Alan Turing é homenageado na nova nota de 50 libras

Para quem gosta de matemática e computação, Alan Turing é um dos nomes mais importantes da história, com contribuições que perduram até hoje.

Turing abstraiu o conceito de computação, e provou que é possível criar uma “máquina de Turing universal”. Ao invés de ter um dispositivo específico para cada operação, o mesmo dispositivo poderia ser programado para fazer as mais diversas operações imagináveis.

Os computadores modernos são máquinas de Turing universais em sua essência.

A tese de Turing-Church, de que todas funções computáveis podem ser computadas por máquinas de Turing universais, continua um problema aberto até hoje.

Ele foi um dos pioneiros da inteligência artificial, com o teste de Turing, uma espécie de jogo da imitação: será que quem escreveu este texto foi uma pessoa ou uma máquina?

Finalmente, ajudou a salvar centenas de milhares de vidas de soldados aliados, ao decifrar o Enigma, código criptográfico nazista. Não é exagero. Por exemplo, os códigos decifrados deram a segurança de que os nazistas não sabiam onde seria o local do desembarque, no Dia D.

Apesar de tudo isso, Turing foi perseguido por ser homossexual, e tirou a própria vida em decorrência de um tratamento forçado a que fora submetido.

Um dia vou conseguir uma nota dessas, só para deixar na carteira como homenagem à este grande gênio da humanidade.

Recomendação de filme: O Jogo da Imitação, no Prime Video:

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Veja também:

thttps://ideiasesquecidas.com/2020/11/21/codigos-genetica-e-puzzles/

O dia que troquei minha mulher por uma barra de chocolate

Tudo começou com uma brincadeira das crianças. Você trocaria seu telefone por um gatinho? E o gatinho por uma barata? E assim sucessivamente. Minha esposa me perguntou: você me trocaria por uma barra de chocolates infinita?

Sendo muito lógico, é claro que respondi “Sim”. Infinito é uma quantidade muito grande…

Uma barra infinita seria suficiente para dar um pedaço para cada pessoa na cidade. Na verdade, para que se restringir a uma cidade? Seria mais do que suficiente para todas as pessoas na Terra. Mais do que isso, vários pedaços por dia, para cada pessoa, por todos os dias – acabaria com a fome do mundo.

Ainda assim, sobrariam infinitos pedaços – ou seja, seria possível alimentar todas as pessoas que ainda vão nascer no planeta. E para quê parar no planeta? Sendo infinito, é suficiente para este e mais quaisquer outros planetas que conseguissem ter acesso à tal barra de chocolate.

Ademais, a tal barra poderia ter outras aplicações. Talvez uma fonte de energia infinita. Além de alimentar todo o planeta, os cientistas poderiam pensar numa forma de secar e queimar uma enorme quantidade de chocolate, a fim de produzir energia elétrica infinita. Por mais ineficiente que tal processo seja, ainda valeria a pena, pela fonte de matéria-prima não ter fim.

Ora, mas tem algo estranho nessa conta. Se a quantidade de energia gerada é infinita, a quantidade de energia para fazer tal barra de chocolate também seria infinita.

Uma barra assim precisaria de muitos bilhões de litros de leite e de quilos de cacau e açúcar. Muito mais do que isso, de bilhões de bilhões de bilhões de litros e quilos, além de quantidade equivalente de processos industriais e energia – e ainda assim não seria nada perto do infinito. Precisaria de todo o peso do planeta Terra, mais o peso da galáxia inteira, e o peso de tudo o que existe no universo, e ainda assim, ainda falta muito para infinito.

Ou seja, a barra exauriria todos os recursos naturais existentes e transformaria o mundo num mar de chocolate. Sufocaria a todos, antes de poder ser útil para alguma coisa…

Portanto, a resposta correta é “Não”, não troque sua esposa por uma barra de chocolate infinita. Além de todos os problemas citados, esta resposta evita que você leve um tapa na cara!

Veja também

Sobre Átomos e vazio (ideiasesquecidas.com)

O loop infinito das Leis da Robótica (ideiasesquecidas.com)

A guerra do cálculo

Pense num matemático. Um gênio solitário, sem um tostão no bolso, porém com a cabeça repleta de equações. Alguém sem vaidades, cuja missão final é encontrar a verdade universal, desapaixonada, independente dos créditos. Ledo engano.

Não é a paixão financeira que move as arenas intelectuais, porém, se o dinheiro não é a moeda mais importante, o crédito pelas ideias ocupa parte deste papel.

“A guerra do cálculo” narra a batalha de dois dos maiores gênios da humanidade, Isaac Newton e Gottfried Leibniz, pela autoria do cálculo – uma das maiores conquistas da matemática e o pesadelo de todo o universitário de exatas.

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Hoje em dia, há um consenso de que ambos descobriram o cálculo de forma independente. Apesar de Newton ter “vencido” a guerra, foi o legado de Leibniz que ficou. Até hoje, utilizamos a notação deste último, e vários outros matemáticos (Bernoulli, L’Hôpital) derivam de Leibniz.

É uma história de vaidades, intrigas, duelos, acusações injustas, bullying, conspirações, poder e sexo selvagem (ok, este último ponto não é verdade, só coloquei para exagerar).

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Sobre Newton na Casa da Moeda:

Ele estudou todas as partes do processo de cunhagem – máquinas, homens, métodos – e se tornou um especialista em tudo, de testar ouro e prata a processar falsificadores.

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Newton era o tipo de gênio que trabalhava dia e noite, esquecendo de comer, se lavar, e negligenciava tudo a seu redor exceto os livros e notas do seu interesse no momento.

A imagem que temos de jovem Newton como um cientista louco superdedicado funciona porque é verdade.

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Diferenciais são pequenos incrementos ou decrementos momentâneos em quantidades variantes, e integrais são somas de intervalos infinitesimais de curvas ou formas geométricas.

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Os antigos tinham calculado a área de formas geométricas através do que chamamos hoje de método da exaustão – preenchendo uma área com triângulos, retângulos, ou alguma outra forma simples de calcular. Arquimedes, utilizando tal método, determinou a área das parábolas e segmentos esféricos.

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Bonaventura Cavalieri, um amigo de Galileo e professor de matemática em Bolonha, considerou a linha um infinito de pontos; uma área, uma infinidade de linhas; um sólido, um infinito de superfícies.

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Newton foi o primeiro a descobrir um sistema geral que o permitia analisar este tipo de problema – o cálculo, ou o método das fluxões, como Newton chamava.

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Leibniz descobriu o cálculo durante os anos prolíficos que ele passou em Paris, entre 1672 e 1676. Apesar de ser um advogado sem treinamento formal em matemático, ele mostrava uma incrível propensão ao tema.

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O termo “cálculo” foi criado por Leibniz – um cálculo sendo uma pedra que os romanos utilizavam para contar.

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Na época que Newton publicou “Sobre a quadratura das curvas”, no apêndice de Ótica em 1704, Leibniz estava à sua frente fazia duas décadas (Newton descobriu o cálculo primeiro, em 1666, porém somente publicou os estudos muito tempo depois).

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Sobre Leibniz

Aos 8 anos, foi permitido a Leibniz entrar na biblioteca do pai. Ele encontrou livros de Cícero, Plínio, Sêneca, Heródoto, Xenofonte, Platão e muitos outros, e ele estava livre para estudar os clássicos latinos, discursos metafísicos, e manuscritos teológicos. Ele devorou os livros com avidez.

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É muito comum cientistas trabalhando separadamente no mesmo problema chegar a soluções semelhantes na mesma época. É a teoria da inevitabilidade da descoberta. Sem dúvida, o cálculo era inevitável – não fosse Newton ou Leibniz, outro o teria feito.

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A grande inspiração de Newton foi ver a geometria em movimento. Ele viu quantidades fluindo, geradas pelo movimento.

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Se Newton tivesse publicado o De Analysi quando o escrevera, ele teria poupado um monte de problemas e não haveria uma guerra do cálculo.

Há algumas razões para Newton não ter publicado. Uma delas foi um incêndio em Londres, que afetou tremendamente o mercado de publicações, prejudicando matemáticos como Newton.

Outro fator é que Newton queria apresentar os trabalhos sobre ótica primeiro. Ele começaria apresentando aos membros da Sociedade Real uma de suas grandes invenções: um telescópio reflexivo.

Ele corajosamente propôs que a luz não era uma onda, mas sim formada de partículas. Uma multitude de corpúsculos de luz inumeravelmente pequenos viajando através do espaço.

Outro fator que pesou para Newton postergar publicações foi a rivalidade com Robert Hooke. Hooke era a autoridade em ótica na Inglaterra da época, e ele era extremamente crítico às obras de seus contemporâneos.

Hooke era uma pedra no sapato, sempre clamando para si o crédito de boas ideias e minimizando a contribuição de outros. Ex. em 1676, Hooke declarou que o trabalho de Newton sobre a luz foi feito a partir de seu próprio trabalho, Micrografia.

Devido aos problemas com Hooke, Newton perdeu a vontade de publicar por muito tempo.

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Sobre Leibniz na sociedade de alquimistas.

Leibniz era um desconhecido, que queria entrar na sociedade de alquimistas da Europa. Ele criou um plano: consultou os mais difíceis livros de alquimia da época, e escreveu as palavras mais obscuras que encontrara, num artigo que era ao mesmo tempo impressionante e sem sentido algum. Acabou agradando os alquimistas, que o receberam. Tempos depois, ele abandonou a sociedade, chamando-os de fraternidade de fazer ouro.

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A máquina de calcular de Leibniz

Leibniz inventou uma máquina de madeira e metal, com uma manivela mecânica, um precursor de calculadora.

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Naquela época, as correspondências demoravam muito tempo para encontrar o destinatário. Uma carta de Newton de 1676 só alcançou Leibniz um ano depois, porque quando foi enviada, ele já tinha deixado Paris e ido para Hanover.

Para Lebniz, Newton tinha um método de resolver o problema e ele tinha outro.

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Hoje em dia, há poucos argumentos sobre o fato de que Newton e Leibniz fizeram o trabalho independentemente um do outro, porque as notas de Leibniz existem desde 1675, muitos meses antes de ver qualquer coisa vinda de Newton.

Newton escreveu a Leibniz cartas em anagramas codificados. Era uma forma de mostrar que sabia alguma coisa, porém sem revelar o segredo. Ex. uso uma cifra de César para codificar “casa”: “dbtb” – troco uma letra pelo sucessor. Porém, esse tipo de cifra é muito fácil de decifrar, então além disso, ele fazia um anagrama: “tbbd”. Assim, dificultava tremendamente qualquer tentativa de decifrar a mensagem, sem a chave correta.

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Sobre Halley (que hoje é conhecido pelo cometa).

Edmond Halley estava em busca do movimento dos planetas. Nessa jornada, ele se encontrou com Newton, que respondeu imediatamente: uma elipse. A órbita dos planetas ao redor do sol segue a lei do inverso do quadrado, e o caminho é elíptico. Essa simples resposta mudaria a vida de ambos para sempre.

Impressionado com os resultados de Newton, Hooke o convenceu a publicar um dos maiores livros de todos os tempos – o Principia (de onde vêm as três leis de Newton).

Halley até arcou com as despesas da publicação, em 1687, porque a Sociedade Real não tinha fundos para tal.

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Se Leibniz tivesse escolhido atacar Newton na última década do séc. XVII, ele certamente venceria a guerra do cálculo. Newton não estava ainda na sua posição de máximo poder como presidente da Sociedade Real.

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Em 1696, um dos irmãos Bernoulli lançou o “problema da braquistócrona” e apenas 5 matemáticos foram capazes de resolver o problema: Leibniz, Newton, L’Hôpital, e os irmãos Bernoulli.

Experimento da braquistócrona

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Fatio, o “chimpanzé” de Newton, foi um dos primeiros que começaram a atacar Leibniz, ao destacar que Newton era o precursor do cálculo. Leibniz recusou a se envolver, por não ter grande respeito pelo rapaz.

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Uma das inspirações para Newton publicar o seu trabalho foi uma publicação de um matemático chamado Cheyne, “Sobre o inverso do método das fluxões”, em que ele tentou explicar o cálculo newtoniano para o mundo. Porém o material ficou tão ruim que inspirou Newton a publicar a sua própria versão, no apêndice de Ótica, “sobre a quadratura das curvas”.

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Anos depois do primeiro ataque de Fatio, um outro matemático chamado Keill fez alegações semelhantes. Leibniz pediu para a Sociedade Real arbitrar sobre o assunto, convencido de que ele não tinha plagiado ninguém, e de que teria apoio dela.

O plano deu muito errado, pois Newton era o presidente da Sociedade Real. Esta apontou um comitê, em 1712. No papel, a disputa era de boa fé e visava decidir sobre a disputa. Na verdade, o comitê era na maioria amigos de Newton – pessoas como Halley, e alguns outros de fora para manter a aparência de neutralidade.

A conclusão do documento, sem surpresa alguma, dava ganho de causa a Newton e condenava Leibniz. Neste foram anexadas diversas evidências, como correspondências entre ambos e outras publicações. Isto fez com que Newton fosse considerado o maior matemático dos últimos 50 anos, e relegou Leibniz ao ostracismo.

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Leibniz passou o resto da vida tentando revidar, mas nunca conseguiu.

Algo que piorou a posição de Leibniz foi ele tentar atacar as leis da gravidade descobertas por Newton – que não tinham relação alguma com o cálculo. Na época, a força à distância da gravidade era algo difícil de engolir.

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Leibniz faleceu sem grandes honras. Já Newton, era o gênio do século XVIII, como Einstein foi do século XX.

Voltaire colocou simplesmente: “Newton foi o maior homem que já viveu”.

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Leibniz, como pessoa, perdeu a guerra do cálculo. Porém, é o legado de Leibniz que ficou.

Matemáticos britânicos foram proibidos de usar a notação de Leibniz, que era utilizada em todo o resto da Europa, até que finalmente tiveram que ceder no começo do século dezenove. Foi no meio do séc. XIX que Leibniz começou a ser redimido, e colocado como co-criador do cálculo.

Meme enviado pelo leitor Pedro Arka

Veja também:

Lab. Matemática (ideiasesquecidas.com)

Braquistócronas, tautócronas e cicloides (ideiasesquecidas.com)

Como resolver os Anéis Húngaros (parte 2)

Vide também Como resolver os Anéis Húngaros (parte 1) (ideiasesquecidas.com.

Vimos movimentos básicos no post anterior. Vamos ver algumas combinações mais avançadas.

A sequência 2R L | R L | 2R L | 2R L (não esquecer de desfazer os movimentos) tem o efeito mostrado na figura abaixo, de mover dois grupos de peças somente nas laterais.

Note o padrão. Se ao invés de 2, girar 3, a sequência vai atingir a casa inicial, a primeira adjacente e a terceira, conforme figura a seguir.

Para a sequência 3R L | 2R L | 3R L | 3R L, as casas iniciais, 2 e 3 serão atingidas.

O padrão continua válido para outras combinações deste tipo. Se eu inverter, L R, a mesma coisa é válida, porém espelhando o resultado.

Uma sequência especialmente importante é o seguinte, que troca 5 peças.

Ela é muito útil no final, quando podem ocorrer alguns “becos sem saída” de paridade.


Rotina da apoio

Apesar de ser possível explorar esses movimentos no braço, ou utilizando pedrinhas coloridas, dá muito trabalho.

Escrevi uma macro de apoio, no Excel, para testar o efeito da combinação de movimentos.

Apesar de não estar tão bonitinho, em dois anéis, é a mesma coisa – imagine que corto o anel no meio, e estico em duas fitas paralelas. Afinal, fiz isso para mim, e não para o público geral, rs. O mesmo está disponível em asgunzi/AneisHungaros (github.com).


Resolvendo os anéis húngaros

De posse de todo esse conhecimento, o procedimento é o seguinte. Resolver o terceiro anel, o que é tranquilo.

Depois, resolver as laterais dos 2 anéis restantes. Arrumar umas 9 peças ou mais. Isso é relativamente tranquilo também.

Ir resolvendo as laterais, via os movimentos básicos.

Resolver as peças centrais inferiores, a seguir. Uma combinação dos métodos básicos, e dos avançados descritos são suficientes. De vez em quando, é necessário virar o tabuleiro de cabeça para baixo, e aplicar o movimento de paridade (troca 5 peças), para arrumar.

As casas restantes também podem ser resolvidas com os métodos descritos. Quando surgirem posições “impossíveis” (todas as casas de cima estiverem com a mesma cor, por exemplo), usar o movimento de paridade, para ir arrumando o resultado.

A sugestão é treinar bastante os movimentos básicos, entender como eles funcionam, e aí passar para os mais avançados.

É um pouco mais simples de enxergar as causas e efeitos, em relação ao Rubik tradicional.

Bom divertimento.

Para cubos mágicos e outros puzzles combinatórios, vide:

Cubos Mágicos (ideiasesquecidas.com)

Como resolver os Anéis Húngaros (parte 1)

Eu ganhei da minha esposa o puzzle abaixo. O fabricante (Gemini) chamou o mesmo de “Anéis II”, provavelmente porque a versão “Anéis I” tem dois anéis, enquanto “Anéis II” tem três anéis.

Uma informação preliminar. Podem ter 3 anéis ou 200, que dá na mesma. É muito fácil resolver os anéis adicionais, recaindo na versão original, com 2 anéis.

Esquematicamente:

(nota: colori só as peças que interessam para entender os algoritmos a seguir)

Posteriormente, fiquei sabendo que o puzzle é conhecido como “Anéis húngaros”.

Bagunçado, fica assim:

Segue a minha resolução, em duas partes. Uma nota: não sei qual a notação nem a solução “oficial”. Eu gosto de explorar e criar as minhas soluções, que não serão necessariamente as melhores nem as mais elegantes. Porém, gosto de registrar o passo-a-passo do raciocínio envolvido. Para outros puzzles combinatórios, vide Cubos Mágicos (ideiasesquecidas.com).

Notação

Chamo de R o movimento horário do anel da direita, e L o anti-horário da esquerda.

Analogamente, R’ (ou S) e L’ (ou M), para os inversos dos movimentos.

Movimentos simples

Neste tipo de puzzle, é interessante fazer e desfazer os movimentos e anotar os resultados.

Começando do mais simples possível: faço RL – e depois, desfaço – SM.

Seis bolinhas são afetadas, três na parte superior e três na inferior. A superior ‘gira’ no sentido horário, e a inferior, no anti-horário.

A foto ilustra o movimento RL.

O segundo movimento mais simples é o 2R 2L – ou seja, duas rotações da direita e duas da esquerda. Depois, desfazer tudo.

Note que há um padrão. São seis bolinhas também, o grupo de cima girando no sentido horário e o segundo, no anti-horário. A diferença é que as bolinhas afetadas estão espaçadas em duas casas.

Seguindo o padrão, o 3R 3L vai afetar de 3 e 3.

Foto do movimento 3R 3L:

A lógica continua a mesma para 4R 4L, e outros. E também, se eu fizer o inverso (LR, ou 2L2R), as casas envolvidas serão as mesmas, porém, vai ‘girar’ no sentido oposto.

O caso 5R 5L é patológico. Não segue o padrão acima. Isso porque o 5R 5L faz coincidir a casa atingida pelo anel direito e a casa atingida pelo anel esquerdo.

O efeito é mapeado a seguir.

Movimentos assimétricos

Evoluindo dos movimentos mais simples mostrados acima, é possível fazer uma gama de movimentos assimétricos (número de giros à direita e à esquerda diferentes).

O mais simples é o R 2L.

Note o padrão. Girei R uma vez, então teve a casa na distância 1 atingida. Girei L duas vezes, então a casa na distância 2 foi atingida.

Foto do movimento R 2L.

O mesmo padrão continua valendo para outras combinações.

Exemplo. R 3L:

Foto do R 3L.

São muitas combinações possíveis: 3L 2R, 4R 3L, etc…

O que deve ficar claro é o padrão.

E é esse o espírito deste tipo de puzzle. Movimentos que vão e vêm, e identificar padrões.

Somente com os movimentos acima, é possível (quase) resolver os anéis húngaros.

No próximo post, como elencar esses movimentos todos, e alguns mais avançados, principalmente para problemas de paridade.

Link da parte II:

Como resolver os Anéis Húngaros (parte 2) (ideiasesquecidas.com)

A Espiral de Arquimedes

A Espiral de Arquimedes é uma curva fácil de fazer, usando até o Excel.

Imagine que vou andando ao longo de uma reta, e marcando uma série de pontos a cada vez – é como se um raio r estivesse crescendo.

Imagine agora, que a reta está girando a uma velocidade constante – cada reta está num ângulo theta.

A localização dos pontos forma a Espiral de Arquimedes.

No Excel, basta colocar que o raio e o ângulo theta vão crescendo a velocidade constante.

As coordenadas de cada ponto são r*cos(theta) e r*sin(theta).

Planilha para download no Github:

asgunzi/EspiralArquimedes: Implementação da espiral de Arquimedes em Excel (github.com)

Vide também:

Laboratório de Matemática (ideiasesquecidas.com)

Soma de ímpares consecutivos – álgebra de pedrinhas

Gosto muito de provas visuais. Tenho neste blog uma coleção de provas deste tipo, envolvendo “álgebra de pedrinhas” – vide Laboratório de Matemática (ideiasesquecidas.com). Segue mais uma.

Prova visual de que a soma de ímpares consecutivos é divisível por 4:

Algebricamente, (2n+1) + (2n+3) = 4n +4, que é divisível por 4.

Ambas as provas são muito simples, porém a visual é mais bonita.

Veja também:

Prova visual da sequência 1+3+5+… (ideiasesquecidas.com)

Pitágoras Visual (ideiasesquecidas.com)

Códigos, genética e puzzles

Algumas recomendações de livros, para quem gosta da parte de exatas.

  1. O livro dos códigos, Simon Singh.

Conta a história da criptografia, desde os primórdios até os dias de hoje.

Especialmente interessante é uma descrição detalhada de como o Enigma funcionava. O Enigma era o dispositivo de criptografia dos alemães, na Segunda Grande Guerra, e era considerado indecifrável.

Um grupo de cientistas ingleses, incluindo Alan Turing, conseguiu decifrar o Enigma, dando aos aliados uma vantagem estratégica enorme (eles conseguiram ter a confiança de que o Dia D ocorreria sem grandes problemas, por exemplo)

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  1. Genética e DNA em Quadrinhos, Mark Schultz.

Eu gosto bastante do poder de simplificação e visualização de temas complexos em quadrinhos.

O livro é uma introdução divertida à genética, incluindo Gregor Mendel, Charles Darwin e a famosa dupla hélice do DNA, descoberta pela dupla Watson e Crick.

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Aproveitando, na mesma linha, Química em Quadrinhos, de Larry Gonick:
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  1. Mania de Matemática, Ian Stewart.

O matemático Ian Stewart é autor de vários livros populares sobre matemática.


Neste livro, ele descreve com bastante detalhe alguns puzzles. O nível é bem alto, são puzzles difíceis.

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Um exemplo é a “Quadratura do Quadrado”: como cobrir um quadrado com quadrados menores, de tamanhos diferentes?

Como a “quadratura do quadrado” é um problema difícil demais, ataquei a “quadratura do retângulo” no link a seguir.

https://ideiasesquecidas.com/2019/11/15/quadraturas-do-retangulo/

Na mesma linha, tem o Mania de Matemática II:

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Boa diversão!

Veja também:

https://ideiasesquecidas.com/2016/06/19/calculo-em-quadrinhos-bioquimica-em-quadrinhos/

https://ideiasesquecidas.com/2020/09/18/nietzsche-em-quadrinhos/

Para que servem os autovetores?

Para te deixar multi-milionário? É verdade, pelo menos para os criadores do Google. O algoritmo PageRank basicamente encontra autovalores e autovetores.

No curso de Álgebra Linear, os professores ensinam autovetores conforme a equação da figura.

A grande interpretação da equação é que são a solução de problemas que referenciam a si mesmos.

A ideia básica do Google é simples. Ao invés de rankear os inúmeros sites da internet manualmente (como eram outros engines da época), ela recorre ao número de citações.

Se tiver muitos sites importantes com link para o meu site, o meu site também se torna importante.

Então é só contar os links, correto?

Não. Porque um site porcaria pode estar gerando um monte de links para enganar o sistema.

Como eu sei que o site é importante, sendo que ele é importante porque outros sites dizem que ele é importante?

Quem avalia os avaliadores?

É um problema autorrefenciável… exatamente o problema dos autovalores e autovetores.

O PageRank mostrou-se inúmeras vezes superior aos demais buscadores da época, e foi o primeiro passo para a empresa de Sergei Brin e Larry Page (o Page do PageRank, além de significar página) se tornar o que é hoje.

E eu, demorei 20 anos para entender a importância dos autovetores… tarde demais para criar um Google.

Veja também:

https://ideiasesquecidas.com/2015/08/15/logaritmos-neperianos/

https://ideiasesquecidas.com/2016/05/15/negativo-x-negativo-positivo-por-que/

As curvas do espirógrafo e as órbitas dos planetas

Comprei um espirógrafo, para analisar melhor as curvas que este produz (são diferentes das que eu tinha feito antes).

Segue a implementação descrita a seguir, em versão web: https://asgunzi.github.io/Espirografos/.

Espirógrafo desenhos geométricos hipotroclóides e epitroclóides

Fiz algumas figuras para entender a lógica deste – vide o scan abaixo.

Esquematicamente, imagine um círculo menor rodando dentro de um círculo maior.

Além disso, dentro do círculo menor, escolho a posição do ponto onde coloco a caneta, representada pelo círculo vermelho abaixo.

A posição inicial do círculo menor é dada pelo círculo verde abaixo.

O raio do círculo maior é R, o do círculo menor que roda dentro do círculo maior é r2.

A posição da caneta pode ser descrita por um raio r3, e um ângulo lambda em relação ao centro do círculo menor no início da rotação.

Imagine que o círculo menor rodou um ângulo theta em relação ao círculo maior.

A posição do CENTRO do círculo menor vai ser dada pelas equações da figura – até agora, nenhuma novidade, são equações de um círculo.

A posição inicial do círculo, em verde, mudou, porque girou com o círculo.

O ângulo phi, do deslocamento da posição inicial, é obtido notando que o arco da circunferência maior tem a mesma dimensão do arco da circunferência do círculo menor.

Um arco de circunferência é dado por R*ângulo, onde o ângulo é medido em radianos.

Assim, R*theta = r2*phi.

Ou seja, phi = R*theta / r2.

Se o raio menor r2 for pequeno, phi é maior, ou seja, vai ter que girar mais vezes para chegar ao mesmo ponto.

Agora, finalmente, temos que encontrar a posição da caneta (a bola vermelha). Lembrando, ela estava a um ângulo lambda da posição inicial, e num raio r3.

Portanto, o ângulo até o ponto de tangência entre os dois círculos é (phi – lambda), onde phi = R*theta / r2.

As equações finais têm que levar em consideração a posição inicial do círculo maior, o centro do círculo menor, e a rotação descrita acima.

X = x0 + (R-r2)*Math.sin(theta)-r3*Math.sin(theta*R/r2 - phi));

Y = y0 + (R-r2)*Math.cos(theta)-r3*Math.cos(theta*R/r2 - phi));

Fiz a implementação utilizando a excelente biblioteca D3 de Javascript.

Para o raio maior, utilizei o valor arbitrário de 200. Os outros parâmetros são o raio menor (r2), a posição da caneta (r3) e o número de voltas que o círculo menor dá em torno do maior.

Seguem alguns resultados.

Com os parâmetros descritos, e 1 volta.

2 voltas:

Chega uma hora que não adianta mais dar voltas, que elas coincidem na mesma trajetória.

Outros exemplos:

Nota: o ângulo lambda foi desprezado, no final das contas, porque apenas desloca um pouco o ângulo, sem mudar o formato da figura.

Vide a implementação citada aqui: https://asgunzi.github.io/Espirografos/.

A dança das estrelas

As curvas desenhadas acima lembram as curvas que os planetas fazem no céu, vistos da Terra.

When the motion of the planets are charted as their so called ...

Imagine que a Terra é o círculo menor, girando ao redor do Sol, o círculo maior. A Terra também gira em torno de si mesma. Agora, um outro planeta, Vênus, também gira ao redor do Sol numa velocidade diferente.

Certamente, a equação dos planetas é muito mais complexa: é em três dimensões, as órbitas são elípticas, e o outro planeta gira em torno do Sol também. Porém, a ideia geral é mais ou menos semelhante: uma composição de rotações em torno de rotações de rotações, ora fazendo a posição aparente ir para frente, ora para trás, numa eterna dança celestial…

Trilha sonora: O segundo sol, Cássia Eller

“Quando o segundo sol chegar, para realinhar as órbitas dos planetas…”

Vide também:

https://ideiasesquecidas.com/2015/03/03/a-danca-de-afrodite/

https://ideiasesquecidas.com/2017/07/05/plutao-e-a-falacia-narrativa/

Como criar um quadrado mágico de qualquer tamanho

Quadrados mágicos são números arranjados numa grade, de tal forma que a soma das linhas, colunas e diagonais seja igual.

A questão de como criar diversos tipos de quadrados mágicos vem intrigado os matemáticos há séculos.

Magic Squares - history of chinese math squares as in book "The ...

Veremos neste tutorial, como criar um quadrado mágico de qualquer tamanho. Implementação em VBA e em Python disponível no Github.

Há três casos diferentes:

– quadrados mágicos ímpares,

– do tipo 4*n

– do tipo 4*n+2

Para cada caso, há um algoritmo diferente.


Caso 1: Quadrados mágicos ímpares

São os que têm número de lado ímpar (3, 5, 7, etc).

Começar colocando o 1 na célula superior do meio. Andar uma casa para a esquerda e uma para cima, para colocar o próximo número. Como o tabuleiro acaba, é como se ele desse a volta e colocasse o número no canto inferior.

Ir repetindo o passo acima, do número 2 para o 3.

Quando a casa em questão já estiver ocupada, como no caso abaixo,

… colocar o próximo número imediatamente abaixo da casa de referência.

Isso é suficiente para gerar qualquer quadrado mágico ímpar.

Ex. quadrado mágico 3×3:

Obs. Devido à simetria, tanto faz ir para a direita ou para a esquerda, no primeiro passo acima.

Padrão de cores: mais claro -> número maior, mais escuro, número menor.

Ex. Quadrado mágico 15×15:


Caso 2: Quadrados de ordem 4*n

Ou seja, quadrados de lado 4, 8, 12, 16, etc.

Colocar os números de 1 a 16 sequencialmente na grade.

Apagar os números da diagonal principal e da diagonal secundária:

Agora, imagine o grid preenchido sequencialmente, mas na ordem inversa:

Neste grid inverso, apagar todos os números que NÃO são das diagonais principal e secundária.

Juntar ambos os quadrados semi-preenchidos, e voilá, temos um quadrado mágico!

Para ordem 8, 12, é similar. É só imaginar um quadrado 8×8 sendo dividido em 4 quadrados 4×4, e para cada quadrado 4×4, aplicar o padrão acima.


Caso 3: Ordem 4*n+2

São quadrados com casas 6, 10, 14, etc, em que os algoritmos acima não funcionam.

Este caso é mais complicado.

A regra utilizada aqui é a LUX, desenvolvida por John Conway (o mesmo do Jogo da Vida).

Dividir o quadrado em grupos de quadrados 2×2.

Exemplo, um quadrado 6×6 pode ser visto como um grupo de 3×3 quadrados 2×2.

Para o grupo de quadrados, dividir assim:

  • Até a metade de linhas L
  • 1 linha de U
  • O restante de X

No exemplo de lado 6, não “cabe” a linha X, mas para casos maiores, sim.

Depois, inverter o L central com o U abaixo:

Note que o grupo de quadrados torna-se um quadrado de ordem ímpar (o primeiro algoritmo descrito).

L, U e X referem-se à padrões de preenchimento:

Portanto, o algoritmo é:

– A ordem de preenchimento é como no caso ímpar, para grupos de quadrados 2×2

– Dentro do quadrado 2×2, usar a regra LUX correspondente ao quadrado.

Exemplo: cubo 6×6

No exemplo acima, começo com 1 no meio na linha superior, que é padrão L:

O próximo número é 5, e o local dele é à direita e acima, conforme o algoritmo de lado ímpar. Esta casa corresponde ao padrão U.

O próximo número é o 9, à direita e acima. Agora, é o padrão L.

E assim sucessivamente.

Ex. Quadrado 10×10.

Utilizando os três algoritmos acima, é possível criar quadrados mágicos de qualquer tamanho, digamos 1000 x 1000.

Implementação em D3: https://asgunzi.github.io/QuadradoMagicoD3/index.html

Implementação em VBA e em Python disponível no Github.

Links:

https://en.wikipedia.org/wiki/Conway%27s_LUX_method_for_magic_squares

https://en.wikipedia.org/wiki/Siamese_method

https://ideiasesquecidas.com/laboratorio-de-matematica/

https://ideiasesquecidas.com/2016/03/09/quadrados-magicos-impares/

O Jogo da Vida

O matemático John Conway faleceu na semana passada, vítima do Coronavírus.

Ele foi o criador do “Jogo da Vida”, o primeiro exemplo de autômato celular. É bastante interessante e lúdico.

O jogo faz a seguinte análise:

  1. Qualquer célula viva com menos de dois vizinhos vivos morre de solidão.
  2. Qualquer célula viva com mais de três vizinhos vivos morre de superpopulação.
  3. Qualquer célula morta com exatamente três vizinhos vivos se torna uma célula viva.
  4. Qualquer célula viva com dois ou três vizinhos vivos continua no mesmo estado para a próxima geração.

Um pouco da história

O conceito de autômato celular foi criado pela genial dupla John Von Neumann e Stanislaw Ulam, durante o Projeto Manhattan, que criou a primeira bomba atômica. Von Neumann tinha interesse em entender organismos autorreplicáveis.

John Conway inventou o Jogo da Vida enquanto um estudante de graduação. Ele gostava de jogos, e já tinha dominado vários quando quis criar um novo. Ele se inspirou nos trabalhos de Neumann e Ulam.

Ele fazia simulações num tabuleiro de Go, aquele jogo oriental que tem um tabuleiro de 19 x 19 quadrados e peças pretas e brancas, numa época que não tinha computador.

Dependendo das regras, a população pode explodir para a superpopulação, ou para a extinção total.

As regras do jogo acima foram cuidadosamente escolhidas, para entrar em equilíbrio. Rodando várias iterações, começam a surgir alguns padrões.

O Jogo da Vida ficou famoso em 1970, após artigo de Martin Gardner na Scientific American. Gardner é um dos maiores divulgadores de puzzles de todos os tempos (tenho uns 5 livros dele), e Conway enviava cartas frequentemente para contribuir.

Anos depois, em 2002, o matemático Stephen Wolfram (do Wolfram Alpha) publicou um estudo detalhado de autômatos celulares em geral, com classificação de tipos, regras, etc.

Esta técnica pode ter utilidade em diversas áreas do conhecimento: modelos biológicos, economia, etc. Inclusive, há alguns modelos de transmissão de Coronavírus baseados em autômato celular.

Em homenagem a Conway, fiz duas implementações do Jogo da Vida. Uma em Python e outra em Excel. É um bom exercício, para um nível intermediário de programação. Seguem alguns estudos.

Vide links a seguir.

https://github.com/asgunzi/JogodaVidaExcel

https://github.com/asgunzi/JogoVidaPython

https://mathworld.wolfram.com/CellularAutomaton.html

https://guiadoestudante.abril.com.br/estudo/conheca-john-conway-o-matematico-que-criou-o-jogo-da-vida

https://en.wikipedia.org/wiki/Cellular_automaton

https://mathworld.wolfram.com/ElementaryCellularAutomaton.html