Provas visuais sobre soma de 4 e 5 inteiros consecutivos

Em post anterior (abaixo), foi mostrado um resultado simples, e que fica bem ilustrado utilizando a “Álgebra de pedrinhas”.

É simples estender o mesmo raciocínio, para provar resultados sobre somas consecutivas de outros números.

A soma de 4 números inteiros consecutivos tem resto 2

Note o padrão: entre 4 inteiros consecutivos, um deles será divísivel por 4, outros terão restos 1, 2 e 3.

A soma deles terá resto (1 + 2 + 3) mod 4 = 2. É como somar as pedrinhas brancas do diagrama acima: vai completar uma linha, e sobrar 2 para a próxima linha.

Ex. 3+4+5+6 = 18

18 = 4*4 + 2, portanto, 18 = 2 mod 4

A soma de 5 números inteiros consecutivos tem resto 0

Mesmo raciocínio. Entre 5 inteiros consecutivos, um deles será divisível por 5, outros terão resto de 1 a 4.

Somando os restos 1, 2, 3 e 4, dá 10, o que é divisível por 5. É como se a bolinha branca unitária se juntasse à de 4 unidades, fechando uma linha completa, e o mesmo com a de 2 e 3. Todas as 5 colunas estariam ocupadas, sem sobrar nenhuma bolinha.

Ex. 7+8+9+10+11 = 45, divisível por 5.

9+10+11+12+13=55, divisível por 5.

A mesma estrutura pode ser utilizada para provar resultados para soma de 6 números consecutivos, 7, etc…

Veja também:

https://forgottenmath.home.blog/2019/01/28/algebra-de-pedrinhas/

Prova visual de que a soma de três números consecutivos é divisível por 3

Esta é uma prova bem simples de visualizar, utilizando a “álgebra de pedrinhas”.

Dados três números consecutivos, um deles vai ser divisível por 3, outro vai deixar resto 1 e o terceiro vai deixar resto 2. A soma deles será divisível por 3.

Veja também:

Máximo Divisor Comum Visual – parte 1

Continuando a série de Teoria dos Números Visual, o tópico agora é o MDC.

O máximo divisor de comum de dois números a e b é o maior inteiro que divide a e b, sendo ambos diferentes de zero. Denota-se o mdc por (a,b).

Exemplo visual. Sejam a = 16 e b = 12. O mdc será d = 4, pois é o máximo de colunas que a base da composição pode ter para dividir tanto as pedrinhas de a quanto de b.

Utilizando o mesmo exemplo, 8 não é o mdc (12, 16), pois embora divida 16, vai deixar resto ao dividir 12 – é como se não conseguíssimos colocar todas as pedrinhas igualmente distribuídas em 8 colunas.

Teorema. Seja d = mdc(a,b), então existem inteiros n e m tais que d = n*a + m*b.

Uma prova informal: se d|a e d|b, d|(m*a + n*b), conforme resultado já mostrado anteriormente, isso para qualquer m e n inteiros (positivo, negativo, zero). Ou seja, algum caso particular m0 e n0 vai dar a menor soma positiva possível c = m0*a + n0*b, e como d|( m0*a + n0*b), então d|c. Além disso, como c é a menor soma positiva possível, c = d.

Exemplo: 4 = 16*1 + 12*(-1)

Para uma prova mais formal, vide referência no final do texto.

Teorema: O máximo divisor comum d de a e b é o divisor positivo de a e b o qual é divisível por todo divisor comum.

O mdc é o maior divisor comum, porém, isso não quer dizer que não haja outros divisores comuns. Se houver, esse divisor vai dividir o mdc.

Ex. 2 é divisor comum de 16 e 12, porém, não é o maior divisor comum.

E notar que 2 | 4, ou seja, um divisor comum de 16 e 12 vai dividir o mdc.

Proposição: Para todo inteiro positivo t, (ta,tb) = t(a,b).

Exemplo visual:

Proposição: Se c>0 e a e b são divisíveis por c, então, (a/c,b/c) = (a,b)/c.

É basicamente similar à proposição anterior, porém dividindo ao invés de multiplicar.

Exemplo visual:

mdc(12,16) =4

2|12 e 2|16

mdc(12/2,16/2) =4/2 =2

(Continua)

Para uma prova mais formal, vide referência abaixo.

Referência: Introdução à Teoria dos Números, José Plínio de Oliveira Santos, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada.

O Teorema de Eudoxo e Algoritmo da Divisão

Visualização de alguns resultados de Teoria dos Números, utilizando a “álgebra de pedrinhas”.

O Teorema de Eudoxo

O clássico Teorema de Eudoxo diz: dados a e b inteiros com b <> 0 então a é um múltiplo de b ou se encontra entre dois múltiplos consecutivos de b.

Ou seja, existe um inteiro q tal que:

q*b <= a <= (q +1)*b, para b>0.

O teorema de Eudoxo segue a mesma lógica das pedrinhas já mostrada anteriormente.

No caso a = 13 e b =3, as pedrinhas vão estar dispostas em 3 colunas, com uma pedrinha de resto.

Existe q = 4 tal que q*b = 12 menor do que 13 (basta tirar a linha do resto), e (q+1)*b = 15, maior do que 13 (basta completar a linha do resto com outras bolinhas.

O Teorema de Eudoxo não é muito famoso, porém, ele é base para mostrar o bem mais interessante Algoritmo da Divisão.

O Algoritmo da Divisão

Dados a e b inteiros com b <> 0, existe um inteiro q e um resto r tal que:

a = q*b + r, com 0 <= r <b

A visualização é exatamente a mesma, é como pegar a bolinhas e ir distribuindo em b colunas. Ou as últimas pedrinhas vão completar exatamente todas as colunas ou vai sobrar um resto, que vai cobrir apenas algumas colunas.

O livro de referência abaixo divide a prova mais formal em existência e unicidade. A parte de existência parte do Teorema de Eudoxo, dado acima. A de unicidade, começa assumindo que há duas soluções, e a seguir, mostrar que são iguais.

Para uma prova mais formal, vide referência abaixo.

Referência: Introdução à Teoria dos Números, José Plínio de Oliveira Santos, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada.

Vide também:

Teoria dos números: Divisão 03

Mais visualizações via “álgebra de pedrinhas” para ajudar a explicar a Teoria dos Números.

Teorema: 1 | n

Basta imaginar que n bolinhas podem ficar em uma coluna, independente do tamanho de n.

Teorema: d | n -> a * d | a * n, com a inteiro

Digamos que n = 6 e d = 3,

Visualizando, é como copiar e colar esse bloco todo, a vezes, para a direita. Como d | n, não há bolinhas “sobrando”, e não haverá bolinhas sobrando, ao replicar o bloco a vezes.

Ex. n = 6, d = 3 e a = 2

Teorema: a * d | a * n e a <> 0 -> d | n

Esse aqui é exatamente o inverso do anterior.

Ex. 6 | 18 pode ser representado no diagrama abaixo.

Mas é a mesma coisa que 3*2 | 3 * 6, ou seja, a = 3, d = 2 e n = 6.

Pintei os a = 3 bloquinhos de d = 2 e n = 6 de cores diferentes, para visualização.

Teorema: d | n e n <> 0 -> |d| <= |n|

Novamente, é útil pensar em pedrinhas colocadas em colunas.

Se d | n, e n <> 0, consigo colocar as n bolinhas em d colunas. Representando as fronteiras das d colunas como linhas, no diagrama abaixo.

Já se n < d, digamos n = 4 e d = 5, sempre vai “sobrar” uma ou mais casas vazias, de modo que não consigo preencher as todas colunas – e, portanto, d não divide n.

Teorema: d | n e n | d -> |d| = |n|

Essa afirmação é consequência do teorema acima. Se d | n, d <= n, por outro lado, se n | d, n <= d, e isso só é possível se |d| = |n| (em módulo porque os números podem ser negativos).

Exercício. Se eu tenho 13 pombos e 6 casas para comportá-los, mostre que pelo menos uma casa terá 3 pombos.

Resolução: pela visualização em álgebra de pedrinhas, fica evidente que consigo distribuir igualmente 12 pombos em 6 casas, duas de cada. Porém, ainda tem um pombo restante, de modo que uma casa terá pelo menos 3 pombos.

Esse é o “Princípio da Casa dos Pombos”.

Continue acompanhando a série “Teoria dos Números Visual”.

Veja também:

Teoria dos Números Visual – Divisão (2)

Dando continuidade à Teoria dos Números via “álgebra de pedrinhas”, vamos provar alguns teoremas iniciais.

Teorema: Se a | b e n é inteiro, a | b*n

Relembrando, a divisão é como se o numerador b fosse o número de bolinhas, e o denominador, a, o número de colunas: distribua 8 bolinhas em 4 colunas, e temos o diagrama a seguir.

Se eu multiplicar o número por b um inteiro, digamos n = 2, é só copiar a quantidade de bolinhas anterior e colar em cima. As pedrinhas vão continuar sendo dispostas em a colunas. E o padrão se repete, para qualquer número n inteiro (inclusive negativo).

Teorema: Se a | b e a | c, a | b + c

A ideia aqui é similar. Se b consegue ser colocada em exatamente a colunas, e idem para c, é só empilhar os resultados para concluirmos que (b + c) podem ser colocados em a colunas.

No exemplo acima, 3 | 6 e 3 | 9, então 3 | (6 + 9)

Teorema: Se a | b e a | c, m e n são inteiros, a | b*m + c*n

Observe como a composição de afirmações simples vai gradativamente se tornando mais complexa.

Este teorema é basicamente a combinação dos dois anteriores.

Partindo para um exemplo, se 3 | 6 e 3 | 9, então 3 | (6*2 + 9).

Teorema: n | n

Este teorema é bem simples. Se tenho n pedrinhas, elas podem ser dispostas em n colunas, basta colocar uma do lado da outra.

exemplo: 6 | 6.

Teorema: n | 0

Infelizmente, não há representação visual, porque tenho zero pedrinhas na mão. Se tenho 0 pedrinhas, coloco 0 delas em cada uma das n colunas, mostrando que n | 0.

No próximo artigo sobre o tema, vamos continuar provando teoremas básicos de Teoria dos Nùmeros, usando a “álgebra de pedrinhas”. Fiquem ligados na página!

Veja também:

Ideias técnicas com uma pitada de filosofia

https://ideiasesquecidas.com

Rodar algoritmos de apoio em:

https://asgunzi.github.io/TeoriaNumeros01_Divisao/Index.html

Referência: Introdução à Teoria dos Números, José Plínio de Oliveira Santos, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada.

Teoria dos Números Visual – Divisão

Vou começar uma série de artigos, explicando a bela Teoria dos Números a partir de uma abordagem visual, que chamei de “álgebra de pedrinhas”.

A motivação é que os livros comuns de matemática exploram pouco os recursos visuais, e a matemática fica mais intuitiva com objetos do mundo real.

Vamos começar com a divisão.

Definição. Se a e b são inteiros, dizemos que a divide b, denotando por a|b, se existir um inteiro c tal que b = a*c.

Por exemplo, 12 dividido por 4 = 3, pode ser interpretado por 12 bolinhas, dispostas em 4 colunas, cada coluna com 3 bolinhas de altura.

Convido o leitor a experimentar o algoritmo em:

https://asgunzi.github.io/TeoriaNumeros01_Divisao/Index.html

Definição: O algoritmo da divisão.

Dados dois inteiros a e b, b>0, existe um único par de inteiros q e r tais que:

a = q*b+r,

com 0<= r < b

q é chamado de quociente e r de resto da divisão de a por b.

Outro exemplo: 8 dividido por 2 = 2 colunas com 4 bolinhas de altura (o quociente). No caso, o resto da divisão é zero.

Vejamos um caso com resto na divisão.

Para o caso 13 / 4, não consigo arrumar 13 bolinhas em 4 colunas. Consigo arrumar 4 colunas com 3 bolinhas de altura (quociente), e vai “sobrar” uma linha com uma bolinha. Essa “sobra” é o resto da divisão.

13 = 4*3 + 1

(numerador = denominador*quociente + resto)

Neste caso, é dito que 13 não é divisível por 4.

Um último exemplo: 22 não é divisível por 5, porque vai restar uma linha com 2 pedrinhas “sobrando” (resto da divisão).

O algoritmo da divisão é base de todo o resto do livro, e dá para chegar à conclusões bastante complexas construindo o raciocínio, pouco a pouco.

Rodar algoritmos de apoio em:

https://asgunzi.github.io/TeoriaNumeros01_Divisao/Index.html

Referência: Introdução à Teoria dos Números, José Plínio de Oliveira Santos, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada.

Veja também:

Prova visual do Pequeno Teorema de Fermat

O Pequeno Teorema de Fermat é uma das joias da Teoria dos Números, e é utilizada, por exemplo, em testes de primalidade para a criptografia moderna.

Ela diz que p | n^p – n, para p primo.

Exemplo. n = 3 e p = 5.
n^p – n = 3^5 – 3 = 240, e 240 é divisível por 5.

Exemplo. n = 4 e p = 3.
n^p – n = 4^3 – 4 = 60, e 60 é divisível por 3.

Contra exemplo. n = 2 e p = 4.
n^p – n = 2^4 – 2 = 14, e 14 não é divisível por 4 (para o teorema funcionar, p deve ser primo em relação a n).

Não confundir com o Grande Teorema de Fermat, aquele que ficou famoso por demorar 300 anos para ser resolvido. O matemático Pierre de Fermat dizia ter a prova na cabeça, mas não cabia no rodapé do livro que ele estava anotando.

O Pequeno Teorema de Fermat tem uma prova combinatória / visualização muito bonita.

A primeira observação é que n^p é uma fórmula muito conhecida em análise combinatória.
Por exemplo, se p=3 posições (as três bolinhas abaixo) e n = 4 cores, n^p indica o número de combinações de cores para pintar as três bolinhas de forma diferente (onde a ordem importa).

A segunda observação. Há n = 4 cores únicas, então se eu pintar as p = 3 bolinhas apenas com uma cor, tenho 4 possibilidades.

Assim, n^p – n = 4^3 – 4 = 60 combinações possíveis de todas as cores para pintar 3 bolinhas, tirando as cores únicas.

Vamos ver as combinações de duas cores. Há 36 formas de colorir as três contas, usando as 4 cores combinadas duas a duas.

O argumento aqui é que, naturalmente, as cores se juntam em grupos de tamanho p.

Imagine cada coluna como se fosse um colar. Se eu amarrar o topo da linha com a base, tenho um círculo. Tenho que girar cada conta p vezes para ela se repetir, porque p é primo entre si com n – não vai haver uma combinação da mesma cor sem girar p posições.

Para combinações de três cores, vide esquema abaixo.


Há 24 formas de colorir as três contas, usando as 4 cores combinadas três a três.

Portanto 24 combinações 3 a 3, mais 36 combinações 2 a 2, mais 4 combinações únicas dá 64 combinações possíveis (igual a 4^3). Tirando as 4 combinações únicas, as outras combinações naturalmente formam grupos de periodicidade p = 3.

Em post seguinte, vou mostrar um contra-exemplo visual, para ilustrar como dois números divisíveis entre si provocam uma repetição, e assim as combinações não se agrupam naturalmente em múltiplos de p.

Trilha sonora: Louis Armstrong – What a Wonderful World

Código fonte do desenho das bolinhas no Github: https://github.com/asgunzi/Prova-Visual-Pequeno-Teor-Fermat

Veja também:

Números Triangulares

Números triangulares são aqueles que formam um triângulo, fazendo jus ao próprio nome.

1

3 = 1 +2

6 = 1 +2 + 3

10 = 1 +2 + 3 + 4

Fiz uma animaçãozinha para demonstrar. Para visualização interativa: https://asgunzi.github.io/NumerosTriangulares/

Cada número triangular é a soma da progressão geométrica 1+2+3+…+N, ou seja, podemos usar a fórmula da PG para calcular um número triangular qualquer.

Vide também:

Euclides e a prova visual dos primos

Um dos resultados mais belos da Matemática é a prova de Euclides, sobre a infinitude dos números primos, escrita há mais de 2.300 anos atrás.

Um número é primo se pode ser dividido apenas por 1 e por si mesmo, sem deixar resto.

A prova é por contradição. Primeiro Euclides supôs que o número de primos fosse finito: {p1, p2, …, pN}.

Para ilustrar, suponha que o conjunto de todos os primos seja formado apenas pelos três primeiros, {2, 3, 5}:

A seguir, Euclides afirmou que existe pelo menos um primo maior do que todos os primos finitos conhecidos: p1p2…*pN +1, ou seja, o produto de todos os primos + 1. Tal número não é divisível por nenhum dos primos anteriores, já que restaria 1 na divisão.

No caso do exemplo, tal número seria igual a 2 * 3 * 5 + 1 = 31.

Visualizando, o novo primo não é divisível por 2:

Nem por 3:

Nem por 5:

Sempre vai restar 1 na divisão.

Portanto, como sempre é possível encontrar esse primo adicional para um conjunto de primos finito, a conclusão é a de que o conjunto dos números primos é infinito.

Veja também:

https://ideiasesquecidas.com/2021/08/25/poligonos-e-conexoes/

Prova visual da sequência 1 + 2 + 4 + 8 = 2^N – 1

A progressão geométrica 1 + 2 + 4 + 8 + …, com cada elemento sendo o dobro da anterior, tem soma igual a 2^N-1, onde N é o número de elementos da soma.

Há uma prova visual muito bonita desta.

Imagine que tomamos emprestado um quadrado, o vermelho, e somamos o primeiro elemento (1):

O próximo elemento da soma, o 2, colocamos à direita – espelhando a soma anterior.

O próximo elemento da soma, o 4, é representado abaixo, de novo espelhando a soma anterior.

E assim sucessivamente. Para 8:

Para o 16:

Com 10 elementos:

Criei um programinha para visualizar dinamicamente essa soma geométrica. É da onde os prints acima foram tirados. Segue o link:

https://asgunzi.github.io/somageometricaD3

Agora, um pouco da teoria. Uma soma de PG finita é dada pela fórmula:

No caso da sequência acima, a1 = 1, q = 2, para N elementos. Então, fica S = 1*(2^N-1)/(2-1) = 2^N-1, que é a mesma conta.

Eu prefiro a prova visual…

Veja também:


Visualize a sequência de Fibonacci https://asgunzi.github.io/Fibonacci

Fórmula de soma de PA visual

https://ideiasesquecidas.com/2015/09/04/soma-visual-de-pa

Laboratório de Matemática


https://ideiasesquecidas.com/laboratorio-de-matematica

Soma de ímpares consecutivos – álgebra de pedrinhas

Gosto muito de provas visuais. Tenho neste blog uma coleção de provas deste tipo, envolvendo “álgebra de pedrinhas” – vide Laboratório de Matemática (ideiasesquecidas.com). Segue mais uma.

Prova visual de que a soma de ímpares consecutivos é divisível por 4:

Algebricamente, (2n+1) + (2n+3) = 4n +4, que é divisível por 4.

Ambas as provas são muito simples, porém a visual é mais bonita.

Veja também:

Prova visual da sequência 1+3+5+… (ideiasesquecidas.com)

Pitágoras Visual (ideiasesquecidas.com)