O “cubo torcido”

O “cubo torcido” é o da foto abaixo. Não sei se este é o nome oficial do mesmo, mas é exatamente um Rubik torcido.

O mesmo, bagunçado, fica assim:

Um pouco assustador, mas quase todos os algoritmos são idênticos ao Rubik 3x3x3.

Pré-requisito: saber resolver o 3x3x3.

O primeiro passo é arrumar o primeiro layer, que pode ser feito sem grande dificuldade.

A seguir, arrumar as peças de centro. Esta é a única grande diferença. No Rubik normal, a peça de centro é flat. Aqui, ela é torcida, ou seja, uma rotação errada vai bagunçar a mesma.

A seguir, arrumar as laterais do segundo layer. Aqui, outra ressalva.

Como a peça lateral é indistinguível se está de pé ou de cabeça para baixo, podemos descobrir, no final, uma paridade insolúvel.

Aí, saberemos que há uma das peças laterais de cabeça para baixo – é necessário tirar a peça (qualquer lateral serve) e colocar de novo, porém no sentido inverso.

O último layer começa a ser resolvido da forma usual. Aqui, há alguns métodos diferentes. Costumo arrumar as peças de canto para a posição correta, depois girar as mesmas para ficar na orientação correta.

Este é o exemplo de paridade impossível descrito acima. Quem mexe no Rubik, sabe que uma posição dessas nunca vai ocorrer. Neste caso, deve-se virar de cabeça para baixo alguma peça lateral do layer 2, e resolver tudo de novo.

Resolvendo tudo, fica assim:

Outro ângulo:

Este exemplo é outro tipo de paridade que ocorre no cubo torcido, mas não no Rubik (pela peça central ser flat). Alguns dos algoritmos do último layer podem girar a peça central do meio.

Para resolver, é mais ou menos simples. É só não usar o algoritmo que gira a peça central das laterais, que causa o efeito da foto. É necessário usar mais vezes os outros algoritmos, porém, é possível resolver.

Outro comentário é que as peças centrais dos layers de cima e de baixo (branco e amarelo), são flats – podemos aproveitar isto para jogar com a rotação desta peça.

Fica como exercício para o leitor, mapear e decidir a técnica a utilizar.

Este cubo, eu comprei pela Amazon Brasil. Mas é possível comprar direto da China, via AliExpress. Fora isso, já vi vendendo cubos assim no bairro da Liberdade, em São Paulo.

É um passatempo divertido, mas extremamente mais simples que o “ghost Rubik” do post https://ideiasesquecidas.com/2019/09/22/o-cubo-fantasma/

Outros cubos no link a seguir.

https://ideiasesquecidas.com/cubos-magicos/

Ideias técnicas com uma pitada de filosofia

https://ideiasesquecidas.com

Menor num. de quadrados

Resposta do post anterior.

Quantos quadrados consigo colocar num retângulo 11 x 13?

Minha solução: 6 quadrados: 7×7, 6×6, 4×4, 4×4, 1×1 e 5×5. Quem quiser conferir: https://1drv.ms/x/s!Aumr1P3FaK7jkWicLZEBAhjUOsz-?e=hctfNA

 Tem uma seção do livro do Ian Stewart, Mania de Matemática I, com o tema “Quadratura do quadrado”. É interessante dar uma lida.

Dicas para resolver o Rubik “Espelho” (Mirror)

O Rubik “Espelho” (mirror) é uma versão assimétrica do cubo de Rubik normal.

A diferença é que ele é “cortado” de forma desigual.

Ao invés dos lados terem cores diferentes, agora a forma é diferente.

A solução para esta é exatamente análoga ao cubo de Rubik normal.

São os mesmos algoritmos. Não há nenhuma possibilidade de ambiguidade de peças (como no cilindro mágico).

O problema então é saber qual a posição de cada peça.

Baguçando um pouco, pode parecer assustador.

Não vou postar um tutorial de solução, porque é exatamente análogo ao Rubik.

Ou seja, saber resolver o Rubik é pré-requisito para atacar o mirror Rubik.

(Lembrei de três exercícios num livro de álgebra linear, cujas respostas no fim do livro diziam: 1 – Trivial; 2 – Deriva de “1”; 3 – Deriva de “1” e “2”).

No entanto, vou postar algumas dicas valiosas.

Uma dica é notar a divisão num tamanho fino, médio e grosso.

Então, a peça de espessura fina, comprimento e largura fina vai num canto, e vai aumentando comprimento, largura e espessura gradualmente – isto é suficiente para identificar as peças.

A seguir um diagrama esquemático do eixo XY, exagerado para fins didáticos.

Considerando agora o eixo Z, e isolando a primeira camada, que é fina.

A segunda é mais grossa, e assim sucessivamente.

Tendo a noção do tamanho relativo das peças e da espessura, é só um pouquinho a mais de tentativa e erro para descobrir a posição que as peças devem estar.

É um bom exercício, para desenvolver a visão espacial.

Em SP, a loja Haikai, no bairro da Liberdade, costuma ter vários tipos de cubo. Pela internet, compro muitos no AliExpress – o problema é que demora uns 3 meses para chegar.

Bom divertimento.

Review – curso online da Coursera

Fiz um curso na plataforma Coursera (https://www.coursera.org/), sobre Quantum Computing. Foi um curso pago, 100 e poucos reais, a fim de ter o compromisso de terminar o mesmo. É possível fazer o mesmo curso de graça, só não tem o certificado no final.

O instrutor era um professor da universidade de S. Petersburgo.

O curso era dividido em 5 semanas, com quizzes rápidos entre os vídeos e um teste ao final de cada semana.

Em termos da estrutura da Coursera, achei muito bom. O certificado é dado somente a quem assistir os vídeos e passar nos testes. É um pouco mais caro, porém bem mais exigente do que o curso da Udemy (que era apenas ver os vídeos).

Não gostei da parte didática. O instrutor não era muito claro, e resolvi muitas das tarefas mencionadas não com as instruções dadas pelo curso, mas através de outras fontes. Parece (e é) um professor normal, daqueles de sala de aula, só que ao invés de escrever na lousa, escrevia num tablet.

Há um fórum de discussão, mas aparentemente este curso tem poucos interessados, então somente o instrutor respondia depois de alguns dias (e, de novo, não era uma resposta muito didática).

Conclusão:

Gostei do esquema de vídeos e testes da Coursera, mas não deste curso em específico.

Outro item interessante é que dá para linkar o certificado de conclusão no LinkedIn. Se alguém quiser me adicionar no mesmo: https://www.linkedin.com/in/arnaldogunzi

Sempre achei isso uma bobagem, porque o que vale é o que a pessoa sabe e não o que está descrito no currículo. Porém, vi que várias pessoas se motivam a fazer cursos vendo que um conhecido o fez, e isto cria um feedback positivo.

Nota: O nanodegree da Udacity é muito mais completo, pesado em termos de carga horário e projetos a fazer, além de muito mais caro. Porém, não dá para comparar com um curso isolado, o programa da Udacity é, como o nome diz, um nanodegree. O próprio Coursera tem programas neste estilo (chama de bachelor degree), e o EDX também.

Einstein era um matemático medíocre

“Não se preocupe sobre suas dificuldades em matemática. Te asseguro que as minhas dificuldades são maiores” – disse Albert Einstein, em resposta à uma estudante do ensino médio, sobre suas dificuldades com matemática.

É claro que o nível de habilidade matemática de Einstein era infinitamente superior do que o de qualquer um de nós, e a sua frase foi para consolar a menina. Entretanto, há um fundo de verdade nesta afirmação.

Einstein tinha dificuldades com matemática de alto nível, sendo ajudado por colegas e até pela esposa, Mileva Maric.

O “superpoder” de Einstein não era a matemática, e sim a abstração física.

A maior prova disto foi a corrida para chegar ao famoso teorema da Relatividade Geral.

O primeiro artigo de Einstein foi sobre a Relatividade especial, em 1905. Especial no sentido de ser específica. Daí, foram 10 anos de trabalho para chegar a uma solução geral, em 1915.

Neste meio-tempo, o brilhante matemático David Hilbert (1862 – 1943) se fascinou com a Teoria da Relatividade, viu o potencial disruptivo dela e passou a estudá-la por conta própria.

Hilbert foi um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Com certeza, matemática contra matemática, Hilbert vencia facilmente. Sua fama era muito maior do que a de Einstein (que aliás ficou famoso após a relatividade, não antes).

Sabendo da sombra que Hilbert fazia, Einstein passou a correr contra o tempo. Fazia palestras semanalmente, mostrando os avanços no desenvolvimento da Relatividade Geral. Por fim, Einstein chegou à solução final e ganhou a corrida. Hilbert chegou à mesma solução, alguns dias depois, já sabendo do artigo de Einstein.

Era a vitória da imaginação de Einstein, que pensou o impensável e desafiou as leis do espaço e do tempo.

E, para nós mortais, fica a lição: “A imaginação é mais importante do que o conhecimento” – Albert Einstein.

“O telégrafo sem fio não é difícil de entender. O telégrafo comum é como um gato muito comprido. Você puxa o rabo dele em Nova York e ele mia em Los Angeles. O telégrafo sem fio é a mesma coisa, só que sem o gato.”

Ideias técnicas com uma pitada de filosofia.

https://ideiasesquecidas.com/

https://todayinsci.com/E/Einstein_Albert/EinsteinAlbert-Mathematics-Quotations.htm

*In letter (7 Jan 1943) to Barbara Wilson, a junior high school student, who had difficulties in school with mathematics. In Einstein Archives, 42-606. Quoted in Alice Calaprice, Dear Professor Einstein: Albert Einstein’s Letters to and from Children (2002), 140.

Quadrados mágicos ímpares

Quadrados mágicos são quadrados preenchidos com números sequenciais, de forma que a soma das linhas e colunas são iguais.

 

 

Exemplo: temos os números de 1 a 9 no quadrado, e a soma de cada linha ou coluna é 15.

Quadrado1.JPG

 

Parece difícil criar um negócio desses. Há uma forma mais ou menos intuitiva de ver esses quadrados mágicos. É isso que vou explicar agora.

 


 

Diagonais

Tudo começa com uma diagonal preenchida com 1, assim.

Quadrado2.JPG

 

Isto é o que os caras que manjam de matemática chamam de “matriz identidade”.

Ela obviamente tem a propriedade da soma das linhas e colunas ser 1, já que os números ficam na diagonal e uma linha ou coluna só contém este mesmo número.

 

Uma matriz assim com o número 2 e o número 3 também têm a mesma propriedade da soma das linhas e colunas serem iguais.

Quadrado3.JPG

Temos um bom ponto de partida para montar algo mais complicado.

 

Já que esta matriz é tão legal, que tal juntar uma na outra, na diagonal?

Quadrado4.JPG

 

Considerando que temos que montar um quadrado, vamos pintar o quadrado no centro desta estrutura. Aproveitamos para pintar de azul e verde os caras que não encaixam no quadrado.

 

Quadrado5.JPG

 

Mas, se a gente imaginar a tela não como um plano, mas como um “globo terrestre”, é como se os números que atravessarem o leste fossem parar no oeste, e os que atravessarem o oeste fossem parar no leste. Vamos fazer de conta que eles deram a volta ao mundo.

Quadrado6.JPG

 

Para fechar, os números que derem a volta no pólo norte vão parar no pólo sul, e vice-versa.

 

Quadrado7.JPG

Chegamos numa configuração interessante: a soma das linhas e colunas dá 6.

 

Quadrado8.JPG

 

Mas queremos números de 1 a 9, e não de 1 a 3. Vamos consertar isto. Se eu somar um número qualquer a alguma linha das matrizes diagonais, não mudarei a propriedade das linhas e colunas iguais, porque é como se eu estivesse somando um número à diagonal.

 

Quadrado9.JPG

Se eu somar 3 à segunda linha das matrizes diagonais, e 6 à terceira linha, terei os números de 1 a 9.

 

Fazendo o mesmo processo de juntar,  pintar,Quadrado10.JPG

 

 

Transladar no sentido horizontal, e transladar no sentido vertical,

Quadrado11.JPG

 

 

Chegamos no quadrado mágico!

 

Quadrado1.JPG

 

Outra propriedade interessante.

 

Colocando os números de 1 a 9 em ordem:

Simetria_num.JPG

O número 5 divide os números de forma equidistante.

 

Portanto, o 5 sempre tem que ficar no meio do quadrado mágico.

Um quadrado mágico mapeado a partir da equidistância do 5 fica assim:

Quadrado12.JPG

Com o zero no meio e valores simétricos (-1 e +1), (-2 e +2), etc.

 


 

Quadrados maiores

 

Este processo é válido para qualquer quadrado mágico de lado ímpar – o de lado par destrói a estrutura de simetria em torno do número central.

 

Por exemplo, para um quadrado 5 x 5, temos.

Diagonais:

Quadrado13.JPG

Diagonais com os números corretos

Quadrado14.JPG

 

Compondo as diagonais e pintando

Quadrado15.JPG

 

Transladando lateralmente

Quadrado16.JPG

Transladando verticalmente

Quadrado17.JPG

E temos um quadrado 5×5:

Quadrado18.JPG

Nota: olhando para a explicação, pode parecer fácil, natural. Mas fiquei vários dias pensando em como essas simetrias se encaixavam, etc.

Disponibilizei neste link uma rotina em Excel Vba que automatiza os passos descritos.

 

Para os quadrados pares, um dia faço alguma explicação e coloco aqui.

Arnaldo Gunzi

Mar 2016.


 

Nota:

O grande matemático indiano Ramanujan foi um gênio. Estudou sozinho e fez descobertas brilhantes, de nível mundial. É nele que se inspirou o filme “Gênio indomável”.

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Ramanujan escreveu vários quadrados mágicos em seus “blocos de notas”. Muito do que ele escreveu nesses blocos de notas permanece incompreensível até hoje. – portanto estas brincadeiras são para gente graúda também.

 

 

Note 2-6.jpg

 

 

 

Cubo X – Montar a base

Conforme os posts anteriores, o Cubo X foi montado no formato em X e com as camadas de topo e laterais prontas.

Para resolver a base, serão as seguintes etapas:
A – Virar todos os amarelos para cima
B – Resolver um dos lados externos
C – Resolver problemas de paridade e finalizar
É necessário apresentar alguns algoritmos para permitir trabalhar na base.  Estes estão apresentados no final deste post.

Parte A – Virar todos os amarelos para cima
Pode-se ter 2, 4, 6 ou mais peças de canto que não estão virados para cima, mas sempre em pares.

IMG_1475.JPG
Peças a serem giradas para ficar com o lado amarelo par acima

 

A ideia é posicionar as peças a serem viradas, via movimentos Translado 12 e 23.
Se tiver 2 peças, colocar elas juntas, no canto inferior esquerdo conforme figura, e aplicar o movimento rotação de cantos.

Cubo2giros.jpg
Aplicar mov. rotação de cantos

Se tiver 4 peças, colocar assim e aplicar o X paralelo.

IMG_1488.JPG
Para virar as 4 peças com o amarelo para cima, aplicar o X paralelo

Ou utilizar uma combinação do movimento X2, X paralelo e rotação, para posicionar / girar as peças.
Chega-se numa configuração como a seguinte.

IMG_1478.JPG
Peças com o lado amarelo para cima


Passo B
Uma vez que todas as peças estão com o lado amarelo para cima, a ideia é arrumar tudo sem desarrumar esta orientação.
Via movimentos de Translado 12 e 23, sempre é possível arrumar pelo menos uma das bandas. Na foto a seguir, a banda laranja está arrumada, faltando arrumar as demais.

IMG_1480.JPG
Lado laranja arrumado


Passo C
O caso principal é quando os movimentos de Translado 12 e 23, conseguem resolver o resto do cubo X.
Mas podem haver problemas de paridade.
Vou descrever as principais situações.
Duas peças de edge opostas. Aplicar três vezes o movimento X2.
MovX2tothe3
Duas bandas opostas. Aplicar o movimento de troca de bandas opostas.
MovTrocaBandasOpostas
Paridade trocada. Este é o caso mais chato. É quando fica assim:

IMG_1489.JPG
Paridade trocada: nem os movimentos de translado, nem as trocas de banda ou edge resolvem

Solução: aplicar o movimento de acerto de paridade, que vai dar uma bagunçada nas peças amarelas para cima. Mas basta aplicar novamente as técnicas acima para transladar e arrumar as peças, que a paridade agora está certa.
IMG_1491.JPG
E eis que o Cubo X está resolvido. Não é tão difícil assim.

 


 

Algoritmos utilizados
Movimento Translado 12
Translada12.PNG

Movimento Translado  23

 Translada23.PNG

Movimento X2

MovX2.PNG

Movimento X2 aplicado três vezes: Troca edges laterais
MovX2tothe3

Movimento X paralelo

MovXParalelo.PNG
Movimento rotação de cantos

TrocaCantos.PNG
Movim. Rotação de Cantos

 

Movimento Troca banda fácil (tem a desvantagem de inverter um edge lateral, obrigando a fazer dois desses movimentos para conservar a paridade. Mas é muito útil).
TrocaBandas.PNG
Movimento troca bandas opostas
MovTrocaBandasOpostas.PNG
Movimento acerto paridade
TrocaParidade.PNG
Troca edges do Meio
EdgesMeio.PNG
Movimento troca cantos x 5
Se aplicar 5 vezes o movimento troca canto, acontece de girar três edges centrais:
TrocaCantosX5.PNG

Conclusão
Há vários métodos possíveis de resolver o Cubo X ou qualquer outro puzzle desta natureza.
O que há em comum entre os métodos é  que estes são divididos em sub métodos e sub etapas, possíveis de serem entendidas por um ser humano. Por exemplo, no cubo X, primeiro arrumar o formato, depois resolver a camada de cima, do meio e a de baixo.

IMG_1491.JPG

 

O segredo é descobrir métodos invariantes, que mudam alguma coisa sem mudar outras. Reconhecer e discernir padrões. Dividir para conquistar.
Desta forma, algo muito complexo pode ser quebrado em etapas muito simples, e  o impossível será possível.
Fim.
Arnaldo Gunzi
Fev. 2016
Vide também

Poliedros mágicos

Cubo-X

Dodecaedro mágico


Próximo desafio:
Dodecaedro truncado – Tuttminx IMG_1503.JPG