Senos de inteiros

Padrões interessantes surgem, quando plotamos a função seno para números inteiros [sin(1), sin(2), sin(3), …, sin(N)].

Painel interativo aqui:
https://asgunzi.github.io/Senos-inteiros/index.html

Para N = 500, aparecem alguns hexágonos.

Para N = 1000, fica mais evidente.

Para N = 2000:

Para N= 5000:

A mesma coisa, mas com o eixo X em escala logarítmica.

Achei bonito o padrão formado, e resolvi fazer os gráficos.

Este post é baseado em artigo de John Cook, referenciado abaixo.

Veja também:

Prova visual da aproximação de raiz (a + b)

A expressão a seguir fornece uma aproximação da raiz (a + b), quando b<<a (b muito menor que a):

Dá para interpretar facilmente a aproximação, pensando em áreas.

A raiz quadrada de a é o lado do quadrado que tem área a.

Suponha que queremos a raiz de a + b, e o quadrado a seguir tenha exatamente as dimensões desejadas.

Como fazer para encontrar o valor desconhecido x?

Se a área verde é igual a b, metade dela será b/2, e essa área é aproximadamente igual a raiz(a) * x, desprezando a “quina” que não faz parte do retângulo.

Assim, temos x = b/(2*raiz(a)), e a dedução da fórmula citada.

Note que o erro equivale à parte em vermelho do diagrama.

E o erro será menor tanto quanto b for menor do que a.

Veja também:

https://ideiasesquecidas.com/laboratorio-de-matematica

Euclides e a prova visual dos primos

Um dos resultados mais belos da Matemática é a prova de Euclides, sobre a infinitude dos números primos, escrita há mais de 2.300 anos atrás.

Um número é primo se pode ser dividido apenas por 1 e por si mesmo, sem deixar resto.

A prova é por contradição. Primeiro Euclides supôs que o número de primos fosse finito: {p1, p2, …, pN}.

Para ilustrar, suponha que o conjunto de todos os primos seja formado apenas pelos três primeiros, {2, 3, 5}:

A seguir, Euclides afirmou que existe pelo menos um primo maior do que todos os primos finitos conhecidos: p1p2…*pN +1, ou seja, o produto de todos os primos + 1. Tal número não é divisível por nenhum dos primos anteriores, já que restaria 1 na divisão.

No caso do exemplo, tal número seria igual a 2 * 3 * 5 + 1 = 31.

Visualizando, o novo primo não é divisível por 2:

Nem por 3:

Nem por 5:

Sempre vai restar 1 na divisão.

Portanto, como sempre é possível encontrar esse primo adicional para um conjunto de primos finito, a conclusão é a de que o conjunto dos números primos é infinito.

Veja também:

https://ideiasesquecidas.com/2021/08/25/poligonos-e-conexoes/

Falsos positivos e a Regra de Bayes

Em 2009, uma agência de saúde americana recomendou algo contra a intuição: que mulheres na faixa de 40 anos não fizessem exame de mamografia anualmente, e sim, a cada 2 anos.

O exame parece ter alta eficácia: se a mulher tem câncer de mama, o exame dá positivo em 80% dos casos. Se ela não tem câncer, dá falso positivo em 10% dos casos.

Como explicar tal decisão? Via a regra de Bayes.

Segundo estatísticas americanas, câncer de mama atinge 0,4% das mulheres nesta faixa etária.

Ou seja, de 10.000 mulheres, 40 têm, em média, e 9960 não.

Fazendo as contas e jogando tais informações na tabela:

Ou seja, se forem feitos 10.000 exames, 1.028 darão positivo, na média.

O número de falsos positivos é extremamente maior do que o de verdadeiros positivos.

Mesmo se o seu exame deu positivo, há apenas uma chance de 32/1028 ~ 3% de ser câncer de mama de verdade.

Como os malefícios (preocupação, necessidade de realizar exames adicionais) eram muito superiores aos benefícios, a recomendação citada, de fazer o exame a cada 2 anos.

Porém, este tipo de tema é sempre polêmico, e a regra de Bayes pode ser atualizada a cada nova informação (digamos, melhoria na qualidade dos exames).

A regra de Bayes, formalmente, envolve probabilidades condicionais:

Probab. de ter câncer, dado que o exame deu positivo = prob. do exame dar positivo dado que tem câncer de verdade x prob de ter câncer de verdade / prob da mamografia dar positivo.

Isso dá (0,8 * 0,004) / (0,8 * 0,004 + 0,1 * 0,996) = 0,03

Porém, eu gosto mais de entender o exemplo do que decorar essa fórmula confusa.

Dados baseados no livro “Theory that would never die”, de Sharon McGrayne.

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Veja também:

Polígonos e conexões

Quantas conexões podemos fazer com três pessoas?

São três:

Este é um grafo completo – cada elemento está totalmente conectado com os demais.

Este grafo tem uma representação visual muito bonita. Fiz um programinha, usando o pacote D3 do javascript, no endereço a seguir.

https://asgunzi.github.io/Poligonos-e-conexoes/

Alguns prints:

13 pontos:

25 pontos:

Interessante é que não consigo desenhar uma reta com um lápis e régua. Acho mais fácil usar um computador para traçar retas e círculos.

Veja também:

Demonstração visual de seno e cosseno

Segue no link uma animação, mostrando o seno e cosseno como projeções de um ponto ao redor de um círculo.

Fiz essa animaçãozinha no pacote D3 do javascript, que é excelente para esse tipo de demonstração.

Segue aqui para brincar um pouco:

https://asgunzi.github.io/Seno-Cosseno-Visual/

Veja também:

Prova visual da sequência 1 + 2 + 4 + 8 = 2^N – 1

A progressão geométrica 1 + 2 + 4 + 8 + …, com cada elemento sendo o dobro da anterior, tem soma igual a 2^N-1, onde N é o número de elementos da soma.

Há uma prova visual muito bonita desta.

Imagine que tomamos emprestado um quadrado, o vermelho, e somamos o primeiro elemento (1):

O próximo elemento da soma, o 2, colocamos à direita – espelhando a soma anterior.

O próximo elemento da soma, o 4, é representado abaixo, de novo espelhando a soma anterior.

E assim sucessivamente. Para 8:

Para o 16:

Com 10 elementos:

Criei um programinha para visualizar dinamicamente essa soma geométrica. É da onde os prints acima foram tirados. Segue o link:

https://asgunzi.github.io/somageometricaD3

Agora, um pouco da teoria. Uma soma de PG finita é dada pela fórmula:

No caso da sequência acima, a1 = 1, q = 2, para N elementos. Então, fica S = 1*(2^N-1)/(2-1) = 2^N-1, que é a mesma conta.

Eu prefiro a prova visual…

Veja também:


Visualize a sequência de Fibonacci https://asgunzi.github.io/Fibonacci

Fórmula de soma de PA visual

https://ideiasesquecidas.com/2015/09/04/soma-visual-de-pa

Laboratório de Matemática


https://ideiasesquecidas.com/laboratorio-de-matematica

Ideias Analíticas Avançadas

Estou lançando uma publicação na plataforma Medium: a Ideias Analíticas Avançadas (https://medium.com/ideias-anal%C3%ADticas-avan%C3%A7adas).

Os objetivos são:

  • Escrever sobre Analytics Hard: Otimização, Matemática, Python, Computação Quântica, com código e tudo
  • Convidar outros autores a publicar sobre o tema.

Fica já o convite, quem quiser escrever sobre alguns dos temas e divulgar ali.

Diagramas Voronoi em Excel – e retalhonamento de áreas

Diagramas de Voronoi são diagramas bonitos como o seguinte.

Cada região tem um centro, escolhido aleatoriamente, e cada região denota a influência de cada centro.

É possível fazer uma dessas, em Excel.

De forma genérica, um Diagrama de Voronoi começa com um número de regiões.

Para cada região, é sorteado um centro, em coordenadas x e y.

Depois, para cada pixel da área total, é calculada a distância para cada centro da região. O pixel pertence à região mais próxima.

O caso mais fácil possível é o de duas regiões, exemplificado abaixo.

Com 3 regiões:

Vide arquivo no Github: https://github.com/asgunzi/VoronoiExcel. É necessário ativa macros.

Eu achava que essa era apenas uma curiosidade, porém, vi recentemente algumas aplicações bem interessantes.

Uma é de reforma agrária. A forma normal de dividir regiões é manualmente, como a da esquerda. Porém há áreas melhores e piores – digamos, em termos de acesso à estrada (em preto), declividade, qualidade do solo.

Hoje em dia, é possível levantar informações topográficas precisas. Aplicando um Voronoi aperfeiçoado, é possível redividir regiões de forma justa para o INCRA: alguém com uma região melhor vai ter menos área, enquanto outra com condições piores tem mais área, segundo restrições mapeadas.

Na área florestal, um projeto em andamento é o de retalhonar áreas de acordo com faixas de declividade e linhas de plantio, por exemplo, para que os talhões sejam ótimos operacionalmente e homogêneos para critérios de silvicultura e colheita.

Vide também:

Interactive Voronoi Diagram Generator with WebGL – Alex Beutel

Alan Turing é homenageado na nova nota de 50 libras

Para quem gosta de matemática e computação, Alan Turing é um dos nomes mais importantes da história, com contribuições que perduram até hoje.

Turing abstraiu o conceito de computação, e provou que é possível criar uma “máquina de Turing universal”. Ao invés de ter um dispositivo específico para cada operação, o mesmo dispositivo poderia ser programado para fazer as mais diversas operações imagináveis.

Os computadores modernos são máquinas de Turing universais em sua essência.

A tese de Turing-Church, de que todas funções computáveis podem ser computadas por máquinas de Turing universais, continua um problema aberto até hoje.

Ele foi um dos pioneiros da inteligência artificial, com o teste de Turing, uma espécie de jogo da imitação: será que quem escreveu este texto foi uma pessoa ou uma máquina?

Finalmente, ajudou a salvar centenas de milhares de vidas de soldados aliados, ao decifrar o Enigma, código criptográfico nazista. Não é exagero. Por exemplo, os códigos decifrados deram a segurança de que os nazistas não sabiam onde seria o local do desembarque, no Dia D.

Apesar de tudo isso, Turing foi perseguido por ser homossexual, e tirou a própria vida em decorrência de um tratamento forçado a que fora submetido.

Um dia vou conseguir uma nota dessas, só para deixar na carteira como homenagem à este grande gênio da humanidade.

Recomendação de filme: O Jogo da Imitação, no Prime Video:

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Veja também:

thttps://ideiasesquecidas.com/2020/11/21/codigos-genetica-e-puzzles/

O dia que troquei minha mulher por uma barra de chocolate

Tudo começou com uma brincadeira das crianças. Você trocaria seu telefone por um gatinho? E o gatinho por uma barata? E assim sucessivamente. Minha esposa me perguntou: você me trocaria por uma barra de chocolates infinita?

Sendo muito lógico, é claro que respondi “Sim”. Infinito é uma quantidade muito grande…

Uma barra infinita seria suficiente para dar um pedaço para cada pessoa na cidade. Na verdade, para que se restringir a uma cidade? Seria mais do que suficiente para todas as pessoas na Terra. Mais do que isso, vários pedaços por dia, para cada pessoa, por todos os dias – acabaria com a fome do mundo.

Ainda assim, sobrariam infinitos pedaços – ou seja, seria possível alimentar todas as pessoas que ainda vão nascer no planeta. E para quê parar no planeta? Sendo infinito, é suficiente para este e mais quaisquer outros planetas que conseguissem ter acesso à tal barra de chocolate.

Ademais, a tal barra poderia ter outras aplicações. Talvez uma fonte de energia infinita. Além de alimentar todo o planeta, os cientistas poderiam pensar numa forma de secar e queimar uma enorme quantidade de chocolate, a fim de produzir energia elétrica infinita. Por mais ineficiente que tal processo seja, ainda valeria a pena, pela fonte de matéria-prima não ter fim.

Ora, mas tem algo estranho nessa conta. Se a quantidade de energia gerada é infinita, a quantidade de energia para fazer tal barra de chocolate também seria infinita.

Uma barra assim precisaria de muitos bilhões de litros de leite e de quilos de cacau e açúcar. Muito mais do que isso, de bilhões de bilhões de bilhões de litros e quilos, além de quantidade equivalente de processos industriais e energia – e ainda assim não seria nada perto do infinito. Precisaria de todo o peso do planeta Terra, mais o peso da galáxia inteira, e o peso de tudo o que existe no universo, e ainda assim, ainda falta muito para infinito.

Ou seja, a barra exauriria todos os recursos naturais existentes e transformaria o mundo num mar de chocolate. Sufocaria a todos, antes de poder ser útil para alguma coisa…

Portanto, a resposta correta é “Não”, não troque sua esposa por uma barra de chocolate infinita. Além de todos os problemas citados, esta resposta evita que você leve um tapa na cara!

Veja também

Sobre Átomos e vazio (ideiasesquecidas.com)

O loop infinito das Leis da Robótica (ideiasesquecidas.com)

A guerra do cálculo

Pense num matemático. Um gênio solitário, sem um tostão no bolso, porém com a cabeça repleta de equações. Alguém sem vaidades, cuja missão final é encontrar a verdade universal, desapaixonada, independente dos créditos. Ledo engano.

Não é a paixão financeira que move as arenas intelectuais, porém, se o dinheiro não é a moeda mais importante, o crédito pelas ideias ocupa parte deste papel.

“A guerra do cálculo” narra a batalha de dois dos maiores gênios da humanidade, Isaac Newton e Gottfried Leibniz, pela autoria do cálculo – uma das maiores conquistas da matemática e o pesadelo de todo o universitário de exatas.

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Hoje em dia, há um consenso de que ambos descobriram o cálculo de forma independente. Apesar de Newton ter “vencido” a guerra, foi o legado de Leibniz que ficou. Até hoje, utilizamos a notação deste último, e vários outros matemáticos (Bernoulli, L’Hôpital) derivam de Leibniz.

É uma história de vaidades, intrigas, duelos, acusações injustas, bullying, conspirações, poder e sexo selvagem (ok, este último ponto não é verdade, só coloquei para exagerar).

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Sobre Newton na Casa da Moeda:

Ele estudou todas as partes do processo de cunhagem – máquinas, homens, métodos – e se tornou um especialista em tudo, de testar ouro e prata a processar falsificadores.

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Newton era o tipo de gênio que trabalhava dia e noite, esquecendo de comer, se lavar, e negligenciava tudo a seu redor exceto os livros e notas do seu interesse no momento.

A imagem que temos de jovem Newton como um cientista louco superdedicado funciona porque é verdade.

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Diferenciais são pequenos incrementos ou decrementos momentâneos em quantidades variantes, e integrais são somas de intervalos infinitesimais de curvas ou formas geométricas.

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Os antigos tinham calculado a área de formas geométricas através do que chamamos hoje de método da exaustão – preenchendo uma área com triângulos, retângulos, ou alguma outra forma simples de calcular. Arquimedes, utilizando tal método, determinou a área das parábolas e segmentos esféricos.

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Bonaventura Cavalieri, um amigo de Galileo e professor de matemática em Bolonha, considerou a linha um infinito de pontos; uma área, uma infinidade de linhas; um sólido, um infinito de superfícies.

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Newton foi o primeiro a descobrir um sistema geral que o permitia analisar este tipo de problema – o cálculo, ou o método das fluxões, como Newton chamava.

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Leibniz descobriu o cálculo durante os anos prolíficos que ele passou em Paris, entre 1672 e 1676. Apesar de ser um advogado sem treinamento formal em matemático, ele mostrava uma incrível propensão ao tema.

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O termo “cálculo” foi criado por Leibniz – um cálculo sendo uma pedra que os romanos utilizavam para contar.

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Na época que Newton publicou “Sobre a quadratura das curvas”, no apêndice de Ótica em 1704, Leibniz estava à sua frente fazia duas décadas (Newton descobriu o cálculo primeiro, em 1666, porém somente publicou os estudos muito tempo depois).

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Sobre Leibniz

Aos 8 anos, foi permitido a Leibniz entrar na biblioteca do pai. Ele encontrou livros de Cícero, Plínio, Sêneca, Heródoto, Xenofonte, Platão e muitos outros, e ele estava livre para estudar os clássicos latinos, discursos metafísicos, e manuscritos teológicos. Ele devorou os livros com avidez.

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É muito comum cientistas trabalhando separadamente no mesmo problema chegar a soluções semelhantes na mesma época. É a teoria da inevitabilidade da descoberta. Sem dúvida, o cálculo era inevitável – não fosse Newton ou Leibniz, outro o teria feito.

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A grande inspiração de Newton foi ver a geometria em movimento. Ele viu quantidades fluindo, geradas pelo movimento.

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Se Newton tivesse publicado o De Analysi quando o escrevera, ele teria poupado um monte de problemas e não haveria uma guerra do cálculo.

Há algumas razões para Newton não ter publicado. Uma delas foi um incêndio em Londres, que afetou tremendamente o mercado de publicações, prejudicando matemáticos como Newton.

Outro fator é que Newton queria apresentar os trabalhos sobre ótica primeiro. Ele começaria apresentando aos membros da Sociedade Real uma de suas grandes invenções: um telescópio reflexivo.

Ele corajosamente propôs que a luz não era uma onda, mas sim formada de partículas. Uma multitude de corpúsculos de luz inumeravelmente pequenos viajando através do espaço.

Outro fator que pesou para Newton postergar publicações foi a rivalidade com Robert Hooke. Hooke era a autoridade em ótica na Inglaterra da época, e ele era extremamente crítico às obras de seus contemporâneos.

Hooke era uma pedra no sapato, sempre clamando para si o crédito de boas ideias e minimizando a contribuição de outros. Ex. em 1676, Hooke declarou que o trabalho de Newton sobre a luz foi feito a partir de seu próprio trabalho, Micrografia.

Devido aos problemas com Hooke, Newton perdeu a vontade de publicar por muito tempo.

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Sobre Leibniz na sociedade de alquimistas.

Leibniz era um desconhecido, que queria entrar na sociedade de alquimistas da Europa. Ele criou um plano: consultou os mais difíceis livros de alquimia da época, e escreveu as palavras mais obscuras que encontrara, num artigo que era ao mesmo tempo impressionante e sem sentido algum. Acabou agradando os alquimistas, que o receberam. Tempos depois, ele abandonou a sociedade, chamando-os de fraternidade de fazer ouro.

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A máquina de calcular de Leibniz

Leibniz inventou uma máquina de madeira e metal, com uma manivela mecânica, um precursor de calculadora.

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Naquela época, as correspondências demoravam muito tempo para encontrar o destinatário. Uma carta de Newton de 1676 só alcançou Leibniz um ano depois, porque quando foi enviada, ele já tinha deixado Paris e ido para Hanover.

Para Lebniz, Newton tinha um método de resolver o problema e ele tinha outro.

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Hoje em dia, há poucos argumentos sobre o fato de que Newton e Leibniz fizeram o trabalho independentemente um do outro, porque as notas de Leibniz existem desde 1675, muitos meses antes de ver qualquer coisa vinda de Newton.

Newton escreveu a Leibniz cartas em anagramas codificados. Era uma forma de mostrar que sabia alguma coisa, porém sem revelar o segredo. Ex. uso uma cifra de César para codificar “casa”: “dbtb” – troco uma letra pelo sucessor. Porém, esse tipo de cifra é muito fácil de decifrar, então além disso, ele fazia um anagrama: “tbbd”. Assim, dificultava tremendamente qualquer tentativa de decifrar a mensagem, sem a chave correta.

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Sobre Halley (que hoje é conhecido pelo cometa).

Edmond Halley estava em busca do movimento dos planetas. Nessa jornada, ele se encontrou com Newton, que respondeu imediatamente: uma elipse. A órbita dos planetas ao redor do sol segue a lei do inverso do quadrado, e o caminho é elíptico. Essa simples resposta mudaria a vida de ambos para sempre.

Impressionado com os resultados de Newton, Hooke o convenceu a publicar um dos maiores livros de todos os tempos – o Principia (de onde vêm as três leis de Newton).

Halley até arcou com as despesas da publicação, em 1687, porque a Sociedade Real não tinha fundos para tal.

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Se Leibniz tivesse escolhido atacar Newton na última década do séc. XVII, ele certamente venceria a guerra do cálculo. Newton não estava ainda na sua posição de máximo poder como presidente da Sociedade Real.

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Em 1696, um dos irmãos Bernoulli lançou o “problema da braquistócrona” e apenas 5 matemáticos foram capazes de resolver o problema: Leibniz, Newton, L’Hôpital, e os irmãos Bernoulli.

Experimento da braquistócrona

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Fatio, o “chimpanzé” de Newton, foi um dos primeiros que começaram a atacar Leibniz, ao destacar que Newton era o precursor do cálculo. Leibniz recusou a se envolver, por não ter grande respeito pelo rapaz.

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Uma das inspirações para Newton publicar o seu trabalho foi uma publicação de um matemático chamado Cheyne, “Sobre o inverso do método das fluxões”, em que ele tentou explicar o cálculo newtoniano para o mundo. Porém o material ficou tão ruim que inspirou Newton a publicar a sua própria versão, no apêndice de Ótica, “sobre a quadratura das curvas”.

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Anos depois do primeiro ataque de Fatio, um outro matemático chamado Keill fez alegações semelhantes. Leibniz pediu para a Sociedade Real arbitrar sobre o assunto, convencido de que ele não tinha plagiado ninguém, e de que teria apoio dela.

O plano deu muito errado, pois Newton era o presidente da Sociedade Real. Esta apontou um comitê, em 1712. No papel, a disputa era de boa fé e visava decidir sobre a disputa. Na verdade, o comitê era na maioria amigos de Newton – pessoas como Halley, e alguns outros de fora para manter a aparência de neutralidade.

A conclusão do documento, sem surpresa alguma, dava ganho de causa a Newton e condenava Leibniz. Neste foram anexadas diversas evidências, como correspondências entre ambos e outras publicações. Isto fez com que Newton fosse considerado o maior matemático dos últimos 50 anos, e relegou Leibniz ao ostracismo.

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Leibniz passou o resto da vida tentando revidar, mas nunca conseguiu.

Algo que piorou a posição de Leibniz foi ele tentar atacar as leis da gravidade descobertas por Newton – que não tinham relação alguma com o cálculo. Na época, a força à distância da gravidade era algo difícil de engolir.

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Leibniz faleceu sem grandes honras. Já Newton, era o gênio do século XVIII, como Einstein foi do século XX.

Voltaire colocou simplesmente: “Newton foi o maior homem que já viveu”.

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Leibniz, como pessoa, perdeu a guerra do cálculo. Porém, é o legado de Leibniz que ficou.

Matemáticos britânicos foram proibidos de usar a notação de Leibniz, que era utilizada em todo o resto da Europa, até que finalmente tiveram que ceder no começo do século dezenove. Foi no meio do séc. XIX que Leibniz começou a ser redimido, e colocado como co-criador do cálculo.

Meme enviado pelo leitor Pedro Arka

Veja também:

Lab. Matemática (ideiasesquecidas.com)

Braquistócronas, tautócronas e cicloides (ideiasesquecidas.com)