Quantos envelopes preciso comprar para completar o álbum da Copa do Mundo?

Este blog não tem foco em matemática, mas não dá para resistir a um desafiozinho.
 
O meu amigo Marcos Melo quer completar o álbum de figurinha da Copa do Mundo para os netos. Só que, antes disso, quer estimar o custo da brincadeira. A pergunta: qual a probabilidade de completar o algum da Copa, comprando n envelopes?
São 682 figurinhas, 5 figurinhas por envelope.
 
 
Resposta curta.
 
– Com 600 envelopes, 0,02% de chance de completar o álbum.
 
– Com 1000 envelopes, 65% de chance de completar o álbum.
 
– Com 1500 envelopes, 99% de chance de completar o álbum.
 
O Excel / VBA aqui tem um simulador de sorteio de figurinhas por envelope, e a fórmula teórica da probabilidade, para brincar um pouco.
 
           
 
Resposta longa, para quem gosta.
 
 
Imagine todas as figuras em ordem, cada uma sendo uma caixinha.
 
 Figurinhas.png
 
Hipótese: Não há figurinhas especiais, todas têm igual chance de sair no envelope.
 
 

Vamos focar em uma figurinha qualquer, a figurinha F.
 
Se eu abro apenas um envelope, a probabilidade da figurinha F ser sorteada é 5/682. E a de não ser sorteada é o complemento disto.
 
p(fig F SER sorteada com 1 envelope) = 5/682

p(fig F NÃO ser sorteada com 1 envelope) = 1 – 5/682


Outra hipótese aqui: as 5 figurinhas são diferentes, se puderem ser iguais, a fórmula é ligeiramente diferente.
 

 


Para facilitar a notação, vamos chamar a primeira linha de p(1) e a segunda de p(0), onde 1 quer dizer “sucesso, achei a figurinha” e 0 quer dizer “não encontrei a figurinha”.
p(1) = p(fig F SER sorteada com 1 envelope) = 5/682

p(0) = p(fig F NÃO ser sorteada com 1 envelope) = 1 – 5/682



 

Se eu abro n envelopes, posso calcular a probabilidade da figurinha F ser sorteada como:

p(fig F NÃO ser sorteada em
n envelopes) = p(0) * p(0) * … *  p(0)  = p(0)^n = (1 – 5/682)^n

p(fig F SER sorteada em
n envelopes) = 1 –  p(0 em n envelopes) = 1 – (1 – 5/682)^n
Hipótese aqui, e bem razoável: a probabilidade da figurinha ser sorteada é independente para cada envelope.



Agora, considerando todas as figurinhas do álbum.
 
p(completar o álbum) =  p(1 na primeira figura) x p(1 na segunda figura) … x p(1 na 682 figura)
= (1 – (1 – 5 / 682)^n) ^682


Outra hipótese aqui: a probabilidade de uma figurinha ter sido sorteada independe da probabilidade de outra figura do álbum ser sorteada. Infelizmente, esta hipótese não é verdadeira, porque se uma figura não foi sorteada quer dizer que alguma outra foi, mas podemos considerar que a hipótese é aproximadamente válida.

Conclusão
 

p(completar o álbum) = (1 – (1 – 5 / 682)^n) ^682

onde n é o número de envelopes comprados.

Com 600 envelopes, 0,02% de chance de completar o álbum.

Com 1000 envelopes, 65% de chance de completar o álbum.

Com 1500 envelopes, 99% de chance de completar o álbum.

O programinha no Excel simula os sorteios, e realmente acontece comportamento próximo à fórmula: com 600 envelopes nunca completo o álbum, com 1500 sempre completo o álbum, e com 1000 na maioria das vezes completo, mas às vezes, não completo.

Sorteio.JPG

É lógico que, na prática, faz muito mais sentido trocar as figurinhas repetidas com outras pessoas do que sair comprando a esmo. E, também, provavelmente há níveis de raridade diferentes entre figurinhas, o que torna a coleção mais difícil ainda.

É claro também que, se fizer muita conta, a pessoa acaba desistindo do álbum. Então, o negócio é esquecer isto tudo e se divertir.

 

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