Nunca mais erre uma fórmula: análise dimensional, álgebra e ideogramas

​Análise Dimensional

Um peso mexicano vale 0,17 real. Comprei 1.300 pesos. Quanto gastei em reais?

Há muito tempo atrás, eu me perguntava: a conta seria 1300*0,17 ou 1300/0,17?
A “análise dimensional” resolve facilmente esta dúvida.
Formula1.png
Peso corta com peso, sobrando real.
Se eu fizesse a conta oposta:

Formula2.jpg
O resultado é na unidade peso^2 / reais. Esta unidade não faz o menor sentido, então a fórmula está errada.
A análise dimensional consiste em fazer a conta algébrica com as unidades de medida, “cortando” e multiplicando as unidades.

Conheço esta técnica há tanto tempo que achei que todos a soubessem. Mas, descobri o oposto: a maioria das pessoas não conhece a análise dimensional. É uma técnica tão boa que não posso deixar de divulgá-la neste espaço.

Outro exemplo:

Tenho 20 m2 de área. Em um metro quadrado cabem em média 70 kg de uma material, digamos café. Cada quilo encolhe 10%, por conta de evaporação de água. Vendo o café por R$ 300 o saco de 5 Kg. Quanto será a receita esperada para a minha área?

Pela análise dimensional, é só montar a equação de forma a fazer todos os intermediários se cortarem:

Formula3.jpg


Álgebra x Aritmética
Qual a diferença entre Álgebra e Aritmética?
Em álgebra a gente faz a conta com letras, ou seja, de forma genérica: ax^2+bx+c = y

Em aritmética, a conta é numérica: 5*7^2 + 8*7-10 = 291.

Portanto, a aritmética estuda as regrinhas com as quais a gente faz as contas, enquanto a álgebra trata regras mais abstratas.


Algebrizando ideias não algébricas

Aproveitando o post algébrico, que tal inventar umas fórmulas?

Digamos que felicidade seja diretamente proporcional à saúde e à harmonia e inversamente proporcional ao stress.

Poderíamos escrever

Felicidade = saúde * harmonia – stress

Ou

Felicidade = saúde * harmonia /stress

Ou

Felicidade = saúde + harmonia – stress

Ou alguma outra combinação dessas. Qual a fórmula que melhor descreve a relação entre variáveis?

Quando usamos “vezes”, é como se fosse um conectivo lógico “e”. Se um dos campos zera, o resultado final é zero.

Com zero saúde minha felicidade cai a zero, não há harmonia que compense, e vice-versa.
Já quando usamos “mais”, as coisas se somam, e o excesso de um compensa o outro – equivale ao conector lógico “ou”.

Se a felicidade da saúde e harmonia for menor do que a infelicidade causada pelo stress, ainda assim estou um pouco feliz.

Portanto, por este raciocínio, a fórmula seria:

Felicidade = saúde * harmonia – stress

Isto é apenas um exercício de interpretação de fórmulas, mas note que felicidade é independente de dinheiro.


Bom em chinês

O ideograma (hanzi) chinês para “bom” é quase uma fórmula. É um ideograma formado por outros hanzi: o de mulher e de filho. Bom é ser casado e ter família.

 

Sábias palavras…

Negativo X Negativo = Positivo. Por quê?

No ensino fundamental, me ensinaram que -1 * -1 = +1, negativo vezes negativo dá positivo. Ninguém me explicou o motivo, o máximo que tinha era uma tabela assim:

TabelaAmigo.JPG

Digamos que o meu inimigo seja o Corinthians. E o Corinthians pega o Tolima na Libertadores. Então, vou torcer para o Tolima.

A analogia é falha. E se o Corinthians jogar contra o Palmeiras e o Palmeiras também for meu inimigo? Por que não posso dizer que negativo vezes negativo é negativo?

O post tem duas partes.

1 – A interpretação de -1 * -1 = =1

2 – O que aconteceria se -1 * -1 = -1

Parte 1
1.1 – Significado de negativo
Os números ajudam a contar as grandezas existentes no mundo: 1 carneiro, 5 pessoas, João empresta 10 reais a Alfredo.
A linha dos números Naturais é assim:
Reta1.JPG
Com o tempo, as pessoas viram a necessidade de criar números negativos: estou devendo 2 carneiros, faltam 5 pessoas para fechar o pacote, Alfredo deve 10 reais a João.
A linha dos números Inteiros é assim:
Reta2.JPG
Se multiplico o número 2 pelo número 3, ando 3 vezes seguidas um vetor de tamanho 2 na reta dos inteiros.
2times3.JPG
Se multiplico o número -2 pelo número 3, ando 3 vezes seguidas um vetor de tamanho 2 na reta dos inteiros, mas na direção oposta.
Minus2times3.JPG
Note que a reta positiva é igual à negativa, exceto que espelhada no zero.

1.2 Multiplicação de números negativos
 Tomando a reta dos inteiros como base, podemos interpretar a multiplicação por -1 como uma reflexão em torno do zero, uma rotação de 180 graus.
Multiplicacao.JPG
É como se chegasse um rei e dissesse: a partir de agora todos os créditos viram débitos e todos os débitos viram créditos. Se Alfredo estava devendo R$ 10,00 para o João, agora João é que está devendo  R$ 10,00 para Alfredo.
Note a simetria: as coisas se invertem na direção oposta, sem perder a magnitude.

1.3 Propriedade distributiva
Olha só como fica a conta -3*(2 – 2)
Represento 2 e -2 na reta:
Distr1.JPG
A soma deles é zero, porque é como se duas forças iguais puxassem um pacote: não sai do lugar.  Multiplicando zero por -3, tenho zero de resposta.
Por outro lado, -3*(2 – 2) = -3*2 + -3*-2, pela propriedade distributiva.
-3*2 significa que
Distr2.JPG
-3*-2 significa que
distr3.JPG
E -6 + 6 = 0. Portanto, fazer a conta das duas formas dá o mesmo resultado.
A definição -1 * -1 = +1 permite que a álgebra tenha a propriedade distributiva. E a  álgebra contém simetrias. Ela é consistente com a matemática como um todo, e existe até um ramo da Matemática que estuda isto: a Teoria de Grupos. E foi com esta matemática que a humanidade calculou áreas, resolveu equações, projetou edifício, barragens, máquinas, chegou a Lua e construiu a bomba atômica.

Interlúdio: Números complexos
O mais legal é esta noção de rotação se encaixa no corpo dos números complexos.
Multiplicar por i (imaginário) significa rotacionar 90 graus:
Rotacoes.JPG
Números complexos combinam com rotações e rotações combinam com funções periódicas.
Uma função periódica importante é a eletricidade. A rede elétrica de todas as casas do mundo é em corrente alternada, e números complexos são a ferramenta ideal para descrevê-las.
Wave.JPG

Parte 2 – A Tabajara Álgebra?

Num outro universo, -1 * -1 não precisa ser igual a 1. Podemos definir  -1 * -1 = -1. Mas isto não é álgebra normal.
Vamos chamar a álgebra que define negativo * negativo = negativo de Tabajara Álgebra. Algumas consequências: esta álgebra não teria simetria em torno do zero nem propriedade distributiva.
Por exemplo.
-3*(2 – 2) = -3*2 + -3*-2, propriedade distributiva.
-3*2 = -6, pela Tabajara álgebra
-3*-2 = -6, pela Tabajara álgebra (lembre-se que negativo * negativo = negativo)
Portanto,  -3*2 + -3*-2 =-12, ao passo que -3*(2 – 2) =0.
Não tem nada de errado na conta, a única coisa esquisita é que a propriedade distributiva não vale mais.
Poderíamos tentar descobrir quais os teoremas válidos na Tabajara álgebra e escrever uma tese de doutorado. Seria o Teorema de Pitágoras válido? A fórmula de Bháskara?
Provavelmente nenhum teorema útil seria válido na Tabajara álgebra. E, além disso, esta nova álgebra não teria aplicação na vida real, sendo apenas um exercício de imaginação.

Resumo final 
-1 * -1 = 1 porque multiplicar por -1 é como rotacionar um vetor em 180 graus.
Isto permite que os inteiros sejam um grupo, e que a álgebra tenha   propriedades de simetria consistentes, como a propriedade distributiva. Toda a matemática existente está fundamentada nisto.

Arnaldo Gunzi

Maio 2016


Veja também

Forgotten Math: https://forgottenmath.home.blog

Confesso que colei – sobre o sistema de disciplina consciente no ITA.

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Veja também:

Laboratório de Matemática:

https://ideiasesquecidas.com/laboratorio-de-matematica/

Logaritmos neperianos e vulcanos

https://ideiasesquecidas.com/2015/08/15/logaritmos-neperianos/