Isomorfismo em cubos mágicos

On 20 de julho de 201620 de julho de 2016 por Arnaldo Gunziem ForgottenMathDeixe um comentário

Isomorfismo é uma palavra difícil para dizer que duas coisas são iguais, apesar de não parecerem à primeira vista.

Isto é importante porque, se identificarmos isomorfismos, podemos aplicar soluções já conhecidas a novos problemas.

O cubo mágico normal é assim: 3 x 3 x 3. 6 lados, cada lado com uma cor. Movimentos nos eixos Vertical, Horizontal e Lateral.

Este cubo estranho, que ganhei de presente do meu amigo Didiel Peça, pode parecer diferente:

Mas olha só as semelhanças: 3 x 3 x 3. 6 lados, cada lado com uma cor. Movimentos nos eixos Vertical, Horizontal e Lateral. Se cada bolinha for equivalente a um cubículo, o método de resolução é exatamente o mesmo.

O movimento RD aplicado a ambos demonstra a semelhança.

O cubo maçã é exatamente a mesma coisa. 3 x 3 x 3. 6 lados, cada lado com uma cor. Movimentos nos eixos Vertical, Horizontal e Lateral.

O cubo estrela também é isomorfo ao cubo normal. Esta só tem uma diferença: a peça do meio tem orientação, ao passo que a no cubo comum a peça central é neutra.

Movimento RD aplicado a ambos:

O cubo assimétrico também é isomorfo, apesar de ser uma pouco mais difícil de enxergar.

Ao invés de cores, o que muda são as formas: um pouco mais estreito ou comprido em cada dimensão. Mas cada cubículo tem exatamente o seu lugar e orientação no cubo resolvido.

Movimento RD aplicado ao cubo assimétrico. Aqui o desafio é saber qual a posição correta a que cada peça corresponde, e aplicar os mesmos algoritmos do cubo normal.

Todos os cubos apresentados são iguais, ou isomorfos.

Não é necessário reinventar a roda. Basta reconhecer onde há uma roda.

Arnaldo Gunzi
Outros cubos:

X-Cube – Introdução

Como resolver o dodecaedro mágico? – Introdução

Poliedros mágicos

Brinquedo Novo

On 9 de junho de 2016 por Arnaldo Gunziem ForgottenMathDeixe um comentário

O cubo 7x7x7 é muito legal,

Dá para criar alguns padrões bem bonitos.

Outros padrões:

Dá muito trabalho escrever a metologia de solução, mas um dia vou fazê-lo.

Dá até para escrever nele!

Obs. Nota-se que não sou muito bom em fotos. Se alguém quiser me ajudar, agradeço,

Arnaldo.

Cubo X – Montar a base

On 5 de fevereiro de 201629 de junho de 2016 por Arnaldo Gunziem ForgottenMathDeixe um comentário

Conforme os posts anteriores, o Cubo X foi montado no formato em X e com as camadas de topo e laterais prontas.

Para resolver a base, serão as seguintes etapas:

A – Virar todos os amarelos para cima

B – Resolver um dos lados externos

C – Resolver problemas de paridade e finalizar

É necessário apresentar alguns algoritmos para permitir trabalhar na base. Estes estão apresentados no final deste post.

Parte A – Virar todos os amarelos para cima

Pode-se ter 2, 4, 6 ou mais peças de canto que não estão virados para cima, mas sempre em pares.

Peças a serem giradas para ficar com o lado amarelo par acima

A ideia é posicionar as peças a serem viradas, via movimentos Translado 12 e 23.

Se tiver 2 peças, colocar elas juntas, no canto inferior esquerdo conforme figura, e aplicar o movimento rotação de cantos.

Se tiver 4 peças, colocar assim e aplicar o X paralelo.

Para virar as 4 peças com o amarelo para cima, aplicar o X paralelo

Ou utilizar uma combinação do movimento X2, X paralelo e rotação, para posicionar / girar as peças.

Chega-se numa configuração como a seguinte.

Passo B

Uma vez que todas as peças estão com o lado amarelo para cima, a ideia é arrumar tudo sem desarrumar esta orientação.

Via movimentos de Translado 12 e 23, sempre é possível arrumar pelo menos uma das bandas. Na foto a seguir, a banda laranja está arrumada, faltando arrumar as demais.

Passo C

O caso principal é quando os movimentos de Translado 12 e 23, conseguem resolver o resto do cubo X.

Mas podem haver problemas de paridade.

Vou descrever as principais situações.

Duas peças de edge opostas. Aplicar três vezes o movimento X2.

Duas bandas opostas. Aplicar o movimento de troca de bandas opostas.

Paridade trocada. Este é o caso mais chato. É quando fica assim:

Paridade trocada: nem os movimentos de translado, nem as trocas de banda ou edge resolvem

Solução: aplicar o movimento de acerto de paridade, que vai dar uma bagunçada nas peças amarelas para cima. Mas basta aplicar novamente as técnicas acima para transladar e arrumar as peças, que a paridade agora está certa.

E eis que o Cubo X está resolvido. Não é tão difícil assim.

Algoritmos utilizados

Movimento Translado 12

Movimento Translado 23

Movimento X2

Movimento X2 aplicado três vezes: Troca edges laterais

Movimento X paralelo

Movimento rotação de cantos

Movimento Troca banda fácil (tem a desvantagem de inverter um edge lateral, obrigando a fazer dois desses movimentos para conservar a paridade. Mas é muito útil).

Movimento troca bandas opostas

Movimento acerto paridade

Troca edges do Meio

Movimento troca cantos x 5

Se aplicar 5 vezes o movimento troca canto, acontece de girar três edges centrais:

Conclusão

Há vários métodos possíveis de resolver o Cubo X ou qualquer outro puzzle desta natureza.

O que há em comum entre os métodos é que estes são divididos em sub métodos e sub etapas, possíveis de serem entendidas por um ser humano. Por exemplo, no cubo X, primeiro arrumar o formato, depois resolver a camada de cima, do meio e a de baixo.

O segredo é descobrir métodos invariantes, que mudam alguma coisa sem mudar outras. Reconhecer e discernir padrões. Dividir para conquistar.

Desta forma, algo muito complexo pode ser quebrado em etapas muito simples, e o impossível será possível.

Fim.

Arnaldo Gunzi

Fev. 2016

Vide também

Poliedros mágicos

Cubo-X

Dodecaedro mágico

Próximo desafio:

Dodecaedro truncado – Tuttminx

Cubo X – Topo e laterais externas

On 1 de fevereiro de 2016 por Arnaldo Gunziem ForgottenMathDeixe um comentário

No último capítulo do tutorial do X-Cube, chegamos ao cubo no formato em X.

Anteriormente, foram apresentados a Introdução, Dissecação e Notação:

A ideia aqui é montar o cubo externo sem desmontar o formato em X. Primeiro, montar o topo e a lateral, e a seguir a base.

Parte A – Montar o topo

Na verdade, montar o topo do cubo externo não é um grande desafio. Basta fazer os movimentos r, l, f e b combinados com a movimentação da última e/ou penúltima camadas. Fica como exercício para o leitor.

O cubo com o topo montado fica assim.

Parte B: Montar a lateral

A ideia agora é montar a lateral externa sem desmontar o formato em X nem desmontar o topo.

Para tal, pode-se utilizar o “algoritmo lateral”, descrito a seguir.

Ele coloca a peça de edge do lado de trás na lateral. As peças pintadas de cinza não interessam, neste momento.

Lembre-se da Notação em que a letra em minúsculo refere-se ao cubo externo, e a letra em maiúsculo ao cubo interno.

O irmão gêmeo simétrico é o movimento lateral à esquerda:

Arrumando as laterais, fica assim:

Basta aplicar sucessivamente este método, para todas as 8 peças laterais do
cubo X.

(Visão oposta do X-Cube)

Com isso, quase todo o cubo estará resolvido. Mas, por este método em camadas, a encrenca fica para o final: montar a base (a camada amarela). Isto fica para o próximo Post.

Arnaldo Gunzi

Fev 2016

Bônus: Padrãozinho legal

Resolvendo o Cubo X interno

On 25 de janeiro de 2016 por Arnaldo Gunziem ForgottenMath2 Comentários

Introdução

Continuando os posts anteriores, Introdução, “Dissecação” e Notação, a próxima etapa é a de colocar o X-Cube no formato original, sem se preocupar com as extensões do cubo externo.

Para isto, basta notar que o Cubo interno do Cubo X é igual ao cubo de Rubik 3x3x3. Só que, ao invés de olhar para as cores, vamos olhar para o formato das peças.

Basta entender a configuração das peças para tal. Vamos considerar as peças de canto como uma peça em “L”, contando as duas extensões dos dois lados adjacentes.

As peças do meio mais a extensão são um “I”.

As peças centrais são fixas.

Procedimento

Começar com um cubo embaralhado.

1 – Resolver o topo de uma das cores amarelo ou branca

Pode-se começar fazendo a tradicional cruz (no caso, amarela).

Depois completa-se o topo do cubo. Sempre é possível chegar a esta configuração, e é fácil, para quem conhece o cubo de Rubik normal.

Visão oposta do cubo

2 – Resolver a lateral

Consiste em utilizar a mesma técnica para preencher a lateral correta do Cubo de Rubik. Apenas deve-se notar que a peça em L deve estar na lateral, no lugar da peça em I.

Eu costumo usar o movimento (R’D) (RD) (R’D2) (RD’) (R’D’) (R) para preencher a lateral. Mas pode-se utilizar qualquer algoritmo que preencha as laterais.

Fazer o mesmo movimento para os quatro lados, desta forma arrumando a primeira e a segunda camada.

Imagem: primeira e segunda camadas corretas.

3 – Resolver a Base

Novamente, deve-se utilizar os mesmos algoritmos do cubo de Rubik. Um para rotacionar os cantos, as peças em L. E outro para rotacionar e transladar as peças em I.

Para rotacionar os cantos, eu conto quantos giros de 90 graus devem ser dados. O movimento (R’D) (RD) (R’D2) (R) rotaciona três dos lados.

Com as peças de canto corretas, deve-se atacar as peças em I sem modificar as peças em L. Para posicionar as peças em I, uso dois algoritmos (e variantes simétricas no sentido oposto).

Algoritmo 1: (RL’) (FR’) (LD2)(RL’) (FR’L)

Algoritmo 2: (FL) (B’L’) (BF’) (DB) (D’B’)

Pode-se utilizar o método preferido do cubo de Rubik para colocar o formato em X. Basta saber reconhecer o padrão de peças em “L” e em “I” e posicioná-los corretamente.

A aplicação destes métodos é suficiente para acertar o formato do cubo.

Há um caso bizarro de paridade que merece ser mostrado. As vezes, acontece algo assim: somente uma peça “I” errada.

Para consertar a paridade, basta trocar o sentido de algum dos cubos laterais e rearrumar o cubo.

Como eu disse, para resolver o Cubo X é necessário saber o cubo de Rubik, senão não tem como começar. Caso haja dificuldade em algum dos movimentos descritos, há vários tutoriais na internet que explicam o cubo de Rubik normal.

Então, este foi o primeiro passo: Colocar o cubo no formato de X, alinhando o cubo interno, com movimentos idênticos ao do Rubik 3x3x3.

Nos próximos posts, serão apresentados métodos para arrumar o cubo externo.

Bônus: um padrãozinho legal:

Basta fazer

(RL’ FB’ UD’ RL’)

(R’L UD’ FB’ R’L)

X-Cube – Metodologia Geral e Notação

On 22 de janeiro de 201623 de janeiro de 2016 por Arnaldo Gunziem ForgottenMath3 Comentários

Continuando os posts sobre o Cubo X: Introdução e “Dissecação”.

Primeiro, vamos chamar de “cubo interno” o cubo 3x3x3, sem as extensões dos lados. E vamos chamar de “cubo externo” o cubo com as extensões.

Começando do cubo totalmente embaralhado, por exemplo assim:

O método de solução consiste em:
1 – Colocar o cubo no formato correto

2 – Arrumar o topo e as laterais do cubo externo

3 – Arrumar a base do cubo externo

Cada uma das etapas terá um post detalhado.

Como explicado no Dodecaedro mágico, a ideia é utilizar “padrões invariantes”. São movimentos que mantém igual a maior parte do cubo, alterando apenas uma ou duas faces.

Como é extremamente complexo resolver um cubo desses inteiro, a ideia é ir resolvendo por pedacinhos. Esses pedacinhos são os sub-grupos do grupo maior. No final das contas, resolver qualquer puzzle desses significa analisar e reconhecer padrões, só isso.

Notação para o cubo interno

A notação utilizada é mais ou menos igual ao do cubo normal.

Notação do cubo de Rubik. A diferença é que uso apóstrofe (‘) para indicar a inversa.

O Giro é sempre de 90 graus, no sentido horário.

Notação para o cubo Interno

A notação refere-se aos lados L (Left – Esquerda), R (Right – Direita), U (Upper – Acima), D (Down – Abaixo), F (Front – Frente), B (Back – Trás).
Quando se gira o lado, gira-se junto a “extensão”.

A notação com apóstrofe (‘) significa que o giro é no sentido anti-horário (ex. L’, R’, U’) e um número a seguir significa múltiplos do movimento (ex. R2, L2, F2).
A referência para as fotos abaixo é o lado branco para cima e o vermelho de frente.

L (Left – Esquerda),

Note que um movimento L tira o formato em X, deixando numa configuração esquisita.

L’

R (Right – Direita),

U (Upper – Acima),

D (Down – Abaixo),

F (Front – Frente),

B (Back – Trás).

M (Meio no sentido de L).

S (é o meio no sentido de F).

Notação para o cubo Externo

É a mesma coisa, mas utilizando letras minúsculas. Gira-se somente a extensão.
Para os lados U e D, não existe extensão, então o movimento é o mesmo do cubo interno.

l (Left – Esquerda),

r (Right – Direita),

f (Front – Frente),

b (Back – Trás).

Cuidado para não confundir o movimento do cubo interno com o externo.

Os posts que virão explicarão como resolver o topo e as laterais, e por fim a base do cubo X.

Arnaldo Gunzi

Jan 2016

Bônus:
Um padrãozinho bonito para se fazer com o X-Cube.

Basta fazer (M2 S2).

Dissecando o X-Cube

On 20 de janeiro de 2016 por Arnaldo Gunziem ForgottenMath4 Comentários

Continuando o post anterior sobre o Cubo X, Introdução ao X-Cube, este post mostrará um cubo desmontado.

Não era a minha intenção fazer isso, mas depois de ficar várias horas mexendo, o X-Cube desmontou na minha mão. Aproveitei para documentar. Quem é engenheiro, exatóide, gosta de ficar desmontado coisas para ver como funcionam – mesmo que às vezes não consiga montar de volta.

As peças centrais, que são invariantes aos movimentos, têm uma capinha da cor do lado. Tirando a capinha, aparece o parafuso.

Visão do cubo sem a peça central e sem duas peças adjacentes.

Detalhe da peça central, parafuso e capinha.

Detalhe da peça central encaixada.

Há um eixo central, onde ficam 6 peças parafusadas (uma para cada lado). Isto é exatamente igual ao Cubo de Rubik tradicional, o 3x3x3. O mecanismo é muito parecido, a diferença é que o Cubo X tem uns “extensores” que ligam as peças externas.

Note o mecanismo circular que permite que o mesmo gire.

Todas as demais peças fora do eixo são inter travadas. Não tem parafuso, cola, nada, só o formato os segura (e por isso, se forçar eles se soltam).

Detalhe do cubo X, retirando a primeira camada (branca) inteira.

Peças da primeira camada, a Branca.

As peças têm exatamente o mesmo tamanho do Rubik 3x3x3, certamente é porque os criadores do Cubo-X queriam aproveitar o máximo que podiam do cubo normal.

Cubo X montado.

Uma forma de resolver o Cubo X é assim, desmontando e remontando. Algoritmo Força Bruta total. Mas esse não é um método muito elegante. Não é o espírito da coisa, além de dar um trabalhão.

Os posts que virão futuramente explicarão um método para resolver o Cubo X. A ideia é ajudar o leitor a não ser apenas um seguidor de algoritmos, mas a entender a lógica do que realmente acontece.

Arnaldo Gunzi

Jan 2016

Dodecaedro Parte 5 – Criando o seu próprio método

On 27 de outubro de 20153 de fevereiro de 2016 por Arnaldo Gunziem ForgottenMath3 Comentários

Menu da resolução do Dodecaedro Mágico.

Resolver o dodecaedro seguindo um procedimento é muito legal, mas criar o seu próprio método é muito mais divertido. E estas dicas servem para qualquer outro objeto desafiador correlado: o cubo 3x3x3, 4x4x4, 8x8x8, o Tuttminx, o icosaedro truncado, etc…

Vide alguns destes aparatos possíveis aqui.

O ramo da matemática que engloba objetos como o cubo mágico e o dodecaedro mágico é a Teoria de Grupos.

Estudar Teoria de Grupos não ajuda diretamente a resolver o cubo, mas ajuda a entender os seus limites: calcular número de possibilidades, provar que algumas ideias são impossíveis. Também fornece ideias úteis.

Grupos se referem a padrões simétricos. Tudo o que tem padrão de simetria é um grupo.

E também, os movimentos do cubo são cíclicos, no sentido de que depois de um número suficiente de movimentos iguais, ele volta para onde começou. Por exemplo, o cubo simples.

Exercício 1: Girar o topo do cubo 4 vezes, sentido anti-horário. O cubo acaba na mesma posição inicial.

Exercício 2: Girar o topo do cubo no sentido anti-horário. Depois, o lado direito no sentido anti-horário. Depois topo do cubo no sentido anti-horário. Depois, o lado direito no sentido horário. URUR’ (Upper,Direita,Upper, Direita horário). Faça isto 5 vezes. O cubo deve acabar na mesma posição inicial.

Simulador de Rubik:

http://ruwix.com/online-rubiks-cube-solver-program/

Posição URUR’. Repetindo este mesmo movimento 5 vezes, o cubo vai parar na posição inicial.

Um movimento sempre tem o seu inverso, ou pode-se fazer o mesmo movimento várias vezes até voltar ao início (o complemento do movimento).

A informação mais útil é a de que o dodecaedro é um grupo, mas é formado de sub-grupos. Um sub-grupo está contido num grupo, e ele sozinho tem todas as características de um grupo. Cada face do dodecaedro, por exemplo, é um sub-grupo. A face de topo mais a face adjacente à direita é outro grupo, por exemplo.

Sub grupos

A grande sacada para entender o cubo é mapear padrões de sub-grupos. Como é difícil demais entender o dodecaedro inteiro (12 faces), vamos trabalhar com duas, no máximo três faces ao mesmo tempo, e manter as demais faces imóveis.

Um bom início para entender padrões é analisar alguns sub-grupos específicos. No cubo, mexer o lado direito e esquerdo ao mesmo tempo possibilita padrões bonitos, como o efeito de girar apenas o centro. Outro sub-grupo é o de girar as faces sempre 180 graus, ao invés de 90 graus. Também dá para inventar padrões bonitos.

Padrões invariantes

E o padrão que queremos descobrir não é qualquer padrão, e sim, padrões invariantes. Invariantes no sentido em que mexem alguma coisa de alguma face, mas não mudam nada a segunda ou terceira face afetada pelo movimento de sub-grupo.

Exercício 3: Usando o simulador de dodecaedro Ruwix, fazer o movimento 2 1 2′ 1 2 1′ 1’ 2’. Anotar os resultados.

Note que: foram movimentadas apenas duas faces: 1 e 2. Apesar de bagunçar um monte de coisas, no final das contas apenas a camada do topo ficou mexida, o resto ficou inalterado.

Deve-se guardar o padrão obtido, para poder usar em algum movimento desejado.

Note também o padrão:

2 1 2′ 1 2 1′ 1’ 2’

Começa com 2 e termina com 2’. Depois começa com 1, e o penúltimo é 1’. É mais ou menos um padrão assim: mover, fazer alguma perturbação, depois voltar para a posição com o mínimo de bagunça possível.

Note o padrão: giro uma face, faço uma perturbação, e desgiro. Mudo sem tentar mudar uma das faces. E o resultado deste movimento pode ser útil ou não, ou pode inspirar outros resultados.

Movimentos que já existem no algoritmo do cubo podem ser testados e adaptados ao do dodecaedro. E vice-versa.

Exercício 4: Usando o simulador de dodecaedro Ruwix, fazer o movimento

5 1 5’ 4’ 1’

4 5 1’ 5’ 1

Anotar os resultados.

Este movimento apresentado é o algoritmo X, já descrito anteriormente. Note: movimento que vai e volta, e o padrão apresentado está mapeado para ser utilizado de forma conveniente.

De novo: começa com 5, tem um equivalente 5’ no final. Depois, 1 com 1’, e 4 com 4’. Reconheço o padrão, e tento usar de forma conveniente depois.

De certa forma, resolver o dodecaedro é igual a resolver o cubo e qualquer outro brinquedo diabólico deste tipo. Receita:

1- Inventar uma notação conveniente para não se perder

2- Mexer com sub-grupos de duas ou três faces, a fim de encontrar padrões invariantes

3- Codificar e aplicar os padrões resultantes

4- Ir resolvendo o dodecaedro em camadas, até chegar ao final.

Não é fácil, mas também não é impossível. Perde-se um tempão analisando padrões, brincando com os movimentos. Mas, como todo desafio, a recompensa vem a cada novo passo, e completa-se quando o desafio é resolvido.

Há uma série de outros desafios: o cubo 4x4x4, 5x5x5, a pirâmide, o Tuttminx, o Cubo X.

Para simular os movimentos, é interessante começar do cubo montado, para facilitar o entendimento. É interessante ter um site como o Ruwix para simular os movimentos.

Obviamente, está não é a única metodologia apresentada, nem a melhor. Mas é certamente uma das poucas vezes em que alguém realmente explica como desenvolver o trabalho, ao invés de apenas fornecer algoritmos para serem seguidos.

Nos veremos novamente com o cubo X, ou com algum outro artefato do tipo.

Arnaldo Gunzi

out 2015

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Poliedros mágicos

Cubo-X

Dodecaedro mágico

Poliedros mágicos

On 31 de maio de 20153 de fevereiro de 2016 por Arnaldo Gunziem Criatividade, Curiosidades11 Comentários

Qual a relação entre Platão, o Cubo Mágico e uma bola de futebol?

Poliedros são figuras geométricas em 3D. Poliedros regulares são sólidos em que todos os lados são iguais.

Os gregos antigos gostavam de perfeição, e nada poderia ser mais perfeito que um sólido com lados iguais.

É fácil construir sólidos com lados diferentes, irregulares. Mas sólidos regulares, existem 5 e apenas 5.

Os 5 poliedros regulares são conhecidos como os sólidos de Platão: a pirâmide (4 lados triangulares), o cubo (6 lados quadrados), o octaedro (8 lados triangulares), o dodecaedro (12 lados pentagonais) e o icosaedro (20 lados triangulares). Platão viveu cerca de 400 a. C.

Euclides (cerca de 300 a. C.), no livro Elementos, provou que não existem outros sólidos regulares além destes.

Cubo Mágico

Passados vários séculos, Erno Rubik inventou o cubo mágico, em meados do anos 1970. Um brinquedo extremamente simples para entender, mas diabolicamente difícil de resolver. Há décadas é um dos brinquedos mais famosos e vendidos do mundo.

Mas o cubo não é o único sólido possível de virar mágico. De alguns anos para cá, principalmente com a Internet, é possível haver mercado para todos os sólidos de Platão.

A pirâmide mágica é conhecida como Pyraminx.

Octaedro mágico:

O dodecaedro mágico é o Megaminx.

Vide aqui o método de resolução do Megaminx.

https://ideiasesquecidas.wordpress.com/2015/10/18/como-resolver-o-dodecaedro-magico-introducao/

E o icosaedro mágico não poderia deixar de estar na lista.

Uma pena que os sólidos regulares acabaram.

Sólidos semi-regulares

Mas outro grego, Arquimedes (cerca de 200 a. C.) vem ao auxílio. Ele pegou os 5 sólidos e cortou alguns dos lados, criando 13 sólidos semi-regulares, os sólidos de Arquimedes.

Por exemplo, ao pegar o cubo e truncar os lados, chega-se no “cubo truncado”.

Tem-se também vários poliedros mágicos inspirados nesses poliedros semi-regulares.

Icosaedro Truncado

O mais interessante de todos eles é o icosaedro truncado.

Ao cortar as pontas de cada triângulo, surge um hexágono. E a união dos lados truncados vira um pentágono. Tem-se assim o icosaedro truncado.

A maioria das bolas de futebol é feita exatamente assim: hexágonos e pentágonos costurados, no padrão do icosaedro truncado.

O Icosaedro truncado também é uma estrutura possível do carbono, o C60. O icosaedro truncado também serve de base para projetos de domos geodésicos.

Como não poderia deixar de ser, existe uma versão icosaedro truncado mágico, o belíssimo Tuttminx, com 32 lados, e 150 peças a rearranjar.

Curiosamente, embora um Tuttminx pareça ser ordens de grandeza mais complicado do que o cubo de Rubik normal, na verdade não o é. O Tuttminx é mais trabalhoso, mas não muito mais difícil. A técnica de encontrar soluções é mais ou menos parecida: encontrar “movimentos invariantes”, reconhecer e aplicar padrões. Mas isto é história para um outro post.

Arnaldo Gunzi
Maio 2015

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Dodecaedro mágico

Cubo-X

Links

Pyramin: http://www.aliexpress.com/item/2014-Brand-New-Shengshou-Triangle-Pyramid-Pyraminx-Magic-Cube-Black-Puzzle-Educational-Toy-Special-Toys/1800089897.html

Octahedron: http://www.aliexpress.com/item/2014-Brand-New-LL-8-Axis-Octahedron-Magic-Cube-Black-Puzzle-Educational-Toy-Special-Toys/1800316444.html

Megaminx: http://www.aliexpress.com/item/Neocube-Puzzle-Magic-Cube-New-Year-2015-Christmas-Megaminx-Plastic-Cubo-Magico-Training-Magnetic-Ball-Hot/32236894918.html

Icosahedron: http://www.aliexpress.com/item/MF8-Black-Eitan-s-Star-Icosahedron-Puzzle-Magic-Cube-Puzzle-20-Sided-Speed-Cube-Learning-Education/32273938184.html

Tuttminx: http://www.aliexpress.com/item/Free-shipping-Verypuzzle32-shaft-2-football-magic-cube-tuttminx-football-magic-cube/1335084946.html

	Ricardo Paixao dos S… em Dodecaedro – Parte 2…
	Arnaldo Gunzi em Sérgio Moro prender Lula? Agra…
	Renato Rocha em Três táxis em duas cida…
	Diego Cezana em Três táxis em duas cida…
	Camilla Ribeiro em Muri, Mura, Muda

Forgotten Lore

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