Tag: ForgottenMath

Prova visual da divergência da série harmônica

Em por Arnaldo Gunziem Analytics, ForgottenMath, Matemática1 comentário

A série harmônica é dada por:

Ela tem esse nome por conta do conceito de harmônicas, em música. Imagine prender uma corda de piano a um tamanho 1, depois a metade do tamanho, 1/3 do tamanho, etc.

É um resultado conhecido desde Bernoulli, no séc XVII, que a série harmônica diverge: o somatório dos termos tende a infinito.

A prova dos livros de matemática consiste em comparar com uma série conhecidamente divergente:

1/2 + 1/2 + 1/2 + …

Se eu somar o número 1/2 infinitamente, claramente a série vai divergir.

A série harmônica é maior do que a série divergente acima, basta rearranjar os termos. A figura acima ilustra as operações envolvidas.

Embora a série harmônica divirja, ela o faz muito lentamente.

Um programinha de 4 linhas em Python, para 1000 termos:

harmonic=0
for i in range(1,1001):
harmonic += 1/i
print(harmonic)

Para 1000 termos, a soma dá 7,48.

Para 1 milhão de termos, a soma dá 14,39.

A soma dos primeiros 1043 termos é menor do que 100, segundo a Wikipedia, cujo link consta abaixo e tem outras informações interessantes.

É como a tartaruga do conto de Esopo: parece que nunca vai chegar lá, mas lenta e consistentemente, sempre cruza a linha de chegada!

Vide também:

https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)

Lab. Matemática

Prova visual de soma de potências de quartos

Em por Arnaldo Gunziem ForgottenMath, Matemática1 comentário

A série 1/4 + 1/4^2 + 1/4^3 + 1/4^4 + … = 1/3 tem uma bela visualização, mostrada abaixo:

Considere só os quadrados azuis. As demais cores são para completar os 2/3 restantes.

Gif animado:

Para acessar o painel iterativo: https://asgunzi.github.io/Soma-quartos/index.html

Contraprova visual do Pequeno Teorema de Fermat

Em por Arnaldo Gunziem ForgottenMathDeixe um comentário

Em post anterior, vimos uma prova visual do Pequeno Teorema de Fermat.

Neste post, vamos ilustrar o mesmo raciocínio, mas para mostrar porque o mesmo teorema não funciona quando os números envolvidos não são primos entre si.

O teorema diz que p | n^p – n, para p primo.

Exemplo. n = 3 e p = 5.
n^p – n = 3^5 – 3 = 240, e 240 é divisível por 5.

Contra exemplo. n = 2 e p = 4.
n^p – n = 2^4 – 2 = 14, e 14 não é divisível por 4 (para o teorema funcionar, p deve ser primo em relação a n).

Vamos visualizar o caso n =2 e p =4.

Há duas combinações de cor única:

Há quatro combinações com 1 azul e 3 brancos. Note o mesmo comportamento descrito anteriormente, de poder fazer um colar e ir girando a cada conta. A repetição só se dá quando girar todas as contas.

De modo similar, há quatro combinações com 3 azuis e 1 branco.

Porém, com 2 azuis e 2 brancos, há uma diferença.

O primeiro grupo de 4 forma um colar que precisa de 4 giros para retornar ao início.

Porém, o grupo da direita precisa de apenas 2 giros para retornar à mesma posição. Isso porque há repetição do padrão de cores, e há repetição porque 2 (cores) e 4 (posições) têm divisor comum (2).

Isso “quebra” a formação de grupos de 4, demonstrando o motivo do pequeno Teorema de Fermat não ser válido para n e p com divisores comuns.

Portanto, essa é a forma de visualizar o importante Pequeno Teorema de Fermat.

Veja também:

Prova visual do Pequeno Teorema de Fermat
Lab. Matemática

Senos de inteiros

Em por Arnaldo Gunziem ForgottenMath, Matemática1 comentário

Padrões interessantes surgem, quando plotamos a função seno para números inteiros [sin(1), sin(2), sin(3), …, sin(N)].

Painel interativo aqui:
https://asgunzi.github.io/Senos-inteiros/index.html

Para N = 500, aparecem alguns hexágonos.

Para N = 1000, fica mais evidente.

Para N = 2000:

Para N= 5000:

A mesma coisa, mas com o eixo X em escala logarítmica.

Achei bonito o padrão formado, e resolvi fazer os gráficos.

Este post é baseado em artigo de John Cook, referenciado abaixo.

Integer sines

Veja também:

Lab. Matemática

Números Triangulares

Em por Arnaldo Gunziem ForgottenMath1 comentário

Números triangulares são aqueles que formam um triângulo, fazendo jus ao próprio nome.

1

3 = 1 +2

6 = 1 +2 + 3

10 = 1 +2 + 3 + 4

Fiz uma animaçãozinha para demonstrar. Para visualização interativa: https://asgunzi.github.io/NumerosTriangulares/

Cada número triangular é a soma da progressão geométrica 1+2+3+…+N, ou seja, podemos usar a fórmula da PG para calcular um número triangular qualquer.

Vide também:

Prova visual da sequência 1+3+5+…
Lab. Matemática

Falsos positivos e a Regra de Bayes

Em por Arnaldo Gunziem ForgottenMath, MatemáticaDeixe um comentário

Em 2009, uma agência de saúde americana recomendou algo contra a intuição: que mulheres na faixa de 40 anos não fizessem exame de mamografia anualmente, e sim, a cada 2 anos.

O exame parece ter alta eficácia: se a mulher tem câncer de mama, o exame dá positivo em 80% dos casos. Se ela não tem câncer, dá falso positivo em 10% dos casos.

Como explicar tal decisão? Via a regra de Bayes.

Segundo estatísticas americanas, câncer de mama atinge 0,4% das mulheres nesta faixa etária.

Ou seja, de 10.000 mulheres, 40 têm, em média, e 9960 não.

Fazendo as contas e jogando tais informações na tabela:

Ou seja, se forem feitos 10.000 exames, 1.028 darão positivo, na média.

O número de falsos positivos é extremamente maior do que o de verdadeiros positivos.

Mesmo se o seu exame deu positivo, há apenas uma chance de 32/1028 ~ 3% de ser câncer de mama de verdade.

Como os malefícios (preocupação, necessidade de realizar exames adicionais) eram muito superiores aos benefícios, a recomendação citada, de fazer o exame a cada 2 anos.

Porém, este tipo de tema é sempre polêmico, e a regra de Bayes pode ser atualizada a cada nova informação (digamos, melhoria na qualidade dos exames).

A regra de Bayes, formalmente, envolve probabilidades condicionais:

Probab. de ter câncer, dado que o exame deu positivo = prob. do exame dar positivo dado que tem câncer de verdade x prob de ter câncer de verdade / prob da mamografia dar positivo.

Isso dá (0,8 * 0,004) / (0,8 * 0,004 + 0,1 * 0,996) = 0,03

Porém, eu gosto mais de entender o exemplo do que decorar essa fórmula confusa.

Dados baseados no livro “Theory that would never die”, de Sharon McGrayne.

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Veja também:

Lab. Matemática

Prova visual da sequência 1 + 2 + 4 + 8 = 2^N – 1

Em por Arnaldo Gunziem ForgottenMath, Matemática1 comentário

A progressão geométrica 1 + 2 + 4 + 8 + …, com cada elemento sendo o dobro da anterior, tem soma igual a 2^N-1, onde N é o número de elementos da soma.

Há uma prova visual muito bonita desta.

Imagine que tomamos emprestado um quadrado, o vermelho, e somamos o primeiro elemento (1):

O próximo elemento da soma, o 2, colocamos à direita – espelhando a soma anterior.

O próximo elemento da soma, o 4, é representado abaixo, de novo espelhando a soma anterior.

E assim sucessivamente. Para 8:

Para o 16:

Com 10 elementos:

Criei um programinha para visualizar dinamicamente essa soma geométrica. É da onde os prints acima foram tirados. Segue o link:

https://asgunzi.github.io/somageometricaD3

Agora, um pouco da teoria. Uma soma de PG finita é dada pela fórmula:

No caso da sequência acima, a1 = 1, q = 2, para N elementos. Então, fica S = 1*(2^N-1)/(2-1) = 2^N-1, que é a mesma conta.

Eu prefiro a prova visual…

Veja também:


Visualize a sequência de Fibonacci https://asgunzi.github.io/Fibonacci

Fórmula de soma de PA visual

https://ideiasesquecidas.com/2015/09/04/soma-visual-de-pa

Laboratório de Matemática


https://ideiasesquecidas.com/laboratorio-de-matematica

Ideias Analíticas Avançadas

Em por Arnaldo Gunziem ForgottenMath, Matemática, Pesquisa OperacionalDeixe um comentário

Estou lançando uma publicação na plataforma Medium: a Ideias Analíticas Avançadas (https://medium.com/ideias-anal%C3%ADticas-avan%C3%A7adas).

Ver no Medium.com

Os objetivos são:

  • Escrever sobre Analytics Hard: Otimização, Matemática, Python, Computação Quântica, com código e tudo
  • Convidar outros autores a publicar sobre o tema.

Fica já o convite, quem quiser escrever sobre alguns dos temas e divulgar ali.

A planilha do Chicão

Em por Arnaldo Gunziem ForgottenMath, Inovação, PensamentosDeixe um comentário

Participei de um projeto que tinha como alvo eliminar a “Planilha do Chicão”. Uma planilha de decisão: sentava muita gente numa mesa, cada um falava o que planejava fazer, e era tudo consolidado de forma semi-estruturada nesta. Simples, rápida, e não muito precisa.

O trabalho envolveu criar uma ferramenta superior: coletar informações, criar indicadores, propor soluções ótimas e voltar o resultado para análise. Tudo OK.

Anos depois, retorno para ver como o trabalho está. Realmente, a ferramenta de otimização está rodando, com melhorias aqui e acolá. Porém, lá no finalzinho do processo, na palavra final da decisão, quem eu encontro? A planilha do Chicão, firme e forte.

O Chicão já se aposentou faz anos também, então não é resistência à mudança. Talvez, no final das contas, a decisão seja realmente dos seres humanos, diante de inúmeras variáveis impossíveis de prever.

Moral da história: não subestime a planilha do Chicão.

Representação visual do MDC

Em por Arnaldo Gunziem ForgottenMath1 comentário

Qual o máximo divisor comum entre 9 e 21?

O MDC é um dos principais conceitos de Teoria dos Números, e o algoritmo de Euclides continua sendo extremamente eficiente até hoje.

Vi uma versão visual deste, e gostaria de compartilhar.

Qual o máximo divisor comum entre 9 e 21?

21 / 9 = 2 (representado pelos dois quadrados de tamanho 9) e sobra 3

9 / 3 = 3 (vide os três quadrados de tamanho 3) e sobra 0

Portanto, o MDC é 3.

A planilha em anexo plota essa visualização de MDC para dois valores quaisquer de a e b.

Exemplo. MDC(10, 2 ) = 2, o último quadrado de tamanho 2.

Outro exemplo, entre 6 e 9 (mdc = 3, o último quadrado 3×3).

Planilha para download em https://github.com/asgunzi/MDC-visual. É necessário ativar macros.

Veja também:

https://ideiasesquecidas.com/laboratorio-de-matematica/

O dia que troquei minha mulher por uma barra de chocolate

Em por Arnaldo Gunziem Filosofia, ForgottenMath, Matemática2 Comentários

Tudo começou com uma brincadeira das crianças. Você trocaria seu telefone por um gatinho? E o gatinho por uma barata? E assim sucessivamente. Minha esposa me perguntou: você me trocaria por uma barra de chocolates infinita?

Sendo muito lógico, é claro que respondi “Sim”. Infinito é uma quantidade muito grande…

Uma barra infinita seria suficiente para dar um pedaço para cada pessoa na cidade. Na verdade, para que se restringir a uma cidade? Seria mais do que suficiente para todas as pessoas na Terra. Mais do que isso, vários pedaços por dia, para cada pessoa, por todos os dias – acabaria com a fome do mundo.

Ainda assim, sobrariam infinitos pedaços – ou seja, seria possível alimentar todas as pessoas que ainda vão nascer no planeta. E para quê parar no planeta? Sendo infinito, é suficiente para este e mais quaisquer outros planetas que conseguissem ter acesso à tal barra de chocolate.

Ademais, a tal barra poderia ter outras aplicações. Talvez uma fonte de energia infinita. Além de alimentar todo o planeta, os cientistas poderiam pensar numa forma de secar e queimar uma enorme quantidade de chocolate, a fim de produzir energia elétrica infinita. Por mais ineficiente que tal processo seja, ainda valeria a pena, pela fonte de matéria-prima não ter fim.

Ora, mas tem algo estranho nessa conta. Se a quantidade de energia gerada é infinita, a quantidade de energia para fazer tal barra de chocolate também seria infinita.

Uma barra assim precisaria de muitos bilhões de litros de leite e de quilos de cacau e açúcar. Muito mais do que isso, de bilhões de bilhões de bilhões de litros e quilos, além de quantidade equivalente de processos industriais e energia – e ainda assim não seria nada perto do infinito. Precisaria de todo o peso do planeta Terra, mais o peso da galáxia inteira, e o peso de tudo o que existe no universo, e ainda assim, ainda falta muito para infinito.

Ou seja, a barra exauriria todos os recursos naturais existentes e transformaria o mundo num mar de chocolate. Sufocaria a todos, antes de poder ser útil para alguma coisa…

Portanto, a resposta correta é “Não”, não troque sua esposa por uma barra de chocolate infinita. Além de todos os problemas citados, esta resposta evita que você leve um tapa na cara!

Veja também

Sobre Átomos e vazio (ideiasesquecidas.com)

O loop infinito das Leis da Robótica (ideiasesquecidas.com)

O cubo mágico bola puzzle

Em por Arnaldo Gunziem ForgottenMathDeixe um comentário

Este puzzle é bastante simples.

São 10 bolinhas numa esfera, que podem se movimentar por 11 casas.

Cada casa tem uma cor diferente, e cada bolinha tem a mesma cor da casa.

Basta pressionar a bolinha em direção ao espaço vazio para movimentar.

O jogo é colocar todas as bolinhas em posições aleatórias e depois arrumar tudo: cada bolinha em sua casa.

É um puzzle fácil. Tendo um espaço vazio, eu sempre consigo trocar duas bolinhas. Então, um algoritmo guloso, de ir resolvendo casa por casa, é suficiente.

As minhas filhas de 6 e 9 anos conseguem resolver.

É um puzzle simples, com um grau mínimo de dificuldade para ficar divertido.

Fica a dica.

Link do produto na Amazon.

https://amzn.to/2LHpGD7

Veja também:

Cubos Mágicos (ideiasesquecidas.com)

https://ideiasesquecidas.com/2015/10/18/como-resolver-o-dodecaedro-magico-introducao/