Teoria dos Números Visual – Divisão (2)

Dando continuidade à Teoria dos Números via “álgebra de pedrinhas”, vamos provar alguns teoremas iniciais.

Teorema: Se a | b e n é inteiro, a | b*n

Relembrando, a divisão é como se o numerador b fosse o número de bolinhas, e o denominador, a, o número de colunas: distribua 8 bolinhas em 4 colunas, e temos o diagrama a seguir.

Se eu multiplicar o número por b um inteiro, digamos n = 2, é só copiar a quantidade de bolinhas anterior e colar em cima. As pedrinhas vão continuar sendo dispostas em a colunas. E o padrão se repete, para qualquer número n inteiro (inclusive negativo).

Teorema: Se a | b e a | c, a | b + c

A ideia aqui é similar. Se b consegue ser colocada em exatamente a colunas, e idem para c, é só empilhar os resultados para concluirmos que (b + c) podem ser colocados em a colunas.

No exemplo acima, 3 | 6 e 3 | 9, então 3 | (6 + 9)

Teorema: Se a | b e a | c, m e n são inteiros, a | b*m + c*n

Observe como a composição de afirmações simples vai gradativamente se tornando mais complexa.

Este teorema é basicamente a combinação dos dois anteriores.

Partindo para um exemplo, se 3 | 6 e 3 | 9, então 3 | (6*2 + 9).

Teorema: n | n

Este teorema é bem simples. Se tenho n pedrinhas, elas podem ser dispostas em n colunas, basta colocar uma do lado da outra.

exemplo: 6 | 6.

Teorema: n | 0

Infelizmente, não há representação visual, porque tenho zero pedrinhas na mão. Se tenho 0 pedrinhas, coloco 0 delas em cada uma das n colunas, mostrando que n | 0.

No próximo artigo sobre o tema, vamos continuar provando teoremas básicos de Teoria dos Nùmeros, usando a “álgebra de pedrinhas”. Fiquem ligados na página!

Veja também:

Ideias técnicas com uma pitada de filosofia

https://ideiasesquecidas.com

Rodar algoritmos de apoio em:

https://asgunzi.github.io/TeoriaNumeros01_Divisao/Index.html

Referência: Introdução à Teoria dos Números, José Plínio de Oliveira Santos, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada.

A Espiral musical em Excel

A “Espiral musical”, a figura abaixo, é construída somente com retas e uma regra simples de ângulos.

Ela é baseada num vídeo enviado pelo amigo Maurício Cota.

Comece com uma reta qualquer. Depois, trace uma nova reta, adicionando uma rotação com um ângulo.

Continue a sequência, agora adicionando reta com 2*ângulo, depois 3*ângulo…

Na sexta iteração:

Com 100 iterações:

O arquivo Excel aqui (https://1drv.ms/x/s!Aumr1P3FaK7jn2acOg89jOQF3Kl4) implementa a rotina, podendo variar ângulos, tamanho da reta e número de iterações.

Dica: Para plotar uma reta no VBA, basta usar o comando abaixo.

    ActiveSheet.Shapes.AddConnector(msoConnectorStraight, x1, y1, x2, y2).Select

Este vai plotar uma reta começando nas coordenadas (x1,y1) e terminando em (x2,y2).

Alguns exemplos:

Mudando um pouco a rotina, é possível fazer degradê de cores.

Outra dica é colocar um ângulo fracionário. Isso porque um ângulo inteiro uma hora vai se tornar periódico, e a figura não será tão legal.

Trilha sonora: O Rancho das Flores, de Vinícius de Moraes e Johann Sebastian Bach

Vinicius de Moraes – Rancho das flores, com Toquinho e Clara Nunes. – YouTube

Veja também:

https://ferramentasexcelvba.wordpress.com

Prova visual da divergência da série harmônica

A série harmônica é dada por:

Ela tem esse nome por conta do conceito de harmônicas, em música. Imagine prender uma corda de piano a um tamanho 1, depois a metade do tamanho, 1/3 do tamanho, etc.

É um resultado conhecido desde Bernoulli, no séc XVII, que a série harmônica diverge: o somatório dos termos tende a infinito.

A prova dos livros de matemática consiste em comparar com uma série conhecidamente divergente:

1/2 + 1/2 + 1/2 + …

Se eu somar o número 1/2 infinitamente, claramente a série vai divergir.

A série harmônica é maior do que a série divergente acima, basta rearranjar os termos. A figura acima ilustra as operações envolvidas.

Embora a série harmônica divirja, ela o faz muito lentamente.

Um programinha de 4 linhas em Python, para 1000 termos:

harmonic=0
for i in range(1,1001):
harmonic += 1/i
print(harmonic)

Para 1000 termos, a soma dá 7,48.

Para 1 milhão de termos, a soma dá 14,39.

A soma dos primeiros 1043 termos é menor do que 100, segundo a Wikipedia, cujo link consta abaixo e tem outras informações interessantes.

É como a tartaruga do conto de Esopo: parece que nunca vai chegar lá, mas lenta e consistentemente, sempre cruza a linha de chegada!

Vide também:

https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)

Prova visual de soma de potências de quartos

A série 1/4 + 1/4^2 + 1/4^3 + 1/4^4 + … = 1/3 tem uma bela visualização, mostrada abaixo:

Considere só os quadrados azuis. As demais cores são para completar os 2/3 restantes.

Gif animado:

Para acessar o painel iterativo: https://asgunzi.github.io/Soma-quartos/index.html

Contraprova visual do Pequeno Teorema de Fermat

Em post anterior, vimos uma prova visual do Pequeno Teorema de Fermat.

Neste post, vamos ilustrar o mesmo raciocínio, mas para mostrar porque o mesmo teorema não funciona quando os números envolvidos não são primos entre si.

O teorema diz que p | n^p – n, para p primo.

Exemplo. n = 3 e p = 5.
n^p – n = 3^5 – 3 = 240, e 240 é divisível por 5.

Contra exemplo. n = 2 e p = 4.
n^p – n = 2^4 – 2 = 14, e 14 não é divisível por 4 (para o teorema funcionar, p deve ser primo em relação a n).

Vamos visualizar o caso n =2 e p =4.

Há duas combinações de cor única:

Há quatro combinações com 1 azul e 3 brancos. Note o mesmo comportamento descrito anteriormente, de poder fazer um colar e ir girando a cada conta. A repetição só se dá quando girar todas as contas.

De modo similar, há quatro combinações com 3 azuis e 1 branco.

Porém, com 2 azuis e 2 brancos, há uma diferença.

O primeiro grupo de 4 forma um colar que precisa de 4 giros para retornar ao início.

Porém, o grupo da direita precisa de apenas 2 giros para retornar à mesma posição. Isso porque há repetição do padrão de cores, e há repetição porque 2 (cores) e 4 (posições) têm divisor comum (2).

Isso “quebra” a formação de grupos de 4, demonstrando o motivo do pequeno Teorema de Fermat não ser válido para n e p com divisores comuns.

Portanto, essa é a forma de visualizar o importante Pequeno Teorema de Fermat.

Veja também:

Senos de inteiros

Padrões interessantes surgem, quando plotamos a função seno para números inteiros [sin(1), sin(2), sin(3), …, sin(N)].

Painel interativo aqui:
https://asgunzi.github.io/Senos-inteiros/index.html

Para N = 500, aparecem alguns hexágonos.

Para N = 1000, fica mais evidente.

Para N = 2000:

Para N= 5000:

A mesma coisa, mas com o eixo X em escala logarítmica.

Achei bonito o padrão formado, e resolvi fazer os gráficos.

Este post é baseado em artigo de John Cook, referenciado abaixo.

Veja também:

Números Triangulares

Números triangulares são aqueles que formam um triângulo, fazendo jus ao próprio nome.

1

3 = 1 +2

6 = 1 +2 + 3

10 = 1 +2 + 3 + 4

Fiz uma animaçãozinha para demonstrar. Para visualização interativa: https://asgunzi.github.io/NumerosTriangulares/

Cada número triangular é a soma da progressão geométrica 1+2+3+…+N, ou seja, podemos usar a fórmula da PG para calcular um número triangular qualquer.

Vide também:

Falsos positivos e a Regra de Bayes

Em 2009, uma agência de saúde americana recomendou algo contra a intuição: que mulheres na faixa de 40 anos não fizessem exame de mamografia anualmente, e sim, a cada 2 anos.

O exame parece ter alta eficácia: se a mulher tem câncer de mama, o exame dá positivo em 80% dos casos. Se ela não tem câncer, dá falso positivo em 10% dos casos.

Como explicar tal decisão? Via a regra de Bayes.

Segundo estatísticas americanas, câncer de mama atinge 0,4% das mulheres nesta faixa etária.

Ou seja, de 10.000 mulheres, 40 têm, em média, e 9960 não.

Fazendo as contas e jogando tais informações na tabela:

Ou seja, se forem feitos 10.000 exames, 1.028 darão positivo, na média.

O número de falsos positivos é extremamente maior do que o de verdadeiros positivos.

Mesmo se o seu exame deu positivo, há apenas uma chance de 32/1028 ~ 3% de ser câncer de mama de verdade.

Como os malefícios (preocupação, necessidade de realizar exames adicionais) eram muito superiores aos benefícios, a recomendação citada, de fazer o exame a cada 2 anos.

Porém, este tipo de tema é sempre polêmico, e a regra de Bayes pode ser atualizada a cada nova informação (digamos, melhoria na qualidade dos exames).

A regra de Bayes, formalmente, envolve probabilidades condicionais:

Probab. de ter câncer, dado que o exame deu positivo = prob. do exame dar positivo dado que tem câncer de verdade x prob de ter câncer de verdade / prob da mamografia dar positivo.

Isso dá (0,8 * 0,004) / (0,8 * 0,004 + 0,1 * 0,996) = 0,03

Porém, eu gosto mais de entender o exemplo do que decorar essa fórmula confusa.

Dados baseados no livro “Theory that would never die”, de Sharon McGrayne.

https://amzn.to/3zHXPqt

Veja também:

Prova visual da sequência 1 + 2 + 4 + 8 = 2^N – 1

A progressão geométrica 1 + 2 + 4 + 8 + …, com cada elemento sendo o dobro da anterior, tem soma igual a 2^N-1, onde N é o número de elementos da soma.

Há uma prova visual muito bonita desta.

Imagine que tomamos emprestado um quadrado, o vermelho, e somamos o primeiro elemento (1):

O próximo elemento da soma, o 2, colocamos à direita – espelhando a soma anterior.

O próximo elemento da soma, o 4, é representado abaixo, de novo espelhando a soma anterior.

E assim sucessivamente. Para 8:

Para o 16:

Com 10 elementos:

Criei um programinha para visualizar dinamicamente essa soma geométrica. É da onde os prints acima foram tirados. Segue o link:

https://asgunzi.github.io/somageometricaD3

Agora, um pouco da teoria. Uma soma de PG finita é dada pela fórmula:

No caso da sequência acima, a1 = 1, q = 2, para N elementos. Então, fica S = 1*(2^N-1)/(2-1) = 2^N-1, que é a mesma conta.

Eu prefiro a prova visual…

Veja também:


Visualize a sequência de Fibonacci https://asgunzi.github.io/Fibonacci

Fórmula de soma de PA visual

https://ideiasesquecidas.com/2015/09/04/soma-visual-de-pa

Laboratório de Matemática


https://ideiasesquecidas.com/laboratorio-de-matematica

Ideias Analíticas Avançadas

Estou lançando uma publicação na plataforma Medium: a Ideias Analíticas Avançadas (https://medium.com/ideias-anal%C3%ADticas-avan%C3%A7adas).

Os objetivos são:

  • Escrever sobre Analytics Hard: Otimização, Matemática, Python, Computação Quântica, com código e tudo
  • Convidar outros autores a publicar sobre o tema.

Fica já o convite, quem quiser escrever sobre alguns dos temas e divulgar ali.

A planilha do Chicão

Participei de um projeto que tinha como alvo eliminar a “Planilha do Chicão”. Uma planilha de decisão: sentava muita gente numa mesa, cada um falava o que planejava fazer, e era tudo consolidado de forma semi-estruturada nesta. Simples, rápida, e não muito precisa.

O trabalho envolveu criar uma ferramenta superior: coletar informações, criar indicadores, propor soluções ótimas e voltar o resultado para análise. Tudo OK.

Anos depois, retorno para ver como o trabalho está. Realmente, a ferramenta de otimização está rodando, com melhorias aqui e acolá. Porém, lá no finalzinho do processo, na palavra final da decisão, quem eu encontro? A planilha do Chicão, firme e forte.

O Chicão já se aposentou faz anos também, então não é resistência à mudança. Talvez, no final das contas, a decisão seja realmente dos seres humanos, diante de inúmeras variáveis impossíveis de prever.

Moral da história: não subestime a planilha do Chicão.

Representação visual do MDC

Qual o máximo divisor comum entre 9 e 21?

O MDC é um dos principais conceitos de Teoria dos Números, e o algoritmo de Euclides continua sendo extremamente eficiente até hoje.

Vi uma versão visual deste, e gostaria de compartilhar.

Qual o máximo divisor comum entre 9 e 21?

21 / 9 = 2 (representado pelos dois quadrados de tamanho 9) e sobra 3

9 / 3 = 3 (vide os três quadrados de tamanho 3) e sobra 0

Portanto, o MDC é 3.

A planilha em anexo plota essa visualização de MDC para dois valores quaisquer de a e b.

Exemplo. MDC(10, 2 ) = 2, o último quadrado de tamanho 2.

Outro exemplo, entre 6 e 9 (mdc = 3, o último quadrado 3×3).

Planilha para download em https://github.com/asgunzi/MDC-visual. É necessário ativar macros.

Veja também:

https://ideiasesquecidas.com/laboratorio-de-matematica/