Árvores Fractais

Escrevi uma rotinazinha para desenhar fractais em formato de árvore.

Vide em: https://asgunzi.github.io/ArvoreFractal/arvores.html

A cada vez que rodar, uma árvore com parâmetros diferentes será gerada.

Um fractal é uma estrutura matemática com padrões repetidos em escala menor no desenho todo.

Como é uma estrutura autossimilar, é só fazer um código recursivo, relativamente simples. Portanto, é possível criar uma forma de enorme complexidade a partir de regras simples.

No caso da árvore, o padrão é: inicie com um aresta qualquer. Ao final dela, acrescente três arestas com metade do raio, separadas entre elas em 30 graus.

Ao final de cada uma dessas três arestas (ou galhos) novos, acrescente mais três galhos.

E assim sucessivamente:

Há uma quantidade infindável de fractais possíveis de serem feitos dessa forma – só me falta criatividade para fazer algo mais bonito.

Há inúmeros padrões fractais na natureza. Como uma planta “sabe” a programação para virar uma forma de enorme complexidade, como um brócolis? A resposta é que ela não sabe, apenas vai seguindo padrões simples e autossimilares, até chegar ao formato final.

Veja também:

https://ideiasesquecidas.com/2018/09/11/cardioides-circulares

A Espiral de Ulam

A Espiral de Ulam é uma outra de representação dos números primos, estudada pelo brilhante matemático Stanislaw Ulam.

Eu não conhecia essa espiral, foi o amigo Sinésio Barberini que me indicou, após o artigo anterior, a “Colmeia dos Primos”.

A espiral começa com o número 1, e depois vai preenchendo os demais números, seguindo um padrão espiral.

Da mesma forma que a colmeia, pintamos de cinza os números compostos, e de dourado os números primos, imaginando uma peneira passando a luz do sol.

Vide implementação interativa em:

https://asgunzi.github.io/Espiral-de-Ulam/EspiralUlam.html

Alguns prints:

Espiral de Ulam com 5,7 mil números.

Espiral de Ulam com 10 mil números.

É possível notar algumas diagonais no desenho – mas não explicar. Este é um dos mistérios levantados por Ulam, na época, e popularizados pelo grande colunista de puzzles Martin Gardner.


Nota aleatória: Stanislaw Ulam foi um dos criadores do método conhecido como Simulação de Monte Carlo, juntamente com John Von Neumann, na época da Segunda Grande Guerra.







Veja artigos semelhantes e me siga no LinkedIn:
https://www.linkedin.com/in/arnaldogunzi/

https://clube.spm.pt/news/vida-obra-de-stanislaw-ulam

https://en.wikipedia.org/wiki/Ulam_spiral

https://ideiasesquecidas.com/2022/04/22/a-colmeia-dos-numeros-primos

A Colmeia dos Números Primos

Que tal representar números primos numa grid hexagonal, como se fosse uma colmeia?

A ideia é começar de um ponto central, seguindo uma numeração a partir de camadas. Para números compostos, deixar a célula cinza; para números primos, deixar dourado (como se fosse a luz do sol passando por uma peneira, e só há buraco onde o número da casa é primo.

Para 2 camadas, fica assim:

Para 3 camadas:

Fiz uma rotina em Javascript D3, para ficar interativo. Você pode conferir aqui.

https://asgunzi.github.io/Colmeia-Primos/ColmeiaPrimos.html

Para 4 camadas:

Para 7 camadas:

Conforme comentado em post anterior, não parece haver um padrão muito claro – e essa falta de padrão dos primos vem atormentando os matemáticos há milênios!

Para 25 camadas:

Para 50 camadas:

Veja artigos semelhantes e me siga no LinkedIn:

https://www.linkedin.com/in/arnaldogunzi/

Visualização do Crivo de Erastótenes

O crivo de Erastótenes continua sendo uma forma bastante eficiente de encontrar números primos, embora atualmente existam métodos melhores. Foi criado pelo matemático grego Erastótenes, que viveu cerca de 200 a.C.

A ideia é bastante simples.

Digamos, tenho uma lista de números de 1 a 20:
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]

Pulo o 1, porque este divide todo mundo e até hoje há controvérsias se este deve ou não ser primo.

O próximo é o 2: e aí, risco todo mundo que é divisível por 2, daí para frente:
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]

O próximo não riscado é o 3: repito o procedimento e elimino todos os múltiplos de 3:

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]

Repito o processo até o fim, (ou melhor, até raiz(n)), e fico com a lista de números primos até n:

[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19]

O termo “crivo” é um sinônimo de “peneira”, e daí vem a ideia desta visualização. Eu queria ver o crivo como se fosse uma peneira mesmo: passa luz nos números primos, e não passa nos compostos.

Para tal, fiz uma rotinazinha em Javascript – D3, que pode ser acessada aqui:

https://asgunzi.github.io/CrivoErastotenesVisual/Index.html

Por exemplo, para n = 100 (um quadrado 10 x 10):

Destacando os primos:

[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

Para n= 400 (20 x 20):

Para n= 900 (30 x 30):

Não sei bem se isso se parece um QR code dos números primos…

Algo a notar é que há várias colunas vazias (ex. as que são múltiplas de 2), enquanto as que terminam com 1, 3, 7 e 9 são mais cheias. Mas não tem um padrão muito claro – e essa falta de padrão dos primos vem atormentando os matemáticos há milênios!

Veja também:

https://asgunzi.github.io/CrivoErastotenesVisual/Index.html

Máximo Divisor Comum – Visual (2)

Continuando a série de Teoria dos Números Visual, MDC parte 2.

Teorema. Para a, b e x inteiros, temos (a,b) = (a, b+ ax)

O máximo divisor de comum de dois números a e b é igual ao MDC entre a e b +a*x.

Exemplo: (3, 15) = (3, 15 + 4*3)

A prova visual também é fácil quando conseguirmos enxergar o que acontece, via a álgebra de pedrinhas.

Vendo como o MDC como o número de colunas, e os números a ou b como blocos, posso multiplicar à vontade esses blocos e somar, que o MDC vai continuar igual.

(Continua)

Para uma prova mais formal, vide referência abaixo.

Referência: Introdução à Teoria dos Números, José Plínio de Oliveira Santos, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada.

Veja também:

Como resolver o cubo spinner

O “cubo spinner” é a mais nova aquisição para minha coleção de cubos mágicos (vide https://ideiasesquecidas.com/cubos-magicos/).

É um hand spinner, daqueles que ficam girando e foram moda anos atrás, e um cubo 3 x 3 com uma camada só.

Não sei quem teve essa ideia, mas eu gostei.

A resolução do cubo spinner é muito simples.

Tem apenas 4 movimentos possíveis: R (right), L (left), U (upper) e D (down).

Vou ilustrar apenas o R, porque os outros são semelhantes.

É importante notar que as peças do lado apenas ficam viradas para cima ou para baixo, não trocam de posição com outras peças.
Neste tipo de puzzle, é sempre bom identificar quais as peças mais invariantes possíveis, e começar por elas.

Já as peças de canto trocam de posição entre si, a cada movimento.

O movimento (RU)^2 (direita e depois a posição superior, repetido duas vezes), tem o efeito de: não alterar as peças de lado, e trocas as peças de canto segundo a configuração abaixo.

Portanto, a partir de um arranjo qualquer do cubo:
– Vire as peças de lado para a posição correta (todas de branco ou amarelo)

– Use movimentos (RU)^2 (ou similar, LU, RD), para acertar um dos cantos

– Coloque a peça acertada no canto inferior esquerdo, que não é afetado pelo movimento RU

– Aplique o movimento (RU)^2 até resolver o cubo.

O cubo spinner é divertido, porque junta dois brinquedos lúdicos e simples de resolver.

Link da Amazon:
https://amzn.to/3JMIjyy

Vide também:

O Canguru da Matemática

No último sábado, a minha filha mais velha fez a prova Canguru de Matemática. Eu não conhecia e achei a iniciativa excelente.

É basicamente uma provinha, tipo uma Olímpiadas de Matemática para jovens do ensino fundamental e médio, feita anualmente.

O site do programa, abaixo, é muito bom, e contém inclusive as provas passadas, para os diversos níveis em que ela é aplicada. Faço questão de divulgar:

https://www.cangurudematematicabrasil.com.br/index.html

Segundo o site, o Canguru de Matemática é o maior concurso internacional do tipo, e no Brasil, começou em 2009.

Segue um exemplo de questão, de uma das provinhas do ano passado, só para ilustrar.

Parabéns aos organizadores pela iniciativa! Que surjam inúmeros cangurus matemáticos no Brasil e no mundo!

Veja também:

Prova visual soma 1/4 + (1/4)^2 + …

Segue uma bela prova visual da série 1/4 + (1/4)^2 + (1/4)^3 + …

Vamos dividir um triângulo em 4:

O triângulo interior (em branco) tem 1/4 da área do triângulo.

Aplicando a mesma técnica no primeiro triângulo, agora o interior em branco soma mais 1/4 de 1/4.

E assim sucessivamente.

Portanto, a soma da série infinita equivale a 1/3 da área original do triângulo.

Para quem quiser downloadar a rotina, foi feita em Excel VBA: https://1drv.ms/x/s!Aumr1P3FaK7joBrTIUJJGgUugkFa

A inspiração desta prova foi a bela capa do livro “Proof without words II”, de Roger Nelsen:

Veja também:

Conhece algum gênio na área de Advanced Analytics / Data Science?

Alguém apaixonado por números e por aplicações na vida real?
Divulgue esta vaga para ele!

A gigante Klabin S.A., do setor de papel e celulose, está montando um time de altíssimo nível para os enormes desafios de otimização combinatória, simulação de eventos discretos, inteligência artificial, data science e temas correlatos, tanto na indústria quanto na área florestal.

Procuramos alguém com imensa vontade de implementar modelos na prática, agregar valor de verdade, devorar livros e liderar esta revolução que está chegando!

(É uma vaga diretamente no time que gerencio).

Link:

https://www.linkedin.com/jobs/view/2954724699/?refId=54Up20t6Ro%2B9IToUtwhmlg%3D%3D

Projeto Euler

Uma dica para quem quer aprender alguma linguagem de programação + matemática: o Projeto Euler.

https://projecteuler.net/

Este contém 788 problemas a serem resolvidos, em ordem crescente de dificuldade.

O próximo desafio só é liberado após resolver o atual.

Usuário deve fazer cadastro para acessar, e é gratuito.

Exemplo, essa aqui é a primeira tarefa:

“If we list all the natural numbers below 10 that are multiples of 3 or 5, we get 3, 5, 6 and 9. The sum of these multiples is 23.

Find the sum of all the multiples of 3 or 5 below 1000″

No caso acima, há uma abordagem ingênua (testar todo mundo, força bruta), e também algumas mais elaboradas (testar múltiplos de 3 e 5 e tomar cuidado quando o número é múltiplo de ambos).

Eles pedem para não divulgar soluções, que são como spoilers de filmes, estragam toda a brincadeira.

Tem um fórum de discussão para cada problema, a fim de ajudar quem está com dificuldades.

Qualquer linguagem de programação pode ser utilizada – você só informa a resposta e vê se acertou ou não.

O nome do site é em homenagem ao grande matemático suíço Leonhard Euler, que viveu cerca de 200 anos atrás. Foi o mais prolífico dos matemáticos, escrevendo teoremas variando desde grafos até números complexos. Em um determinado momento de sua vida, Euler perdeu totalmente a visão, porém continuava enxergando com sua mente: ele ditava os teoremas e cálculos de sua cabeça para os auxiliares redigirem artigos.

E haja artigos. Euler tem 850 publicações, compilados em 92 livros!

Veja também:

Provas visuais sobre soma de 4 e 5 inteiros consecutivos

Em post anterior (abaixo), foi mostrado um resultado simples, e que fica bem ilustrado utilizando a “Álgebra de pedrinhas”.

É simples estender o mesmo raciocínio, para provar resultados sobre somas consecutivas de outros números.

A soma de 4 números inteiros consecutivos tem resto 2

Note o padrão: entre 4 inteiros consecutivos, um deles será divísivel por 4, outros terão restos 1, 2 e 3.

A soma deles terá resto (1 + 2 + 3) mod 4 = 2. É como somar as pedrinhas brancas do diagrama acima: vai completar uma linha, e sobrar 2 para a próxima linha.

Ex. 3+4+5+6 = 18

18 = 4*4 + 2, portanto, 18 = 2 mod 4

A soma de 5 números inteiros consecutivos tem resto 0

Mesmo raciocínio. Entre 5 inteiros consecutivos, um deles será divisível por 5, outros terão resto de 1 a 4.

Somando os restos 1, 2, 3 e 4, dá 10, o que é divisível por 5. É como se a bolinha branca unitária se juntasse à de 4 unidades, fechando uma linha completa, e o mesmo com a de 2 e 3. Todas as 5 colunas estariam ocupadas, sem sobrar nenhuma bolinha.

Ex. 7+8+9+10+11 = 45, divisível por 5.

9+10+11+12+13=55, divisível por 5.

A mesma estrutura pode ser utilizada para provar resultados para soma de 6 números consecutivos, 7, etc…

Veja também:

https://forgottenmath.home.blog/2019/01/28/algebra-de-pedrinhas/

Prova visual de que a soma de três números consecutivos é divisível por 3

Esta é uma prova bem simples de visualizar, utilizando a “álgebra de pedrinhas”.

Dados três números consecutivos, um deles vai ser divisível por 3, outro vai deixar resto 1 e o terceiro vai deixar resto 2. A soma deles será divisível por 3.

Veja também: