimento com linha (‘) é no sentido anti-horário.
R’
L’
B’
F’

Diagram04.png

Exemplo do diagrama R’:

Diagram05_RLinha.png

 

 

O movimento com exponencial indica o número de repetições do movimento. R^2 = R seguido de outro R. Porém, R^2 vai ser idêntico a R’.
R^2 = R’
L^2 = L’
B^2 = B’
F^2 = F’

Há apenas dois movimentos possíveis em cada lado, no terceiro movimento, volto para a posição original – abaixo, I significa Identidade, ou seja, voltei ao início.

R^3 = I
L^3 = I
B^3 = I
F^3 = I


 

Passo 3: Reconhecendo padrões

A metologia: partir do cubo montado, aplicar possíveis movimentos e anotar os efeitos.

Trabalhar com o cubo já embaralhado torna quase impossível entender o que acontece. O problema é que as vezes a gente se perde, e não sabemos voltar para o cubo arrumado. No caso do cubo Skewb, era fácil desmontar o mesmo (chamado ironicamente de método da chave de fenda), e voltar para a posição inicial. Usei o mesmo algumas vezes, para conseguir entender os padrões.

O divertido agora é mapear combinações dos movimentos, digamos, RL – R^2L – RLRL – RBRB – RLRLRL – RBRBRB, assim sucessivamente, e ver o que acontece.

O algoritmo em geral, é: faça o movimento – veja o que aconteceu – anote.

Algumas séries têm efeito tão complicado (digamos, mudando 8 peças de posição), que tornam impossível decorar o efeito delas – a não ser que eu seja um computador, o que não é o caso.

Exemplo: O movimento RL é tão complicado que não dá para decorar todo o seu efeito.

Diagram06_RL.png

Foto da visão frontal e virando do outro lado:

FotoRL.png

 

Outras séries podem mudar poucas peças (digamos, apenas três), o que fazem elas merecedoras de maior atenção.

Fique com os movimentos mais invariantes, aquelas que mudam o menor número de peças possíveis, anotando num caderno o efeito delas.

Após inúmeras horas brincando com estes movimentos, podemos mapear alguns resultados interessantes.

O movimento Troca centros 1 (por falta de nome melhor) troca apenas apenas a posição de centros de quatro peças – bem melhor, por exemplo, que a confusão do movimento RL acima.

Diagram07_TrocaCentros1.png

FotoCentros02.png

Note um padrão. R’B’ seguido de RB – repita três vezes seguidas. Ou seja, de certa forma, faço um movimento e depois desfaço o mesmo, e sigo fazendo isto até chegar em alguma coisa interessante (se não chegar em nada novo, desisto e volto para o começo).

Descobri também que a série (RB’)^9 dá o mesmo resultado, só que com mais movimentos.

Pode parecer fácil olhando o resultado final, mas fiquei trabalhando por muito tempo até chegar a este primeiro movimento invariante.

 

O movimento Troca centros 2 é ligeiramente diferente, (R’B) seguido de (RB’), três vezes – note a simetria, o movimento de ida e de volta.

Este vai trocar os centros, mas centros difentes.

Diagram08_TrocaCentros2.png

 

O terceiro padrão interessante é o (RL)^9. Tem um efeito ligeiramente mais complicado, mexendo em 5 centros ao invés de 4.

Diagram09_TrocaCentros3.png

Foto04.png

Padrão análogo, mas mudando a ordem.

Diagram10_TrocaCentros4.png

 

Pois bem, nota-se que é fácil mudar as peças de centro. Portanto, parece fazer sentido primeiro arrumar as peças de canto, e depois arrumar as peças de centro seguindo os movimentos invariantes acima.

 

Portanto, vamos concentrar em encontrar alguma solução para as peças de canto.

 

Infelizmente, após muito buscar, não achei solução fácil. O jeito foi adaptar uma solução difícil, ignorando os efeitos nas peças de centro (já que serão resolvidas depois).

Diagram11_TrocaCantos01.png

Foto05.png

Pintando de preto os centros que não interessam (por que serão resolvidos pelos movimentos de troca de centro), o movimento (R’BRB’) mantém os cantos superiores inalterados, enquanto gira os inferiores. Como a representação acima é péssima para visualizar isto, segue abaixo um diagrama esquemático do efeito.

Diagram12_TrocaCantos01.png

O diagrama é uma visão de cima, do topo para baixo, mostrando apenas as peças de canto. O quadrado do meio são as peças da camada superior, e o quadrado maior, das peças inferiores.

r1 = rotaciona uma vez (120 graus)

r2 = rotaciona duas vezes (240 graus)

 


 

Passo 4: Juntando tudo na sequência correta

Os movimentos acima são suficientes para resolver o Skewb. Falta saber aplicar a sequência correta.

Das séries obtidas, nota-se que mudar os centros de posição é mais simples do que rotacionar os cantos. Portanto, a sequência para arrumar o Skewb é

a) Posicionar as peças de canto no local certo, independente da rotação e das peças de centro.
É sempre possível fazer isto, de forma relativamente simples, por haver muitos graus de liberdade. Não há algoritmo descrito aqui para esta primeira etapa, por ser simples.

b) Girar as peças de canto para a posição correta.

Para tal, utilizei apenas o movimento troca cantos descrito acima. O leitor deve analisar quantas vezes a peça de canto deve ser rotacionada, e posicionar o cubo de forma a ir arrumando as peças.

Não achei necessidade de usar algum outro movimento, mas sempre é possível descobrir outros.

Dica: girar os cantos corretos para um layer (digamos o superior), e depois o inferior.

 

Uma posição especialmente difícil é a posição abaixo, onde as setas indicam quantas rotações são necessárias para arrumar a posição.

Diagram13_posicaoEspCantos.png

Para resolver tal impasse, aplicar o movimento roda cantos, girar o cubo todo uma vez, no sentido horário e aplicar novamento o movimento roda cantos.

 

c) Arrumar as peças de centro. Utiliza-se a combinação dos movimentos de troca de centro acima. Não tem uma única forma de aplicar todos, o leitor deve analisar qual o movimento que faz sentido e aplicar o mesmo.

 

Uma posição especial relativamente difícil é quando há três centros arrumados, e três desarrumados.

Diagram14_posicaoEspCentros.png

É possível resolver utilizando a combinação de movimentos (RL)^9, girar o cubo inteiro no sentido horário, e (L’R’)^9.

 

De posse desses movimentos e das dicas especiais citadas, é sempre possível resolver o Skeweb.

Há também os mesmos movimentos, mas simétricos, espelhando todos os movimentos (e obtendo resultados espelhados). A fim de simplificar este post já longo, deixo-os de fora.

Entretanto, o desafio não é aplicar os algoritmos para resolver o cubo, e sim, criar os próprios métodos, notações e ter o espírito de resolver, não só este, mas qualquer outro problema  semelhante.

 


 

Bônus – “Making off” da solução.

 

Fotos de algumas anotações de caderno e estudos, já que a ideia é mostrar o raciocínio.

 

Fiz os diagramas no Power Point, criando os shapes de retângulos e triângulos e os colorindo. Mas não é o software da Microsoft, é o Libre Office que vem com o Ubuntu Linux. Usei este por ser fiel ao dogma de experimentar outras alternativas, conforme descrito aqui. E o resultado foi excelente, além de ficar muito bonito, aprendi um pouco mais do Libre Office.

Diagram15_LibreOffice.png

IMG_0438

 

IMG_0441

 

 

 

​ Isomorfismo em cubos mágicos

Isomorfismo é uma palavra difícil para dizer que duas coisas são iguais, apesar de não parecerem à primeira vista.
Isto é importante porque, se identificarmos isomorfismos, podemos aplicar soluções já conhecidas a novos problemas.

 

IMG_2202.JPG

 

O cubo mágico normal é assim: 3 x 3 x 3. 6 lados, cada lado com uma cor. Movimentos nos eixos Vertical, Horizontal e Lateral.
Este cubo estranho, que ganhei de presente do meu amigo Didiel Peça, pode parecer diferente:

 

IMG_2205.JPG

 

Mas olha só as semelhanças: 3 x 3 x 3. 6 lados, cada lado com uma cor. Movimentos nos eixos Vertical, Horizontal e Lateral. Se cada bolinha for equivalente a um cubículo, o método de resolução é exatamente o mesmo.
O movimento RD aplicado a ambos demonstra a semelhança.

 

IMG_2206.JPG
O cubo maçã é exatamente a mesma coisa. 3 x 3 x 3. 6 lados, cada lado com uma cor. Movimentos nos eixos Vertical, Horizontal e Lateral.

 

IMG_2203.JPG

 

O cubo estrela também é isomorfo ao cubo normal. Esta só tem uma diferença: a peça do meio tem orientação, ao passo que a no cubo comum a peça central é neutra.

 

IMG_2204.JPG

 

Movimento RD aplicado a ambos:

 

IMG_2208.JPG

 

O cubo assimétrico também é isomorfo, apesar de ser uma pouco mais difícil de enxergar.

 

IMG_2201.JPG

 

Ao invés de cores, o que muda são as formas: um pouco mais estreito ou comprido em cada dimensão. Mas cada cubículo tem exatamente o seu lugar e orientação no cubo resolvido.

 

Movimento RD aplicado ao cubo assimétrico. Aqui o desafio é saber qual a posição correta a que cada peça corresponde, e aplicar os mesmos algoritmos do cubo normal.
IMG_2207.JPG

 

Todos os cubos apresentados são iguais, ou isomorfos.

 

Não é necessário reinventar a roda. Basta reconhecer onde há uma roda.

 

 

Arnaldo Gunzi
Outros cubos:

X-Cube – Introdução

Como resolver o dodecaedro mágico? – Introdução

Poliedros mágicos

 

 

Brinquedo Novo

O cubo 7x7x7 é muito legal,

IMG_2084.JPG

Dá para criar alguns padrões bem bonitos.

Outros padrões:

IMG_2079.JPG

 

 

IMG_2078

Dá muito trabalho escrever a metologia de solução, mas um dia vou fazê-lo.

 

IMG_2081.JPG

Dá até para escrever nele!

 

IMG_2083.JPG

 

Obs. Nota-se que não sou muito bom em fotos. Se alguém quiser me ajudar, agradeço,

 

Arnaldo.

Cubo X – Topo e laterais externas

No último capítulo do tutorial do X-Cube, chegamos ao cubo no formato em X.

 

IMG_1472.JPG
Anteriormente, foram apresentados a Introdução, Dissecação e Notação:

 

 

A ideia aqui é montar o cubo externo sem desmontar o formato em X. Primeiro, montar o topo e a lateral, e a seguir a base.
 


 

Parte A – Montar o topo

 

Na verdade, montar o topo do cubo externo não é um grande desafio. Basta fazer os movimentos r, l, f e b  combinados com a movimentação da última e/ou penúltima camadas. Fica como exercício para o leitor.

 

O cubo com o topo montado fica assim.

 

IMG_1473.JPG

 


 

Parte B: Montar a lateral

 

A ideia agora é montar a lateral externa sem desmontar o formato em X nem desmontar o topo.

 

Para tal, pode-se utilizar o “algoritmo lateral”, descrito a seguir.

 

Ele coloca a peça de edge do lado de  trás na lateral. As peças pintadas de cinza não interessam, neste momento.

 

Lembre-se da  Notação em que a letra em minúsculo refere-se ao cubo externo, e a letra em maiúsculo ao cubo interno.

 

MovTrocaLaterais.PNG

 

O irmão gêmeo simétrico é o movimento lateral à esquerda:

 

LateralEsquerda.PNG

 

Arrumando as laterais, fica assim:

 

IMG_1474.JPG

 

Basta aplicar sucessivamente este método, para todas as 8 peças laterais do  
cubo X.
IMG_1475.JPG
(Visão oposta do X-Cube)

 

Com isso, quase todo o cubo estará resolvido. Mas, por este método em camadas, a encrenca fica para o final: montar a base (a camada amarela). Isto fica para o próximo Post.

 

Arnaldo Gunzi
Fev 2016
 


Bônus: Padrãozinho legal

 

IMG_1423.JPG

Resolvendo o Cubo X interno

Introdução
Continuando os posts anteriores, Introdução, “Dissecação” e Notação,  a próxima etapa é a de colocar o X-Cube no formato original, sem se preocupar com as extensões do cubo externo.
Para isto, basta notar que o Cubo interno do Cubo X é igual ao cubo de Rubik 3x3x3. Só que, ao invés de olhar para as cores, vamos olhar para o formato das peças.
Basta entender a configuração das peças para tal. Vamos considerar as peças de canto como uma peça em “L”, contando as duas extensões dos dois lados adjacentes.
Pecas.PNG
As peças do meio mais a extensão são um “I”.
As peças centrais são fixas.

Procedimento
Começar com um cubo embaralhado.

1 – Resolver o topo de uma das cores amarelo ou branca
Pode-se começar fazendo a tradicional cruz (no caso, amarela).
 IMG_1527.JPG
Depois completa-se o topo do cubo. Sempre é possível chegar a esta configuração, e é fácil, para quem conhece o cubo de Rubik normal.
IMG_1528.JPG
Visão oposta do cubo
IMG_1529.JPG

2 – Resolver a lateral
Consiste em utilizar a mesma técnica para preencher a lateral correta do Cubo de Rubik. Apenas deve-se notar que a peça em L deve estar na lateral, no lugar da peça em I.
Lateral1.PNG
Eu costumo usar o movimento (R’D) (RD) (R’D2) (RD’) (R’D’) (R) para preencher a lateral. Mas pode-se utilizar qualquer algoritmo que preencha as laterais.
Lateral2.PNG
Fazer o mesmo movimento para os quatro lados, desta forma arrumando a primeira e a segunda camada.
Imagem: primeira e segunda camadas corretas.

3 – Resolver a Base
Novamente, deve-se utilizar os mesmos algoritmos do cubo de Rubik. Um para rotacionar os cantos, as peças em L. E outro para rotacionar e transladar as peças em I.
IMG_1535.JPG
Para rotacionar os cantos, eu conto quantos giros de 90 graus devem ser dados. O movimento (R’D) (RD) (R’D2) (R) rotaciona três dos lados.
Com as peças de canto corretas, deve-se atacar as peças em I sem modificar as peças em L. Para posicionar as peças em I, uso dois algoritmos (e variantes simétricas no sentido oposto).
Algoritmo 1: (RL’) (FR’) (LD2)(RL’) (FR’L)
Algoritmo 2: (FL) (B’L’) (BF’) (DB) (D’B’)
 IMG_1536.JPG
Pode-se utilizar o método preferido do cubo de Rubik para colocar o formato em X. Basta saber reconhecer o padrão de peças em “L” e em “I” e posicioná-los corretamente.
A aplicação destes métodos é suficiente para acertar o formato do cubo.
IMG_1538.JPG
Há um caso bizarro de paridade que merece ser mostrado. As vezes, acontece algo assim: somente uma peça “I” errada.
IMG_1540
Para consertar a paridade, basta trocar o sentido de algum dos cubos laterais e rearrumar o cubo.
Como eu disse, para resolver o Cubo X é necessário saber o cubo de Rubik, senão não tem como começar. Caso haja dificuldade em algum dos movimentos descritos, há vários tutoriais na internet que explicam o cubo de Rubik normal.
 IMG_1543.JPG
Então, este foi o primeiro passo: Colocar o cubo no formato de X, alinhando o cubo interno, com movimentos idênticos ao do Rubik 3x3x3.
Nos próximos posts, serão apresentados métodos para arrumar o cubo externo.

 

 

Bônus: um padrãozinho legal:

IMG_1492

 

Basta fazer

(RL’ FB’ UD’ RL’)

(R’L UD’ FB’ R’L)

 

X-Cube – Metodologia Geral e Notação

Continuando os posts sobre o Cubo X: Introdução e “Dissecação”.

Primeiro, vamos chamar de “cubo interno” o cubo 3x3x3, sem as extensões dos lados. E vamos chamar de “cubo externo” o cubo com as extensões.

CuboInterno.PNG
Começando do cubo totalmente embaralhado, por exemplo assim:

IMG_1464.JPG

O método de solução consiste em:
1 – Colocar o cubo no formato correto

IMG_1472.JPG

2 – Arrumar o topo e as laterais do cubo externo

IMG_1474

3 – Arrumar a base do cubo externo

IMG_1487.JPG
Cada uma das etapas terá um post detalhado.

Como explicado no Dodecaedro mágico, a ideia é utilizar “padrões invariantes”. São movimentos que mantém igual a maior parte do cubo, alterando apenas uma ou duas faces.

Como é extremamente complexo resolver um cubo desses inteiro, a ideia é ir resolvendo por pedacinhos. Esses pedacinhos são os sub-grupos do grupo maior. No final das contas, resolver qualquer puzzle desses significa analisar e reconhecer padrões, só isso.


 

Notação para o cubo interno

A notação utilizada é mais ou menos igual ao do cubo normal.

Notação do cubo de Rubik. A diferença é que uso apóstrofe (‘) para indicar a inversa.

rubiks_moves.png

O Giro é sempre de 90 graus, no sentido horário.

Notação para o cubo Interno

A notação refere-se aos lados L (Left – Esquerda), R (Right – Direita), U (Upper – Acima), D (Down – Abaixo), F (Front – Frente), B (Back – Trás).
Quando se gira o lado, gira-se junto a “extensão”.

A notação com apóstrofe (‘) significa que o giro é no sentido anti-horário (ex. L’, R’, U’) e um número a seguir significa múltiplos do movimento (ex. R2, L2, F2).
A referência para as fotos abaixo é o lado branco para cima e o vermelho de frente.

L (Left – Esquerda),

IMG_1506.JPG

Note que um movimento L tira o formato em X, deixando numa configuração esquisita.

 

L’

IMG_1434.JPG

 

L2

IMG_1435.JPG

R (Right – Direita),

IMG_1430.JPG

U (Upper – Acima),

IMG_1500.JPG

 

D (Down – Abaixo),

IMG_1437.JPG

F (Front – Frente),

IMG_1439.JPG

B (Back – Trás).

IMG_1442.JPG

M (Meio no sentido de L).

IMG_1504.JPG

S (é o meio no sentido de F).

IMG_1505.JPG


 

 

Notação para o cubo Externo

 

É a mesma coisa, mas utilizando letras minúsculas. Gira-se somente a extensão.
Para os lados U e D, não existe extensão, então o movimento é o mesmo do cubo interno.

l (Left – Esquerda),

IMG_1499.JPG

r (Right – Direita),

IMG_1428.JPG

f (Front – Frente),

IMG_1438.JPG

b (Back – Trás).

IMG_1441.JPG

Cuidado para não confundir o movimento do cubo interno com o externo.


 

Os posts que virão explicarão como resolver o topo e as laterais, e por fim a base do cubo X.

 

Arnaldo Gunzi

Jan 2016


 

Bônus:
Um padrãozinho bonito para se fazer com o X-Cube.

IMG_1426.JPG

Basta fazer (M2 S2).

 

 

 

Dissecando o X-Cube

Continuando o post anterior sobre o Cubo X, Introdução ao X-Cube, este post mostrará um cubo desmontado.

Não era a minha intenção fazer isso, mas depois de ficar várias horas mexendo, o X-Cube desmontou na minha mão. Aproveitei para documentar. Quem é engenheiro, exatóide, gosta de ficar desmontado coisas para ver como funcionam – mesmo que às vezes não consiga montar de volta.

As peças centrais, que são invariantes aos movimentos, têm uma capinha da cor do lado. Tirando a capinha, aparece o parafuso.

IMG_1419.JPG

Visão do cubo sem a peça central e sem duas peças adjacentes.

IMG_1418.JPG

Detalhe da peça central, parafuso e capinha.

IMG_1416.JPG

 

Detalhe da peça central encaixada.

IMG_1415.JPG

Há um eixo central, onde ficam 6 peças parafusadas (uma para cada lado). Isto é exatamente igual ao Cubo de Rubik tradicional, o 3x3x3. O mecanismo é muito parecido, a diferença é que o Cubo X tem uns “extensores” que ligam as peças externas.

 

Note o mecanismo circular que permite que o mesmo gire.

IMG_1417.JPG

Todas as demais peças fora do eixo são inter travadas. Não tem parafuso, cola, nada, só o formato os segura (e por isso, se forçar eles se soltam).

IMG_1410.JPG

Detalhe do cubo X, retirando a primeira camada (branca) inteira.

IMG_1409.JPG

Peças da primeira camada, a Branca.

IMG_1404.JPG

As peças têm exatamente o mesmo tamanho do Rubik 3x3x3, certamente é porque os criadores do Cubo-X queriam aproveitar o máximo que podiam do cubo normal.

Cubo X montado.
IMG_1402.JPG

Uma forma de resolver o Cubo X é assim, desmontando e remontando. Algoritmo Força Bruta total. Mas esse não é um método muito elegante. Não é o espírito da coisa, além de dar um trabalhão.

Os posts que virão futuramente explicarão um método para resolver o Cubo X. A ideia é ajudar o leitor a não ser apenas um seguidor de algoritmos, mas a entender a lógica do que realmente acontece.

 

Arnaldo Gunzi

Jan 2016

Mapa do site

 

 

 

X-Cube – Introdução

Dentre os posts que fazem mais sucesso no Forgotten Lore, estão os dos poliedros mágicos e do dodecaedro mágico.

O X-Cube é um parente um pouco diferente dos cubos mágicos normais, e também acho mais difícil que o dodecaedro mágico. A cara do X-Cube é assim:

Xcube.PNG

 

O preço da Amazon é cerca de US$ 35. Mas o problema nem é o preço do produto. O frete é mais uma grana, e ainda a Amazon recolhe os impostos da aduana brasileira – a soma destes dá US$ 50. Ou seja, US$ 85, e com o dólar a 4 reais, R$ 340.  Não dá nem para brincar de cubo mágico no Brasil…

A minha sorte é que tinha um conhecido que estava vindo dos EUA. Fiz a encomenda, e salvei uns bons dólares com isto.


 

O X-Cube é assim. Isto pode girar para qualquer lado: direita, esquerda, em cima, embaixo, frente, trás – nos três eixos como o cubo mágico.

Os quadrados externos – fora do cubo normal – só podem girar se os 9 estiverem juntos. Darei mais detalhes depois.

 

Uma foto é do cubo virado ao contrário, para dar a visão dos 6 lados em duas fotos.

Este brinquedinho girado aleatoriamente fica assim, bem assustador:

 

 

 

Para resolver o X-Cube, é necessário ter conhecimento da solução do Cubo Mágico comum, o cubo 3x3x3. Senão, não dá nem para começar.

 

A ideia é utilizar os movimentos do Cubo 3x3x3 para resolver o cubo interno, e movimentos do dodecaedro mágico para resolver a parte externa do mesmo.

Seguindo a mesma ideia do dodecaedro, a minha solução não é a mais otimizada, nem muito elegante. É apenas uma solução possível. A ideia também é dar uma dica aos leitores interessados a entender a lógica por trás disto tudo – para uma introdução ler o post “criando a sua própria solução“.

Um X-Cube pode parecer assustador. Mas é formado de movimentos básicos também encontrados no cubo 3x3x3, e generalizações destes encontrados no dodecaedro. Também tem uns truques novos, mas a lógica de todos esses caras é muito parecida.

Como dá trabalho escrever, aos poucos vou publicando aqui neste espaço.

 

Índice do Cubo-X

 

Arnaldo Gunzi

Jan 2016


 

Link da Amazon.

via Amazon.com: The X-Cube: Toys & Games.

Dodecaedro Parte 5 – Criando o seu próprio método 

Menu da resolução do Dodecaedro Mágico.

 

Resolver o dodecaedro seguindo um procedimento é muito legal, mas criar o seu próprio método é muito mais divertido. E estas dicas servem para qualquer outro objeto desafiador correlado: o cubo 3x3x3, 4x4x4, 8x8x8, o Tuttminx, o icosaedro truncado, etc…

Vide alguns destes aparatos possíveis aqui.

TuttMinx

O ramo da matemática que engloba objetos como o cubo mágico e o dodecaedro mágico é a Teoria de Grupos. 

Estudar Teoria de Grupos não ajuda diretamente a resolver o cubo, mas ajuda a entender os seus limites: calcular número de  possibilidades, provar que algumas ideias são impossíveis. Também fornece ideias úteis.


Grupos se referem a padrões simétricos. Tudo o que tem padrão de simetria é um grupo.

E também, os movimentos do cubo são cíclicos, no sentido de que depois de um número suficiente de movimentos iguais, ele volta para onde começou. Por exemplo, o cubo simples.


Exercício 1: Girar o topo do cubo 4 vezes, sentido anti-horário. O cubo acaba na mesma posição inicial.


Exercício 2: Girar o topo do cubo no sentido anti-horário. Depois, o lado direito no sentido anti-horário. Depois topo do cubo no sentido anti-horário. Depois, o lado direito no sentido horário. URUR’ (Upper,Direita,Upper, Direita horário). Faça isto 5 vezes. O cubo deve acabar na mesma posição inicial.

Simulador de Rubik:

http://ruwix.com/online-rubiks-cube-solver-program/

URURl

Posição URUR’. Repetindo este mesmo movimento 5 vezes, o cubo vai parar na posição inicial.


Um movimento sempre tem o seu inverso, ou pode-se fazer o mesmo movimento várias vezes até voltar ao início (o complemento do movimento).

A informação mais útil é a de que o dodecaedro é um grupo, mas é formado de sub-grupos. Um sub-grupo está contido num grupo, e ele sozinho tem todas as características de um grupo. Cada face do dodecaedro, por exemplo, é um sub-grupo. A face de topo mais a face adjacente à direita é outro grupo, por exemplo.


Sub grupos

A grande sacada para entender o cubo é mapear padrões de sub-grupos. Como é difícil demais entender o dodecaedro inteiro (12 faces), vamos trabalhar com duas, no máximo três faces ao mesmo tempo, e manter as demais faces imóveis.

Um bom início para entender padrões é analisar alguns sub-grupos específicos. No cubo, mexer o lado direito e esquerdo ao mesmo tempo possibilita padrões bonitos, como o efeito de girar apenas o centro. Outro sub-grupo é o de girar as faces sempre 180 graus, ao invés de 90 graus. Também dá para inventar padrões bonitos.

Padrões invariantes

E o padrão que queremos descobrir não é qualquer padrão, e sim, padrões invariantes. Invariantes no sentido em que mexem alguma coisa de alguma face, mas não mudam nada a segunda ou terceira face afetada pelo movimento de sub-grupo.


Exercício 3: Usando o simulador de dodecaedro Ruwix, fazer o movimento 2 1 2′ 1 2 1′ 1’ 2’. Anotar os resultados.

movimento2_1

Note que: foram movimentadas apenas duas faces: 1 e 2. Apesar de bagunçar um monte de coisas, no final das contas apenas a camada do topo ficou mexida, o resto ficou inalterado.

Deve-se guardar o padrão obtido, para poder usar em algum movimento desejado.

Note também o padrão:

2 1 2′ 1 2 1′ 1’ 2’

Começa com 2 e termina com 2’. Depois começa com 1, e o penúltimo é 1’. É mais ou menos um padrão assim: mover, fazer alguma perturbação, depois voltar para a posição com o mínimo de bagunça possível.

Note o padrão: giro uma face, faço uma perturbação, e desgiro. Mudo sem tentar mudar uma das faces. E o resultado deste movimento pode ser útil ou não, ou pode inspirar outros resultados.

Movimentos que já existem no algoritmo do cubo podem ser testados e adaptados ao do dodecaedro. E vice-versa.


Exercício 4: Usando o simulador de dodecaedro Ruwix, fazer o movimento

Topo04

5 1 5’ 4’ 1’

4 5 1’ 5’ 1

Anotar os resultados.


Este movimento apresentado é o algoritmo X, já descrito anteriormente. Note: movimento que vai e volta, e o padrão apresentado está mapeado para ser utilizado de forma conveniente.

De novo: começa com 5, tem um equivalente 5’ no final. Depois, 1 com 1’, e 4 com 4’. Reconheço o padrão, e tento usar de forma conveniente depois.


De certa forma, resolver o dodecaedro é igual a resolver o cubo e qualquer outro brinquedo diabólico deste tipo. Receita:

1- Inventar uma notação conveniente para não se perder

2- Mexer com sub-grupos de duas ou três faces, a fim de encontrar padrões invariantes

3- Codificar e aplicar os padrões resultantes

4- Ir resolvendo o dodecaedro em camadas, até chegar ao final.


Não é fácil, mas também não é impossível. Perde-se um tempão analisando padrões, brincando com os movimentos. Mas, como todo desafio, a recompensa vem a cada novo passo, e completa-se quando o desafio é resolvido.

Há uma série de outros desafios: o cubo 4x4x4, 5x5x5, a pirâmide, o Tuttminx, o Cubo X.

Para simular os movimentos, é interessante começar do cubo montado, para facilitar o entendimento. É interessante ter um site como o Ruwix para simular os movimentos.

Obviamente, está não é a única metodologia apresentada, nem a melhor. Mas é certamente uma das poucas vezes em que alguém realmente explica como desenvolver o trabalho, ao invés de apenas fornecer algoritmos para serem seguidos.

Nos veremos novamente com o cubo X, ou com algum outro artefato do tipo.

Xcube2

Arnaldo Gunzi

out 2015

 


Veja também

 

Poliedros mágicos

Cubo-X

Dodecaedro mágico

Dodecaedro Parte 4 – Resolvendo o Topo

Menu da resolução do Dodecaedro Mágico.

Resolver o topo é a parte mais difícil do dodecaedro. Para quem não acompanhou os posts anteriores, resolvemos a base e os lados, chegando em algo assim.

Topo01

  1. Virar as peças de canto

A primeira coisa a fazer é com as peças de canto: colocar a “cor verde escura” para cima, ou seja, a cor equivalente à cor correta da peça central do dodecaedro. Não importa neste momento se vão estar na posição correta, importa apenas que estejam com o sentido para cima correto.

Topo02

Para tal, usaremos dois algoritmos: o X e o X2. Chamei com este nome porque o movimento me pareceu levemente a letra X. E a diferença entre estes dois movimentos é apenas o número de deslocamentos no topo, após o movimento de perturbação.

Topo03

Introduzindo uma nova notação. Vamos numerar as 5 peças de canto de 1 a 5, conforme a convenção a seguir. E chamaremos de R uma rotação desta peça, R2 duas rotações, T apenas translado sem rotação, e 0 se não acontece nada.

O Movimento X é o seguinte. Mantém as peças nas posições 2 e 5 inalteradas, e movimenta duas rotações na peça que vai para a posição 1, 1 rotação para a peça da posição 3, e translada a da posição 4.

Topo04

O movimento X2 é similar. Apenas muda um pouco o padrão de rotações.

Topo05

Para aplicar uma combinação de X e X2, deve-se analisar a paridade das rotações das peças de canto. Não há uma fórmula para isto, é da análise do problema. Mas a aplicação de X e X2 garante que todas as peças de canto estejam rotacionadas corretamente.

  1. Virar as peças laterais.

O próximo passo é virar todas as peças laterais na cor certa para cima, no caso da foto, a cor verde escura. Não importa neste momento se vão estar na posição correta, importa apenas que estejam com o sentido para cima correto.

Uma observação é a seguinte. Se eu aplicar três vezes seguidas o algoritmo X2, eu inverto todas as peças laterais exceto a da posição 4 (isto também é interessante para criar padrões bonitos).

O algoritmo X2 três vezes seguidas troca a posição de todas as laterais, exceto a da posição 4. Ou seja, a análise do que fazer vira um joguinho de paridade.

Topo06

Fazendo análise da paridade das peças e com a aplicação do algoritmo X2 como trocador de lados das laterais, é possível colocar todas as laterais para cima, por exemplo:

Topo07

  1. Posicionar as peças de canto.

O próximo passo é posicionar as peças de canto no lugar correto, sem bagunçar as camadas de baixo e sem desorientar as demais peças.

O Algoritmo P-P vai nos ajudar nisto. Chamei de P porque lembra vagamente a letra P.

Topo08

O algoritmo P-P mantém as peças das posições 1 e 2 no lugar, e troca as das outras posições.

Minha sugestão é ir girando o topo a aplicando o P-P com o objetivo de alinhar duas peças adjacentes.

Com duas peças adjacentes alinhadas, girar o topo para colocar as duas peças arrumadas nas posições 1 e 2. Depois, é só aplicar o P-P mais algumas vezes, e a posição dos cantos estará correta.

Topo09

  1. Arrumar as peças laterais.

Neste estágio, nota-se que as peças laterais podem estar trocadas. Precisamos de um movimento para trocar as laterais, sem bagunçar o resto.

Para tal, usamos o algoritmo Shift Lateral.

Topo10

Na verdade, o algoritmo Shift Lateral dá uma bagunçada. Para arrumar a bagunça, deve-se aplicar de novo o algoritmo P-P (em cima do lado 2_3).

Portanto, o algoritmo completo é Shift – P.

O que o Shift – P faz é trocar as laterais das posições 2, 3 e 4. De novo, análise de paridade para entender quais posições devem ser trocada, e aplicar o algoritmo.

O Shift – P é o passo final para montar o dodecaedro.

Dodecaedro montado:

IMG_2412

Dodecaedro visto de outra face.

IMG_2413

O dodecaedro não é fácil, mas com as dicas que foram passadas, dá para entender melhor o método de resolução e a lógica por trás disso tudo.

O próximo post será sobre como desenvolver padrões diferentes dos que foram mencionados aqui, sobre descobrir e aplicar padrões.

Arnaldo Gunzi

Out 2015

 


Veja também

 

Poliedros mágicos

Cubo-X

Dodecaedro mágico

Dodecaedro – Parte 3 – Resolvendo a Lateral

Menu da resolução do Dodecaedro Mágico.

Parte 3 – Resolvendo os lados.

Uma vez que a base esteja resolvida, vide post anterior, é hora de resolver os lados.

Lados01

A solução é feita por camadas. Primeiro, resolve-se a primeira camada mais próxima da base. Depois, subir camada por camada até chegar ao topo.

Lados02

Ache a peça que deve ficar na lateral. Deve-se colocar a peça na posição mostrada, sem desarrumar a base, e aplicar o “algoritmo lateral”. Na figura, a peça lateral amarela e laranja está posicionada para ir para a posição correta, após a aplicação do algoritmo lateral.

Lados03

Numeracao

A única diferença do algoritmo lateral apresentado e a aplicação na base é que o dodecaedro está de cabeça para baixo, mas isto não muda a essência do método.

Lados04

Fazer o mesmo para os cinco lados. Pode ser necessário o uso do “algoritmo lateral à esquerda”, que é a mesma coisa, porém no sentido contrário.

Lados05

Foto de uma camada pronta

Olhando bem para o dodecaedro, temos 5 peças de canto centrais mais para cima e 5 mais para baixo.  A ideia é resolver primeiro a camada dos cinco mais próximos da base. Aqui, basta localizar e posicionar, tomando o cuidado de não desarrumar o que já está montado.

Com a peça da camada central posicionada, a ideia é aplicar novamente o algoritmo lateral para posicionar as peças laterais. Para evitar alguma confusão e desarrumado outras peças, o ideal é utilizar a camada de topo para fazer a troca de peças. Ou seja, giro a peça de canto do lado que estou querendo resolver, para conseguir usar o topo como espaço de troca.

De vez em quando, é preciso usar o algoritmo lateral apenas para “desalojar” uma peça lateral que esteja travada em uma posição. Em outras palavras, aplico o algoritmo lateral para colocar retirar a peça lateral que tenho numa posição sem desarrumar uma estrutura já montada.

Lados07

Foto após arrumar a peça de canto e peças laterais da da primeira camada

Agora, a ideia é arrumar a segunda camada central.

Deve-se identificar e posicionar a  peça de canto correspondente e colocar a peça no seu lugar:

Lados08

Para tal, talvez haja a necessidade de girar uma peça.

Por exemplo, a orientação da peça está errada. Utilizando um outro lado como apoio, consigo girar a peça para a orientação correta.

Lados09

Lados10

Lados11

Aplicando o truque de girar as peças, dá para preencher a segunda camada central.

Lados12

A esta altura, já resolvemos mais de 50% do dodecaedro

Lados13

Virando o dodecaedro de cabeça para baixo, ainda tem uma camada de peças laterais. Deve-se arrumar as laterais de novo com o algoritmo lateral.

Apenas com a aplicação seguida do algorimo lateral e do posicionamento das peças de canto (e com um certo trabalho) é possível resolver todas as laterais do Megaminx, deixando apenas o topo para ser resolvido no final.

Lados14

Em resumo, para resolver o cubo até aqui só usamos dois algoritmos: o Canto-Base  e o algoritmo Lateral.

A próxima etapa será a resolução do topo, que embora tenha bem menos peças que o resto do dodecaedro, é a parte mais difícil.

Arnaldo Gunzi

Out 2015

 


Veja também

 

Poliedros mágicos

Cubo-X

Dodecaedro mágico

Dodecaedro – Parte 2 – Resolvendo a Base

<a href=”https://ideiasesquecidas.wordpress.com/2015/10/18/como-resolver-o-dodecaedro-magico-introducao/&#8221; target=”_blank”>Menu da resolução do Dodecaedro Mágico.</a>

Vamos resolver apenas um dos lados do dodecaedro, que vamos chamar de Base. Resolver a Base é o passo mais simples, por ter mais graus de liberdade.

Recomendo que o leitor tente fazer por si só, com certeza é mais divertido.

BaseTopo

Fiquei em dúvida se colocaria a resposta. Mas, lembrei que uma vez fiquei frustrado por não ter respostas úteis. Estava estudando Álgebra Linear, e tinha um problema difícil, dividido em três perguntas. E as respostas, no final do livro, eram a) Fica como desafio para o leitor, b) É óbvio, c) Decorre de a e b.

Portanto, vou colocar a solução aqui.


Começamos com um dodecaedro suficientemente embaralhado, como o seguinte.

IMG_2368


1) Arrumar as peças laterais da base.

Deve-se pegar uma lateral como alvo, e identificar qual a peça que deve ser encaixada nela. A referência para identificação são as peças centrais. Como elas não se movem, elas são a chave para resolver.

Digamos que  o lado verde claro seja a base. Um dos vizinhos dela é o lado laranja. Portanto, deve-se procurar a peça lateral verde clara e laranja, e encaixá-la em sua posição correta: com a face verde-clara voltada para o centro da mesma cor, e com a face laranja voltada para o centro laranja. Não há um algoritmo preciso para isto, mas é simples.

PeçaLateral

Após fazer isto para todas as peças laterais, tem-se algo como a figura a seguir.

IMG_2370

Na Figura: Todas as peças laterais da base arrumadas


2) Arrumar as peças de canto da base.

Para tal, deve-se usar o “algoritmo canto base”. Aproveitando para acostumar o leitor aos algoritmos.

Algortimo Canto-Base

Partindo do dodecaedro projetado, vamos utilizar a notação descrita anteriormente (aqui).

RuwixOriginal

Numeracao

Se girar a face 6 no sentido anti-horário, depois a face 12 no horário, depois a 6 no sentido horário, vamos projetar a peça de canto cinza-ouro-rosa na face alvo. É importante entender o padrão, e a partir disto reconhecer e aplicar os padrões.

Alg_CantoBase

Deve-se primeiro identificar a peça que quero arrumar. Como é uma peça de canto, ela tem três cores, correspondentes às três faces em que ela pertence. Colocar a peça de canto na posição em que, aplicado algoritmo canto-base, ele vai para a posição correta.

Alg_cantobase2

Deve-se colocar a peça de canto aqui. E depois executar o algoritmo, chegando-se ao resultado:

IMG_2372

Todos os algoritmos apresentados têm o seu irmão gêmeo, que é a mesma coisa, mas com a orientação trocada. Ou seja, ao invés de girar um para direita, gira-se um para esquerda. Ao invés de começar com a face da direita, começar com a face da esquerda.

Este algoritmo canto base, ou a sua versão espelhada, aplicado nas 5 peças de canto, é suficiente para resolver a primeira face do dodecaedro, a base. O resultado é algo assim.

IMG_2373


E temos uma face do dodecaedro!

IMG_2374

Os próximos posts serão para resolver as laterais e o topo. Mas já dá para treinar o apredizado aqui por um tempo.

Arnaldo Gunzi

Outubro 2015

 


Veja também

 

Poliedros mágicos

Cubo-X

Dodecaedro mágico