São 10 bolinhas numa esfera, que podem se movimentar por 11 casas.
Cada casa tem uma cor diferente, e cada bolinha tem a mesma cor da casa.
Basta pressionar a bolinha em direção ao espaço vazio para movimentar.
O jogo é colocar todas as bolinhas em posições aleatórias e depois arrumar tudo: cada bolinha em sua casa.
É um puzzle fácil. Tendo um espaço vazio, eu sempre consigo trocar duas bolinhas. Então, um algoritmo guloso, de ir resolvendo casa por casa, é suficiente.
As minhas filhas de 6 e 9 anos conseguem resolver.
É um puzzle simples, com um grau mínimo de dificuldade para ficar divertido.
Vimos movimentos básicos no post anterior. Vamos ver algumas combinações mais avançadas.
A sequência 2R L | R L | 2R L | 2R L (não esquecer de desfazer os movimentos) tem o efeito mostrado na figura abaixo, de mover dois grupos de peças somente nas laterais.
Note o padrão. Se ao invés de 2, girar 3, a sequência vai atingir a casa inicial, a primeira adjacente e a terceira, conforme figura a seguir.
Para a sequência 3R L | 2R L | 3R L | 3R L, as casas iniciais, 2 e 3 serão atingidas.
O padrão continua válido para outras combinações deste tipo. Se eu inverter, L R, a mesma coisa é válida, porém espelhando o resultado.
Uma sequência especialmente importante é o seguinte, que troca 5 peças.
Ela é muito útil no final, quando podem ocorrer alguns “becos sem saída” de paridade.
Rotina da apoio
Apesar de ser possível explorar esses movimentos no braço, ou utilizando pedrinhas coloridas, dá muito trabalho.
Escrevi uma macro de apoio, no Excel, para testar o efeito da combinação de movimentos.
Apesar de não estar tão bonitinho, em dois anéis, é a mesma coisa – imagine que corto o anel no meio, e estico em duas fitas paralelas. Afinal, fiz isso para mim, e não para o público geral, rs. O mesmo está disponível em asgunzi/AneisHungaros (github.com).
Resolvendo os anéis húngaros
De posse de todo esse conhecimento, o procedimento é o seguinte. Resolver o terceiro anel, o que é tranquilo.
Depois, resolver as laterais dos 2 anéis restantes. Arrumar umas 9 peças ou mais. Isso é relativamente tranquilo também.
Ir resolvendo as laterais, via os movimentos básicos.
Resolver as peças centrais inferiores, a seguir. Uma combinação dos métodos básicos, e dos avançados descritos são suficientes. De vez em quando, é necessário virar o tabuleiro de cabeça para baixo, e aplicar o movimento de paridade (troca 5 peças), para arrumar.
As casas restantes também podem ser resolvidas com os métodos descritos. Quando surgirem posições “impossíveis” (todas as casas de cima estiverem com a mesma cor, por exemplo), usar o movimento de paridade, para ir arrumando o resultado.
A sugestão é treinar bastante os movimentos básicos, entender como eles funcionam, e aí passar para os mais avançados.
É um pouco mais simples de enxergar as causas e efeitos, em relação ao Rubik tradicional.
Bom divertimento.
Para cubos mágicos e outros puzzles combinatórios, vide:
Eu ganhei da minha esposa o puzzle abaixo. O fabricante (Gemini) chamou o mesmo de “Anéis II”, provavelmente porque a versão “Anéis I” tem dois anéis, enquanto “Anéis II” tem três anéis.
Uma informação preliminar. Podem ter 3 anéis ou 200, que dá na mesma. É muito fácil resolver os anéis adicionais, recaindo na versão original, com 2 anéis.
Esquematicamente:
(nota: colori só as peças que interessam para entender os algoritmos a seguir)
Posteriormente, fiquei sabendo que o puzzle é conhecido como “Anéis húngaros”.
Bagunçado, fica assim:
Segue a minha resolução, em duas partes. Uma nota: não sei qual a notação nem a solução “oficial”. Eu gosto de explorar e criar as minhas soluções, que não serão necessariamente as melhores nem as mais elegantes. Porém, gosto de registrar o passo-a-passo do raciocínio envolvido. Para outros puzzles combinatórios, vide Cubos Mágicos (ideiasesquecidas.com).
Notação
Chamo de R o movimento horário do anel da direita, e L o anti-horário da esquerda.
Analogamente, R’ (ou S) e L’ (ou M), para os inversos dos movimentos.
Movimentos simples
Neste tipo de puzzle, é interessante fazer e desfazer os movimentos e anotar os resultados.
Começando do mais simples possível: faço RL – e depois, desfaço – SM.
Seis bolinhas são afetadas, três na parte superior e três na inferior. A superior ‘gira’ no sentido horário, e a inferior, no anti-horário.
A foto ilustra o movimento RL.
O segundo movimento mais simples é o 2R 2L – ou seja, duas rotações da direita e duas da esquerda. Depois, desfazer tudo.
Note que há um padrão. São seis bolinhas também, o grupo de cima girando no sentido horário e o segundo, no anti-horário. A diferença é que as bolinhas afetadas estão espaçadas em duas casas.
Seguindo o padrão, o 3R 3L vai afetar de 3 e 3.
Foto do movimento 3R 3L:
A lógica continua a mesma para 4R 4L, e outros. E também, se eu fizer o inverso (LR, ou 2L2R), as casas envolvidas serão as mesmas, porém, vai ‘girar’ no sentido oposto.
O caso 5R 5L é patológico. Não segue o padrão acima. Isso porque o 5R 5L faz coincidir a casa atingida pelo anel direito e a casa atingida pelo anel esquerdo.
O efeito é mapeado a seguir.
Movimentos assimétricos
Evoluindo dos movimentos mais simples mostrados acima, é possível fazer uma gama de movimentos assimétricos (número de giros à direita e à esquerda diferentes).
O mais simples é o R 2L.
Note o padrão. Girei R uma vez, então teve a casa na distância 1 atingida. Girei L duas vezes, então a casa na distância 2 foi atingida.
Foto do movimento R 2L.
O mesmo padrão continua valendo para outras combinações.
Exemplo. R 3L:
Foto do R 3L.
São muitas combinações possíveis: 3L 2R, 4R 3L, etc…
O que deve ficar claro é o padrão.
E é esse o espírito deste tipo de puzzle. Movimentos que vão e vêm, e identificar padrões.
Somente com os movimentos acima, é possível (quase) resolver os anéis húngaros.
No próximo post, como elencar esses movimentos todos, e alguns mais avançados, principalmente para problemas de paridade.
Entretanto, não foi possível partir para uma solução que utilizasse quadrados mágicos comuns. E também não consegui chegar numa fórmula matemática fechada, que chegue a uma solução.
O jeito foi apelar para os computadores. Mesmo assim, não é tarefa fácil.
O jeito “força bruta” pura chega a 20! (fatorial) combinações. Isso dá o número astronômico de 2,4*10^18 combinações. Computador algum no mundo consegue resolver.
O que fiz foi usar a estrutura do problema para diminuir drasticamente o número de combinações. Uma “força bruta” refinada…
Imagine fatiar o problema. Resolver somente a primeira linha.
Se olhar só para a primeira linha, há 20 números possíveis, e a combinação de 4 delas tem que somar 42.
O Python tem algumas rotinas de combinações e permutações que vêm bem a calhar. Elas geram todas as combinações possíveis.
#Passo 0:
comb = itertools.combinations(setNumbers,4)
for c in comb:
if sum(c)==42:
#Faz alguma coisa
Esse código vai descartar uma combinação errada (digamos, [1,2,3,4]) e vai ficar com uma combinação correta (ex. [1, 2, 20,19]).
Dada essa combinação correta, ainda assim há todas as permutações possíveis dela (ex. [1,20, 19, 2], [20,19,2,1] ) a checar.
permut1 = list(itertools.permutations(c)) #Código para gerar permutações
Isso dá comb(20,4)*permut(4) = 116 mil
Para cada combinação possível da primeira linha, agora vamos tentar encaixar a primeira coluna:
São três espaços vazios, para encaixar 16 números (ou seja, 20 iniciais – 4 da primeira linha). A soma da coluna tem que dar 42.
O resto do procedimento é igual. Dá comb(16,3)*permut(3) = 3360.
Uma nota importante. Das 116 mil, somente uma fração preenche o critério da soma ser 42. Portanto, esses 3360 testes não são aplicados aos 116 mil, somente ao que passou. Ainda assim, dá um número enorme, mas dessa forma, vamos restringindo o problema.
A seguir, tento preencher a diagonal. Isso porque ela tem só duas casas vazias. É um espaço menor de busca de combinações, mais fácil. Vamos restringindo o problema aos poucos.
A seguir, a segunda coluna.
E assim, sucessivamente.
Com isso, a rotina chegou à diversas soluções:
6
9
10
0
17
0
20
2
13
7
18
5
0
16
3
14
8
19
1
0
4
0
11
12
15
Ou:
1
2
19
0
20
0
18
12
3
9
11
16
0
10
5
17
6
4
15
0
13
0
7
14
8
Ou:
2
4
17
0
19
0
20
5
8
9
10
15
0
16
1
18
3
14
7
0
12
0
6
11
13
Na verdade, a rotina mostrou mais de 30 mil soluções (tinha várias permutações simples das soluções mostradas, e até repetidas).
Mesmo não tendo a elegância de ter solução única, é um desafio computacional interessante.
Pouca gente sabe, mas existe um Museu da Matemática em São Paulo.
O detalhe é que não é um museu público, mas sim um acervo particular do prof. Ricieri Prandiano.
Este fica num casarão enorme, na Ana Rosa, e só está aberto à visitação em dias e horários específicos.
Na visita realizada, havia uma palestra introdutória do prof. Prandiano, que durou a tarde inteira.
Seguem algumas fotos e comentários.
Prova visual de (A + B)^2 = A^2 +2AB + B^2Aproximação da circunferência por um polígonoUma forma lúdica de provar o Teorema de PitágorasNão anotei o que era isto, alguém dá um help?Como encaixar os 4 Ts num quadrado – já vi um puzzle assim em Campos do Jordão
Ilustração da função seno, girando o cilindro
Acima, um quebra-cabeça. Como arranjar as peças para caber no retângulo e, depois, no quadrado?
Qual a melhor forma de encaixar quadradinhos num quadrado maior? Ou, na vida real, caixas num palete, cargas num contêiner?Mecanismo de Leibniz. Girando manualmente a peça da esquerda, o display vai contando em binário: 0, 1, 10, 11, …
Algumas coisas ruins é que o museu, por ser privado, não está aberto em horários definidos – tem que consultar no site ou ligar.
Outra coisa, não é permitida a entrada de crianças – imagino a minha filha menor quebrando tudo. Porém, são justamente as crianças que mais gostariam de mexer em tudo isto.
O Museu da Matemática de Nova Iorque é bem legal, e foi projetado para crianças. Um dia, resgato as fotos e posto aqui.
Outras dicas, bastante lúdicas para crianças, são o Museu Catavento, em São Paulo e o Parque Sabina, em Santo André. Ambos têm várias experiências de física (acústica, mecânica, eletricidade), é bem legal.
Depois da visita, fiquei com vontade de criar uns puzzles desses em madeira. Deve ser divertido!
Uma senhora chamada Teresa Doi foi uma das pessoas mais importantes na minha formação.
Nos anos 90, quando eu tinha uns 13 anos, ganhei uma coleção de revistas Superinteressante dessa senhora, amiga de meus pais. Tinha umas 50 revistas velhas que ela iria jogar fora. Como sempre tive a fama de ser curioso e inteligente, ela achou que isto tinha mais utilidade para mim do que para o lixão.
E, realmente, esta coleção de revistas foi uma preciosidade para mim! Juro que li todas as revistas, devorando cada artigo, cada figura, cada gráfico. Quando criança, tinha a Biblioteca do Escoteiro Mirim. Na pré-adolescência, essas revistas Super. E a coleção Fundamentos da Matemática Elementar, no Ensino Médio.
Os temas variavam do surgimento do CD, e de como isto iria aposentar o LP, até Aristóteles, e como o maior pensador da história achava que o cérebro servia para esfriar o sangue.
A Super daquela época era muito mais sisuda, mais técnica, do que a Super atual, que quer ser mais descolada.
Grande parte dos artigos eram sobre Física, e eu gostava principalmente das reportagens sobre Albert Einstein, de como ele imaginava-se viajando na velocidade da luz e olhando-se para o espelho: veria ele a própria imagem no espelho? Ou o paradoxo dos gêmeos: o tempo passaria mais devagar para um gêmeo viajando próximo à velocidade da luz, e quando se encontrassem novamente, o gêmeo terrestre estaria mais velho que o que viajou. Ou dos misteriosos quanta, que desafiavam o senso comum: quando observados, comportavam-se como partículas, senão, como ondas.
Ganhei uma quantidade incrível de conhecimento, vocabulário, repertório de ideias e capacidade analítica, e usaria o máximo desse conhecimento nos anos vindouros, e até os dias de hoje.
Este blog tem mais ou menos o mesmo objetivo, o de apresentar ideias complexas de forma palatável, e possibilitar que outras pessoas tenham a mesma sensação, a mesma fome de conhecimento. Ao dividir conhecimento, na verdade o multiplicamos, como uma grande chama que forma outras chamas.
No final de cada edição da Super antiga (hoje não tem mais), havia um desafiozinho de lógica, pelo prof. Luiz Barco. Lembro de perder horas tentando resolver tais questões.
Inspirado nos desafios do prof. Barco, e para manter a tradição dos puzzles no final de casa Super, proponho dois probleminhas a seguir.
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