Tag: ForgottenMath

Teoria dos Números Visual – Divisão (2)

Em por Arnaldo Gunziem ForgottenMath, MatemáticaDeixe um comentário

Dando continuidade à Teoria dos Números via “álgebra de pedrinhas”, vamos provar alguns teoremas iniciais.

Teorema: Se a | b e n é inteiro, a | b*n

Relembrando, a divisão é como se o numerador b fosse o número de bolinhas, e o denominador, a, o número de colunas: distribua 8 bolinhas em 4 colunas, e temos o diagrama a seguir.

Se eu multiplicar o número por b um inteiro, digamos n = 2, é só copiar a quantidade de bolinhas anterior e colar em cima. As pedrinhas vão continuar sendo dispostas em a colunas. E o padrão se repete, para qualquer número n inteiro (inclusive negativo).

Teorema: Se a | b e a | c, a | b + c

A ideia aqui é similar. Se b consegue ser colocada em exatamente a colunas, e idem para c, é só empilhar os resultados para concluirmos que (b + c) podem ser colocados em a colunas.

No exemplo acima, 3 | 6 e 3 | 9, então 3 | (6 + 9)

Teorema: Se a | b e a | c, m e n são inteiros, a | b*m + c*n

Observe como a composição de afirmações simples vai gradativamente se tornando mais complexa.

Este teorema é basicamente a combinação dos dois anteriores.

Partindo para um exemplo, se 3 | 6 e 3 | 9, então 3 | (6*2 + 9).

Teorema: n | n

Este teorema é bem simples. Se tenho n pedrinhas, elas podem ser dispostas em n colunas, basta colocar uma do lado da outra.

exemplo: 6 | 6.

Teorema: n | 0

Infelizmente, não há representação visual, porque tenho zero pedrinhas na mão. Se tenho 0 pedrinhas, coloco 0 delas em cada uma das n colunas, mostrando que n | 0.

No próximo artigo sobre o tema, vamos continuar provando teoremas básicos de Teoria dos Nùmeros, usando a “álgebra de pedrinhas”. Fiquem ligados na página!

Veja também:

Teoria dos Números Visual – Divisão

Ideias técnicas com uma pitada de filosofia

https://ideiasesquecidas.com

Rodar algoritmos de apoio em:

https://asgunzi.github.io/TeoriaNumeros01_Divisao/Index.html

Referência: Introdução à Teoria dos Números, José Plínio de Oliveira Santos, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada.

A Espiral musical em Excel

Em por Arnaldo Gunziem ForgottenMath, Matemática1 comentário

A “Espiral musical”, a figura abaixo, é construída somente com retas e uma regra simples de ângulos.

Ela é baseada num vídeo enviado pelo amigo Maurício Cota.

Comece com uma reta qualquer. Depois, trace uma nova reta, adicionando uma rotação com um ângulo.

Continue a sequência, agora adicionando reta com 2*ângulo, depois 3*ângulo…

Na sexta iteração:

Com 100 iterações:

O arquivo Excel aqui (https://1drv.ms/x/s!Aumr1P3FaK7jn2acOg89jOQF3Kl4) implementa a rotina, podendo variar ângulos, tamanho da reta e número de iterações.

Dica: Para plotar uma reta no VBA, basta usar o comando abaixo.

    ActiveSheet.Shapes.AddConnector(msoConnectorStraight, x1, y1, x2, y2).Select

Este vai plotar uma reta começando nas coordenadas (x1,y1) e terminando em (x2,y2).

Alguns exemplos:

Mudando um pouco a rotina, é possível fazer degradê de cores.

Outra dica é colocar um ângulo fracionário. Isso porque um ângulo inteiro uma hora vai se tornar periódico, e a figura não será tão legal.

Trilha sonora: O Rancho das Flores, de Vinícius de Moraes e Johann Sebastian Bach

Vinicius de Moraes – Rancho das flores, com Toquinho e Clara Nunes. – YouTube

Veja também:

Lab. Matemática

https://ferramentasexcelvba.wordpress.com

Prova visual da divergência da série harmônica

Em por Arnaldo Gunziem Analytics, ForgottenMath, Matemática1 comentário

A série harmônica é dada por:

Ela tem esse nome por conta do conceito de harmônicas, em música. Imagine prender uma corda de piano a um tamanho 1, depois a metade do tamanho, 1/3 do tamanho, etc.

É um resultado conhecido desde Bernoulli, no séc XVII, que a série harmônica diverge: o somatório dos termos tende a infinito.

A prova dos livros de matemática consiste em comparar com uma série conhecidamente divergente:

1/2 + 1/2 + 1/2 + …

Se eu somar o número 1/2 infinitamente, claramente a série vai divergir.

A série harmônica é maior do que a série divergente acima, basta rearranjar os termos. A figura acima ilustra as operações envolvidas.

Embora a série harmônica divirja, ela o faz muito lentamente.

Um programinha de 4 linhas em Python, para 1000 termos:

harmonic=0
for i in range(1,1001):
harmonic += 1/i
print(harmonic)

Para 1000 termos, a soma dá 7,48.

Para 1 milhão de termos, a soma dá 14,39.

A soma dos primeiros 1043 termos é menor do que 100, segundo a Wikipedia, cujo link consta abaixo e tem outras informações interessantes.

É como a tartaruga do conto de Esopo: parece que nunca vai chegar lá, mas lenta e consistentemente, sempre cruza a linha de chegada!

Vide também:

https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)

Lab. Matemática

Prova visual de soma de potências de quartos

Em por Arnaldo Gunziem ForgottenMath, Matemática1 comentário

A série 1/4 + 1/4^2 + 1/4^3 + 1/4^4 + … = 1/3 tem uma bela visualização, mostrada abaixo:

Considere só os quadrados azuis. As demais cores são para completar os 2/3 restantes.

Gif animado:

Para acessar o painel iterativo: https://asgunzi.github.io/Soma-quartos/index.html

Contraprova visual do Pequeno Teorema de Fermat

Em por Arnaldo Gunziem ForgottenMathDeixe um comentário

Em post anterior, vimos uma prova visual do Pequeno Teorema de Fermat.

Neste post, vamos ilustrar o mesmo raciocínio, mas para mostrar porque o mesmo teorema não funciona quando os números envolvidos não são primos entre si.

O teorema diz que p | n^p – n, para p primo.

Exemplo. n = 3 e p = 5.
n^p – n = 3^5 – 3 = 240, e 240 é divisível por 5.

Contra exemplo. n = 2 e p = 4.
n^p – n = 2^4 – 2 = 14, e 14 não é divisível por 4 (para o teorema funcionar, p deve ser primo em relação a n).

Vamos visualizar o caso n =2 e p =4.

Há duas combinações de cor única:

Há quatro combinações com 1 azul e 3 brancos. Note o mesmo comportamento descrito anteriormente, de poder fazer um colar e ir girando a cada conta. A repetição só se dá quando girar todas as contas.

De modo similar, há quatro combinações com 3 azuis e 1 branco.

Porém, com 2 azuis e 2 brancos, há uma diferença.

O primeiro grupo de 4 forma um colar que precisa de 4 giros para retornar ao início.

Porém, o grupo da direita precisa de apenas 2 giros para retornar à mesma posição. Isso porque há repetição do padrão de cores, e há repetição porque 2 (cores) e 4 (posições) têm divisor comum (2).

Isso “quebra” a formação de grupos de 4, demonstrando o motivo do pequeno Teorema de Fermat não ser válido para n e p com divisores comuns.

Portanto, essa é a forma de visualizar o importante Pequeno Teorema de Fermat.

Veja também:

Prova visual do Pequeno Teorema de Fermat
Lab. Matemática

Senos de inteiros

Em por Arnaldo Gunziem ForgottenMath, Matemática1 comentário

Padrões interessantes surgem, quando plotamos a função seno para números inteiros [sin(1), sin(2), sin(3), …, sin(N)].

Painel interativo aqui:
https://asgunzi.github.io/Senos-inteiros/index.html

Para N = 500, aparecem alguns hexágonos.

Para N = 1000, fica mais evidente.

Para N = 2000:

Para N= 5000:

A mesma coisa, mas com o eixo X em escala logarítmica.

Achei bonito o padrão formado, e resolvi fazer os gráficos.

Este post é baseado em artigo de John Cook, referenciado abaixo.

Integer sines

Veja também:

Lab. Matemática

Números Triangulares

Em por Arnaldo Gunziem ForgottenMath1 comentário

Números triangulares são aqueles que formam um triângulo, fazendo jus ao próprio nome.

1

3 = 1 +2

6 = 1 +2 + 3

10 = 1 +2 + 3 + 4

Fiz uma animaçãozinha para demonstrar. Para visualização interativa: https://asgunzi.github.io/NumerosTriangulares/

Cada número triangular é a soma da progressão geométrica 1+2+3+…+N, ou seja, podemos usar a fórmula da PG para calcular um número triangular qualquer.

Vide também:

Prova visual da sequência 1+3+5+…
Lab. Matemática

Falsos positivos e a Regra de Bayes

Em por Arnaldo Gunziem ForgottenMath, MatemáticaDeixe um comentário

Em 2009, uma agência de saúde americana recomendou algo contra a intuição: que mulheres na faixa de 40 anos não fizessem exame de mamografia anualmente, e sim, a cada 2 anos.

O exame parece ter alta eficácia: se a mulher tem câncer de mama, o exame dá positivo em 80% dos casos. Se ela não tem câncer, dá falso positivo em 10% dos casos.

Como explicar tal decisão? Via a regra de Bayes.

Segundo estatísticas americanas, câncer de mama atinge 0,4% das mulheres nesta faixa etária.

Ou seja, de 10.000 mulheres, 40 têm, em média, e 9960 não.

Fazendo as contas e jogando tais informações na tabela:

Ou seja, se forem feitos 10.000 exames, 1.028 darão positivo, na média.

O número de falsos positivos é extremamente maior do que o de verdadeiros positivos.

Mesmo se o seu exame deu positivo, há apenas uma chance de 32/1028 ~ 3% de ser câncer de mama de verdade.

Como os malefícios (preocupação, necessidade de realizar exames adicionais) eram muito superiores aos benefícios, a recomendação citada, de fazer o exame a cada 2 anos.

Porém, este tipo de tema é sempre polêmico, e a regra de Bayes pode ser atualizada a cada nova informação (digamos, melhoria na qualidade dos exames).

A regra de Bayes, formalmente, envolve probabilidades condicionais:

Probab. de ter câncer, dado que o exame deu positivo = prob. do exame dar positivo dado que tem câncer de verdade x prob de ter câncer de verdade / prob da mamografia dar positivo.

Isso dá (0,8 * 0,004) / (0,8 * 0,004 + 0,1 * 0,996) = 0,03

Porém, eu gosto mais de entender o exemplo do que decorar essa fórmula confusa.

Dados baseados no livro “Theory that would never die”, de Sharon McGrayne.

https://amzn.to/3zHXPqt

Veja também:

Lab. Matemática

Prova visual da sequência 1 + 2 + 4 + 8 = 2^N – 1

Em por Arnaldo Gunziem ForgottenMath, Matemática1 comentário

A progressão geométrica 1 + 2 + 4 + 8 + …, com cada elemento sendo o dobro da anterior, tem soma igual a 2^N-1, onde N é o número de elementos da soma.

Há uma prova visual muito bonita desta.

Imagine que tomamos emprestado um quadrado, o vermelho, e somamos o primeiro elemento (1):

O próximo elemento da soma, o 2, colocamos à direita – espelhando a soma anterior.

O próximo elemento da soma, o 4, é representado abaixo, de novo espelhando a soma anterior.

E assim sucessivamente. Para 8:

Para o 16:

Com 10 elementos:

Criei um programinha para visualizar dinamicamente essa soma geométrica. É da onde os prints acima foram tirados. Segue o link:

https://asgunzi.github.io/somageometricaD3

Agora, um pouco da teoria. Uma soma de PG finita é dada pela fórmula:

No caso da sequência acima, a1 = 1, q = 2, para N elementos. Então, fica S = 1*(2^N-1)/(2-1) = 2^N-1, que é a mesma conta.

Eu prefiro a prova visual…

Veja também:


Visualize a sequência de Fibonacci https://asgunzi.github.io/Fibonacci

Fórmula de soma de PA visual

https://ideiasesquecidas.com/2015/09/04/soma-visual-de-pa

Laboratório de Matemática


https://ideiasesquecidas.com/laboratorio-de-matematica

Ideias Analíticas Avançadas

Em por Arnaldo Gunziem ForgottenMath, Matemática, Pesquisa OperacionalDeixe um comentário

Estou lançando uma publicação na plataforma Medium: a Ideias Analíticas Avançadas (https://medium.com/ideias-anal%C3%ADticas-avan%C3%A7adas).

Ver no Medium.com

Os objetivos são:

  • Escrever sobre Analytics Hard: Otimização, Matemática, Python, Computação Quântica, com código e tudo
  • Convidar outros autores a publicar sobre o tema.

Fica já o convite, quem quiser escrever sobre alguns dos temas e divulgar ali.

A planilha do Chicão

Em por Arnaldo Gunziem ForgottenMath, Inovação, PensamentosDeixe um comentário

Participei de um projeto que tinha como alvo eliminar a “Planilha do Chicão”. Uma planilha de decisão: sentava muita gente numa mesa, cada um falava o que planejava fazer, e era tudo consolidado de forma semi-estruturada nesta. Simples, rápida, e não muito precisa.

O trabalho envolveu criar uma ferramenta superior: coletar informações, criar indicadores, propor soluções ótimas e voltar o resultado para análise. Tudo OK.

Anos depois, retorno para ver como o trabalho está. Realmente, a ferramenta de otimização está rodando, com melhorias aqui e acolá. Porém, lá no finalzinho do processo, na palavra final da decisão, quem eu encontro? A planilha do Chicão, firme e forte.

O Chicão já se aposentou faz anos também, então não é resistência à mudança. Talvez, no final das contas, a decisão seja realmente dos seres humanos, diante de inúmeras variáveis impossíveis de prever.

Moral da história: não subestime a planilha do Chicão.

Representação visual do MDC

Em por Arnaldo Gunziem ForgottenMath1 comentário

Qual o máximo divisor comum entre 9 e 21?

O MDC é um dos principais conceitos de Teoria dos Números, e o algoritmo de Euclides continua sendo extremamente eficiente até hoje.

Vi uma versão visual deste, e gostaria de compartilhar.

Qual o máximo divisor comum entre 9 e 21?

21 / 9 = 2 (representado pelos dois quadrados de tamanho 9) e sobra 3

9 / 3 = 3 (vide os três quadrados de tamanho 3) e sobra 0

Portanto, o MDC é 3.

A planilha em anexo plota essa visualização de MDC para dois valores quaisquer de a e b.

Exemplo. MDC(10, 2 ) = 2, o último quadrado de tamanho 2.

Outro exemplo, entre 6 e 9 (mdc = 3, o último quadrado 3×3).

Planilha para download em https://github.com/asgunzi/MDC-visual. É necessário ativar macros.

Veja também:

https://ideiasesquecidas.com/laboratorio-de-matematica/