Quadrados mágicos são quadrados preenchidos com números sequenciais, de forma que a soma das linhas e colunas são iguais.

Exemplo: temos os números de 1 a 9 no quadrado, e a soma de cada linha ou coluna é 15.

Parece difícil criar um negócio desses. Há uma forma mais ou menos intuitiva de ver esses quadrados mágicos. É isso que vou explicar agora.

Diagonais

Tudo começa com uma diagonal preenchida com 1, assim.

Isto é o que os caras que manjam de matemática chamam de “matriz identidade”.

Ela obviamente tem a propriedade da soma das linhas e colunas ser 1, já que os números ficam na diagonal e uma linha ou coluna só contém este mesmo número.

Uma matriz assim com o número 2 e o número 3 também têm a mesma propriedade da soma das linhas e colunas serem iguais.

Temos um bom ponto de partida para montar algo mais complicado.

Já que esta matriz é tão legal, que tal juntar uma na outra, na diagonal?

Considerando que temos que montar um quadrado, vamos pintar o quadrado no centro desta estrutura. Aproveitamos para pintar de azul e verde os caras que não encaixam no quadrado.

Mas, se a gente imaginar a tela não como um plano, mas como um “globo terrestre”, é como se os números que atravessarem o leste fossem parar no oeste, e os que atravessarem o oeste fossem parar no leste. Vamos fazer de conta que eles deram a volta ao mundo.

Para fechar, os números que derem a volta no pólo norte vão parar no pólo sul, e vice-versa.

Chegamos numa configuração interessante: a soma das linhas e colunas dá 6.

Mas queremos números de 1 a 9, e não de 1 a 3. Vamos consertar isto. Se eu somar um número qualquer a alguma linha das matrizes diagonais, não mudarei a propriedade das linhas e colunas iguais, porque é como se eu estivesse somando um número à diagonal.

Se eu somar 3 à segunda linha das matrizes diagonais, e 6 à terceira linha, terei os números de 1 a 9.

Fazendo o mesmo processo de juntar,  pintar,

Transladar no sentido horizontal, e transladar no sentido vertical,

Chegamos no quadrado mágico!

Outra propriedade interessante.

Colocando os números de 1 a 9 em ordem:

O número 5 divide os números de forma equidistante.

Portanto, o 5 sempre tem que ficar no meio do quadrado mágico.

Um quadrado mágico mapeado a partir da equidistância do 5 fica assim:

Com o zero no meio e valores simétricos (-1 e +1), (-2 e +2), etc.

Quadrados maiores

Este processo é válido para qualquer quadrado mágico de lado ímpar – o de lado par destrói a estrutura de simetria em torno do número central.

Por exemplo, para um quadrado 5 x 5, temos.

Diagonais:

Diagonais com os números corretos

Compondo as diagonais e pintando

Transladando lateralmente

Transladando verticalmente

E temos um quadrado 5×5:

Nota: olhando para a explicação, pode parecer fácil, natural. Mas fiquei vários dias pensando em como essas simetrias se encaixavam, etc.

Disponibilizei neste link uma rotina em Excel Vba que automatiza os passos descritos.

Para os quadrados pares, um dia faço alguma explicação e coloco aqui.

Arnaldo Gunzi

Mar 2016.

Nota:

O grande matemático indiano Ramanujan foi um gênio. Estudou sozinho e fez descobertas brilhantes, de nível mundial. É nele que se inspirou o filme “Gênio indomável”.

Ramanujan escreveu vários quadrados mágicos em seus “blocos de notas”. Muito do que ele escreveu nesses blocos de notas permanece incompreensível até hoje. – portanto estas brincadeiras são para gente graúda também.