Empilhamento de cartas e série harmônica

Quantas cartas consigo empilhar, de modo que a borda das superiores saiam da mesa e elas se sustentem apenas por gravidade? Qual distância máxima consigo chegar?

Este probleminha é relativamente simples, e interessante, por remeter à série harmônica.

Para analisar o raciocínio, deve-se pensar da carta de cima para as cartas de baixo.

Com uma carta, posso colocar o centro de gravidade exatamente na borda da mesa (representada pelo triângulo). Ou seja, ando lateralmente meia carta. Como hipótese, podemos considerar que a carta tem tamanho 2, sendo assim, meia carta tem tamanho 1, para facilitar as contas seguintes.

Com duas cartas, considera-se que o centro de gravidade da primeira carta está exatamente na borda da segunda carta. O ponto de equílibro do centro de gravidade do sistema é dado por pela soma de distâncias * pesos.

Nesse caso: (1-x) P = x*P

-> x = 1/2

Com três cartas e o mesmo raciocínio:


(1-x)* P = x*2*P

-> x = 1/3

Temos um padrão, e para a k-ésima carta:
(1-x)* P = x*(k-1)*P

-> x = 1/k

Ou seja, o total que a pilha anda lateralmente é dado exatamente pela série harmônica:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … + 1/k

Sobre a série harmônica, o notável matemático Leonard Euler, no século 18, notou que esta tem uma similaridade enorme com a função logaritmo. Mais formalmente, temos a constante de Euler, dada por:

e

γ≈0.5772156649

Ou seja, a soma da série harmônica e o logaritmo neperiano tendem a uma constante.

Dá para perceber a semelhança entre as séries através da prova da divergência da série harmônica (veja aqui). Para cada avanço adicional na soma da série, é necessária uma quantidade exponencialmente maior de termos (ou seja, para cada metro lateral adicional, é necessária uma quantidade exponencialmente maior de cartas).

Uma curiosidade é que não se sabe até hoje se a constante de Euler é racional ou irracional.

Bom, respondendo à pergunta do problema. A série harmônica diverge, ainda que muito lentamente, de modo que a pilha pode andar na lateral uma distância infinita! É claro que, para isso, será necessária uma quantidade infinita também de cartas. Nada mau, para uma pergunta tão ingênua!

Veja também.

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_constant

https://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html

A Espiral musical em Excel

A “Espiral musical”, a figura abaixo, é construída somente com retas e uma regra simples de ângulos.

Ela é baseada num vídeo enviado pelo amigo Maurício Cota.

Comece com uma reta qualquer. Depois, trace uma nova reta, adicionando uma rotação com um ângulo.

Continue a sequência, agora adicionando reta com 2*ângulo, depois 3*ângulo…

Na sexta iteração:

Com 100 iterações:

O arquivo Excel aqui (https://1drv.ms/x/s!Aumr1P3FaK7jn2acOg89jOQF3Kl4) implementa a rotina, podendo variar ângulos, tamanho da reta e número de iterações.

Dica: Para plotar uma reta no VBA, basta usar o comando abaixo.

    ActiveSheet.Shapes.AddConnector(msoConnectorStraight, x1, y1, x2, y2).Select

Este vai plotar uma reta começando nas coordenadas (x1,y1) e terminando em (x2,y2).

Alguns exemplos:

Mudando um pouco a rotina, é possível fazer degradê de cores.

Outra dica é colocar um ângulo fracionário. Isso porque um ângulo inteiro uma hora vai se tornar periódico, e a figura não será tão legal.

Trilha sonora: O Rancho das Flores, de Vinícius de Moraes e Johann Sebastian Bach

Vinicius de Moraes – Rancho das flores, com Toquinho e Clara Nunes. – YouTube

Veja também:

https://ferramentasexcelvba.wordpress.com

Uma moça formosa, o último Teorema de Fermat e o Prêmio Wolfskehl

Como um amor não correspondido pode influenciar num dos teoremas mais famosos da matemática?

O alemão Paul Wolfskehl, descendente de um banqueiro, era médico de formação, porém, também estudou matemática nas universidades de Bonn e Bern, em torno de 1880.

Nessa época, ele estava terrivelmente apaixonado por uma jovem moça do seu círculo social. Contudo, já desde esta época, jovens nerds não atraíam moças formosas. Após inúmeros “foras”, ele tinha perdido totalmente as esperanças de um casamento, e também a motivação de viver…

Decidido, Wolfskehl planejou cuidadosamente o seu suícidio. Marcou data e hora exatas, testamento feito e todos outros procedimentos completos para o ritual.

Entretanto, ele tinha sido eficiente demais, e ainda faltavam várias horas para o momento previsto. Para matar o tempo, ele decidiu estudar sobre um curioso teorema que tinha acabado de ser provado.

Este era o último teorema de Pierre de Fermat, que estava fascinando matemáticos desde sua formulação, em meados de 1600.

O grande Teorema de Fermat afirma que não existem números inteiros a, b e c, para n>2, tais que:

a^n + b^n = c^n

Para n = 2, este se reduz ao famoso Teorema de Pitágoras, que todos nós estudamos no primeiro grau.

Na época de Wolfskehl, acreditava-se que o teorema tinha sido provado, pelo matemático Augustin Cauchy. Um teorema resolvido não apresenta um desafio. São os desafios das conjecturas não resolvidas que movem os matemáticos, como se fosse uma corrida do primeiro ao chegar ao topo do Everest ou ao Pólo Sul.

Na fatídica madrugada de seu suicídio, Wolfskehl passou horas concentrado, e descobriu um erro lógico na formulação de Cauchy. Com isso, o Teorema de Fermat continuava de pé!

Melhor ainda, quando Wolfskehl completou o raciocínio, o horário do suicídio já tinha passado.

Motivado pela deusa da Matemática, infinitamente mais bela do que qualquer contrapartida feminina, Wolfskehl decidiu continuar a viver.

Para a tristeza de seus parentes e de seu mordomo, Wolfskel tinha outros planos para o seu testamento. Agora, ele oferecia um prêmio de 100 mil marcos (equivalente a 1 milhão de libras em dinheiro atual), para quem decifrasse o Último Teorema de Fermat.

A notícia de que o teorema continuava não resolvido e o prêmio oferecido ajudaram a aumentar o interesse no tema, nas décadas seguintes.

O Último Teorema de Fermat foi finalmente provado cerca de 100 depois, por Andrew Wiles.

Essa história curiosa foi publicada no livro “O último teorema de Fermat”, por Simon Singh, recontada aqui com alguma simplificação aqui, algum exagero acolá.

Link da Amazon para o livro:

https://amzn.to/30ny8Pd

Veja também:

https://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Wolfskehl

https://simonsingh.net/media/articles/maths-and-science/the-wolfskehl-prize/

Prova visual da aproximação de raiz (a + b)

A expressão a seguir fornece uma aproximação da raiz (a + b), quando b<<a (b muito menor que a):

Dá para interpretar facilmente a aproximação, pensando em áreas.

A raiz quadrada de a é o lado do quadrado que tem área a.

Suponha que queremos a raiz de a + b, e o quadrado a seguir tenha exatamente as dimensões desejadas.

Como fazer para encontrar o valor desconhecido x?

Se a área verde é igual a b, metade dela será b/2, e essa área é aproximadamente igual a raiz(a) * x, desprezando a “quina” que não faz parte do retângulo.

Assim, temos x = b/(2*raiz(a)), e a dedução da fórmula citada.

Note que o erro equivale à parte em vermelho do diagrama.

E o erro será menor tanto quanto b for menor do que a.

Veja também:

https://ideiasesquecidas.com/laboratorio-de-matematica

Demonstração visual de seno e cosseno

Segue no link uma animação, mostrando o seno e cosseno como projeções de um ponto ao redor de um círculo.

Fiz essa animaçãozinha no pacote D3 do javascript, que é excelente para esse tipo de demonstração.

Segue aqui para brincar um pouco:

https://asgunzi.github.io/Seno-Cosseno-Visual/

Veja também:

Livros e Olimpíadas

Aproveitando a onda das Olimpíadas, aproveito para divulgar que também fui medalha de bronze. Foi nas Olimpíadas Brasileiras de Matemática de 1997.

O livro acima é da SBM (Sociedade Brasileira de Matemática), e contém enunciados e resoluções de provas antigas da OBM. Além disso, no final do livro, tem uma listagem com os premiados de cada olimpíada da coletânea – e confesso que comprei o livro só para ver se meu nome estava lá!

Para estudar para esta prova, em 1997, um livro que ajudou muito foi o Olimpíadas Brasileiras de Matemática, de 1o a 8o (ou seja, a primeira versão da coletânea). Naquela época pré-internet era bem difícil encontrar material bom, no nível alto desse tipo de prova.

Hoje em dia, é bem mais simples. Para quem gosta de matemática, a loja da SBM é um prato cheio.

https://loja.sbm.org.br/

Outra recomendação de livro de matemática é o abaixo: 12 na matemática e na vida. Conta algumas histórias sobre números e matemática, de forma simples e didática.

O motivo da recomendação é que o autor, Sinésio, é amigo e colega de empresa meu.

Este livro foi publicado há anos atrás e só é possível encontrar em sebos.

Ficam as dicas.

Veja também:

Resumos

Ideias Analíticas Avançadas

Estou lançando uma publicação na plataforma Medium: a Ideias Analíticas Avançadas (https://medium.com/ideias-anal%C3%ADticas-avan%C3%A7adas).

Os objetivos são:

  • Escrever sobre Analytics Hard: Otimização, Matemática, Python, Computação Quântica, com código e tudo
  • Convidar outros autores a publicar sobre o tema.

Fica já o convite, quem quiser escrever sobre alguns dos temas e divulgar ali.

A Espiral de Arquimedes

A Espiral de Arquimedes é uma curva fácil de fazer, usando até o Excel.

Imagine que vou andando ao longo de uma reta, e marcando uma série de pontos a cada vez – é como se um raio r estivesse crescendo.

Imagine agora, que a reta está girando a uma velocidade constante – cada reta está num ângulo theta.

A localização dos pontos forma a Espiral de Arquimedes.

No Excel, basta colocar que o raio e o ângulo theta vão crescendo a velocidade constante.

As coordenadas de cada ponto são r*cos(theta) e r*sin(theta).

Planilha para download no Github:

asgunzi/EspiralArquimedes: Implementação da espiral de Arquimedes em Excel (github.com)

Vide também:

Laboratório de Matemática (ideiasesquecidas.com)

Códigos, genética e puzzles

Algumas recomendações de livros, para quem gosta da parte de exatas.

  1. O livro dos códigos, Simon Singh.

Conta a história da criptografia, desde os primórdios até os dias de hoje.

Especialmente interessante é uma descrição detalhada de como o Enigma funcionava. O Enigma era o dispositivo de criptografia dos alemães, na Segunda Grande Guerra, e era considerado indecifrável.

Um grupo de cientistas ingleses, incluindo Alan Turing, conseguiu decifrar o Enigma, dando aos aliados uma vantagem estratégica enorme (eles conseguiram ter a confiança de que o Dia D ocorreria sem grandes problemas, por exemplo)

Link da Amazon: https://amzn.to/3kPY3DG

  1. Genética e DNA em Quadrinhos, Mark Schultz.

Eu gosto bastante do poder de simplificação e visualização de temas complexos em quadrinhos.

O livro é uma introdução divertida à genética, incluindo Gregor Mendel, Charles Darwin e a famosa dupla hélice do DNA, descoberta pela dupla Watson e Crick.

Link da Amazon: https://amzn.to/3lMhAWZ

Aproveitando, na mesma linha, Química em Quadrinhos, de Larry Gonick:
Link da Amazon: https://amzn.to/3fkbjiH

  1. Mania de Matemática, Ian Stewart.

O matemático Ian Stewart é autor de vários livros populares sobre matemática.


Neste livro, ele descreve com bastante detalhe alguns puzzles. O nível é bem alto, são puzzles difíceis.

Link da Amazon: https://amzn.to/35QmoFp

Um exemplo é a “Quadratura do Quadrado”: como cobrir um quadrado com quadrados menores, de tamanhos diferentes?

Como a “quadratura do quadrado” é um problema difícil demais, ataquei a “quadratura do retângulo” no link a seguir.

https://ideiasesquecidas.com/2019/11/15/quadraturas-do-retangulo/

Na mesma linha, tem o Mania de Matemática II:

Link da Amazon: https://amzn.to/2KnT8gF

Boa diversão!

Veja também:

https://ideiasesquecidas.com/2016/06/19/calculo-em-quadrinhos-bioquimica-em-quadrinhos/

https://ideiasesquecidas.com/2020/09/18/nietzsche-em-quadrinhos/

Cardióides circulares

Cardióides circulares são figuras como as seguintes.

ccard01

 

É outra maneira de desenhar essas formas, em contraste com a versão linear apresentada em post passado:

CardiodLin.png

Fiz uns programinhas interativos no Javascript – pacote D3, para brincar. Segue links:

 

Implementação de Cardióides circulares:

https://asgunzi.github.io/CircularCardioids

 

Implementação de Cardióides lineares:

https://asgunzi.github.io/Cardioids/

 


 

Como traçar esses cardióides circulares no braço?

 

Comece dividindo um círculo em N pontos:

 

cardexp01.jpg

Depois, tome um ponto focal de referência (no caso, é o ponto mais à direita).

Trace um círculo com centro no primeiro ponto e raio tocando o ponto de referência:

cardexp02.jpg

A seguir, faça o mesmo com o segundo ponto:

cardexp03.jpg

E assim sucessivamente:

cardexp04.jpg

Até completar todo o círculo.

cardexp05.jpg

 

Mudando o ponto focal e o número de pontos, tenho várias versões para brincar:

ccard02.jpg

ccard04.jpgccard03.jpg

 

Novamente, seguem os links para manipular tais curvas:

Implementação de Cardióides circulares:

https://asgunzi.github.io/CircularCardioids

 

Implementação de Cardióides lineares:

https://asgunzi.github.io/Cardioids/

 

E há uma versão em Excel também:

https://ferramentasexcelvba.wordpress.com/2018/09/02/mil-cardioides-no-excel

 

 

 

Quem dá bola para as Olimpíadas… de Matemática?

No mesmo mês em que o Brasil sedia as Olimpíadas esportivas, as Olimpíadas de conhecimento (Matemática, Astronomia) têm verba cortada.

Corte verbas.JPG

Como medalhista olímpico de Matemática (medalha de bronze na Olimpíada Brasileira de Matemática de 1997), tenho propriedade para dizer duas coisas sobre este corte:

1 – A matemática de ponta não será nem um pouco afetada.

2 – Entretanto, a se manter este quadro, os efeitos serão na matemática de base.


As Olimpíadas de Matemática

post-obm.jpg

Em 1996, fiz pela primeira vez na vida uma prova de Olimpíada de Matemática. Sempre gostei muito do assunto, e já tinha passado um bom tempo estudando matemática. Mas aquela matemática era diferente. Dezenas de vezes mais difícil. Eu não tinha a menor noção da onde começar para atacar as questões. Obviamente, não passei da primeira fase.

Mas participar das Olimpíadas gerou dividendos. Fiquei sabendo que o Colégio Etapa dava aulas gratuitas de preparação para as Olimpíadas. Era toda quinta a noite, aberto para o público.

Como era de graça, e com aulas de muita qualidade, me inscrevi. Na primeira semana, eu e mais umas 200 pessoas tivemos aula com o professor Edmílson Motta, um dos maiores especialistas em Olimpíadas de Matemática do Brasil. Era uma aula sobre paridade, e ele resolveu problemas aparentemente impossíveis com truques simples.

Paridade.JPG
Guardo até hoje os arquivos das aulas preparatórias

Na segunda semana, o público já tinha diminuído para umas 50 pessoas. Na terceira, umas 15 pessoas. Esta média, de umas 15 pessoas, se manteve até o final do curso.

A primeira dica, para quem quiser encarar: deve-se jogar fora o livro texto da escola, e estudar algo mais pesado. No meu caso, foram as 10 edições dos Fundamentos de Matemática Elementar. Cada livro aborda um tema da matemática com uma profundidade ordens de grandeza superior ao que se aprende na escola. Lembro que fui colecionando esses livros. Ia em sebos no centro de São Paulo procurar, e comprava por 10 reais na época.

1276783760_100519758_1-Fotos-de--Fundamentos-da-Matematica-Elementar-Resolucao-1276783760.jpg

 

A segunda dica é que dominar toda a matemática do ensino médio não é suficiente. Não faz nem cócegas. Não chega aos pés do que é necessário. Isto porque as Olimpíadas, têm um foco muito forte em Teoria dos Números, o mais nobre (e possivelmente difícil) assunto de toda a Matemática. O prof. Edmílson e alguns outros, já na quinta ou sexta aula introduziram Teoria dos Números, e ficaram um bom tempo nisto.

 

TeoriaNumeros.JPG

Eu era um dos mais despreparados nesta competição. Tinha gente que tinha aulas deste alto nível desde o primeiro ano do ensino médio, e duas vezes por semana – um privilégio dos alunos do Colégio Etapa. Tinha um colega da minha idade que já tinha ido para a Olimpíada Internacional de Matemática duas vezes, além das Olimpíadas Ibero-americanas, regionais, etc…

 

Portanto, as pessoas que realmente são top nesse negócio, e aspiram a alguma medalha, geralmente são de classe média para cima e já vem estudando matemática avançada de forma intensiva há muitos, muitos anos, e com colegas e professores do mesmo nível.

 

TeoremaEulerFermat.JPG

 

O grande prejudicado com este corte de verba não é esse pessoal de ponta, mas sim os milhares de estudantes do ensino médio, que poderiam ter um contato maior com a matemática num nível mais elevado e evoluir com isto. Principalmente, aqueles que são mais pobres e que têm menos acesso à informação.

 

Quem sabe, se o Brasil sediasse as Olimpíadas Internacionais de Matemática, tivéssemos mais alunos que pudessem aprender uma fórmula a mais, que descobrissem que há problemas que não podem ser resolvidos com o arsenal que têm, que descobrissem que há colégios que dão bolsas para quem se interessa no assunto. Ou que encontrassem outras pessoas com a mesma paixão pela matemática. Quem sabe, talvez tivéssemos futuramente melhores profissionais, nivelando por cima o aprendizado.

 


 

Conclusão

Numa Olimpíada esportiva, o objetivo das pessoas que assistem não é se tornar um Michael Phelps ou um Usain Bolt. Mas sim, inspirar-se no exemplo deles para performar mais e melhor. Quem sabe, nadar com mais disciplina e determinação. Ou mudar o paradigma de que é impossível, para o de que pode ser possível, contanto que me esforce. Ou, quem sabe, de que é possível dominar este assunto rico, bonito e abstrato chamado Matemática.

 

 


 

Reflexão

Muitos me perguntam se eu uso o que aprendi nessas Olimpíadas.

Diretamente, pouco. As vezes, uso uma função módulo no Excel e ninguém entende.

Mas indiretamente, sim, bastante, demais. Não só pelo desenvolvimento no raciocínio. Se não fossem pelas Olimpíadas, talvez não tivesse conhecido o cursinho Etapa, talvez não tivesse ganhado uma bolsa de estudos integral nela. Sem isso, dificilmente entraria no ITA (vide post) ou em alguma outra faculdade de ponta. A minha carreira seria totalmente diferente da que é hoje.

Sou um grande fã das Olimpíadas de Matemática, e tenho convicção de que buscar o topo me fez alçar voos altos.

 
Premiados na Olimpíada Brasileira de Matemática de 1997:
http://www.obm.org.br/opencms/premiados/1997.html

 

 

Logaritmos neperianos

Tábua de logaritmos

Há uns 10 anos, estava limpando a casa de meus pais, quando encontrei um livro sobre Tábuas de Logaritmos. Eu queria jogar fora, porque hoje em dia qualquer calculadora ou computador faz conta de logaritmos, dispensando a tábua (tabela). Mas o meu pai não deixou jogar fora de jeito nenhum.


O livro era exatamente o da figura a seguir.

livro-tabuas-de-logaritmos-7-decimais-irmos-maristas-5862-MLB5004702390_092013-O

Uma vez li no jornal alguém criticando o sistema de ensino, e dava como exemplo a inutilidade de se aprender logaritmos. Dizia que Logaritmos neperianos (de base e) pareciam coisas do Sr. Spock, de Star Trek.


Afinal, para que serve um logaritmo?

A grande maioria das pessoas não usa nem vai usar logaritmos. Mas, em engenharia e matemática, o logaritmo é uma ferramenta básica e essencial. E, historicamente, estaríamos centenas de anos atrasados não fosse o advento do logaritmo.

Um logaritmo é um operador matemático que transforma exponenciação em multiplicação, multiplicação em soma. Funciona a partir das próprias propriedades dos números, é apenas um ponto de vista diferente. Mas, reescrever a mesma coisa de forma diferente pode fazer toda a diferença.

Qual a conta mais fácil?

x = 98* (234 ^13)

ou

x = 1,99+13 * 2,36

?

Fazer multiplicação é muito mais difícil que somar. Fazer uma exponencial é muito mais difícil do que uma multiplicação. O logaritmo é útil porque torna o problema uma ordem de grandeza menor.

A segunda conta é muito mais fácil que a primeira, mas é a mesma coisa. Basta consultar log(98) e log(234) na tábua de logaritmos do meu pai:

log (x) = log (98*234^13)

= log(98) + 13 * log (234)

=  1,99+13 * 2,36

= 32,79

Consultando a tábua de logaritmos de novo, mas agora procurando a inversa:

x = 10^32,79 = 6,21 * 10 ^32

Conferi no Excel, para ver se dava a mesma coisa. O arquivo está aqui.


Logaritmos e Engenheiros Brilhantes

Hoje em dia temos computadores pessoais. Mas não era assim há 20 anos… As pessoas tinham que fazer a conta com calculadoras. E, antes das calculadoras, tinham que fazer a conta no braço.

Imagine o projeto de uma ponte. Ou de uma catedral. Ou de um avião. Os aviões não esperaram os computadores ficarem prontos para existirem. Os engenheiros tinham que resolver centenas de equações para projetar as maravilhas de nosso mundo.

E é aí que entra o logaritmo. É muito mais fácil tirar o log, transformar a multiplicação em soma, e fazer o log inverso (com a ajuda da tábua de logaritmos), do que fazer exponencial “na raça”.

O logaritmo poupou centenas de milhares de horas de trabalho dos mais brilhantes engenheiros, matemáticos e astrônomos da face da Terra, desde meados de 1600 até o surgimento de computadores eletrônicos. O logaritmo ajudou a construir as pontes, as catedrais, os carros e os aviões que existem hoje.

Ainda hoje, num era pós-computadores, todas as ciências exatas fazem uso da função exponencial e logaritmo, a fim de descrever e analisar fenômenos que possam ser modelados com tais funções.


A tábua de logaritmos do meu pai está guardada até hoje. Portanto, se houver uma terceira guerra mundial e a humanidade voltar para a idade das pedras, vou fugir com a tábua de logaritmos debaixo do braço, para ajudar a reconstruir a civilização.

live-long-mr-spock-tobias-woelki

Saudações Vulcanas (ou neperianas)

Nota

Peter Thiel, empreendedor que ajudou a fundar o PayPal e o Facebook, diz que uma solução nova só funciona se for pelo menos 10 vezes melhor. Ou seja, se for uma ordem de grandeza melhor. Ou melhor, se for um logaritmo melhor.

Obs.
“Tábua” tem o significado de “tabela”.


Vide também:

Por que negativo vezes negativo é positivo?

Como resolver o dodecaedro mágico

Confesso que colei – sobre a cola numa das escolas mais difíceis do país.