O método de Monte Carlo foi criado por Stanislaw Ulam e John Von Neumann, no esforço de criar a bomba de Hidrogênio, na época da Segunda Guerra.

Consiste em fazer amostras aleatórias do que queremos simular, segundo propriedades e restrições desejadas, e mensurar os resultados. Surgiu numa época em que os computadores também estavam sendo inventados, o que foi uma boa combinação: computadores são excelentes em tarefas simples e repetitivas, como esse tipo de simulação.

Vamos fazer um pequeno exercício, no Excel.

Imagine um círculo de raio 1, que tem área pi*r^2. Este círculo, inscrito num quadrado de lado 2 (área 4).

A razão entre a área do círculo e a área do quadrado é de pi/4 = 0,78539…

Se eu “disparar” um número de tiros aleatórios neste alvo, e contar quantos pontos ficaram dentro do círculo versus o total de pontos, a proporção tem que ir convergindo para a fórmula calculada. Assim, com um número infinito de tiros, consigo estimar o valor de Pi.

Computacionalmente é fácil fazer a conta. Basta um gerador de número aleatórios.

No Excel, a função “=ALEATÓRIO()” dá um valor entre 0 e 1. Quero um valor entre -1 e 1, então faço apenas uma continha para reparametrizar o resultado: “=2*(ALEATÓRIO ()-0,5)”.

Sorteio os valores x e y, utilizando a fórmula acima.

A seguir, calcular se x e y são menores do que 1 ou não.

A fórmula do círculo é x^2 + y^2 = 1; se x^2 + y^2 for menor que 1, está dentro do círculo, senão, está fora.

=SE(RAIZ(B4^2+C4^2<=1);”Sim”;”Não”)

Conto quantos pontos ficaram dentro e quantos ficaram fora, e vejo a proporção.

Quanto maior o número de amostras, mais próximo de pi/4  = 0,78539 devo chegar.

Para o exemplo abaixo, a estimativa é de 3,153.. (valor real Pi = 3,14159…)

Teclando F9, o Excel sorteia novamente os números aleatórios, dando outro cenário de resultados.

Vide arquivo no drive MonteCarlo_pi.xlsx.

O Método de Monte Carlo e derivados tem aplicações práticas extremamente valiosas para a indústria, nos dias de hoje. Simulação de eventos discretos, em geral, ajudam a dimensionar o número ótimo de atendentes de um help desk, o tamanho de pátios de armazenagem, número de empilhadeiras de um armazém, e assim sucessivamente.

Lição de casa.

Ao invés de um círculo, aplicar o mesmo método para um losango.

Siga o template em anexo.

Dica: para um losango como o mostrado, abs(x) + abs(y) <=1.

Veja também:

Lab. Matemática

Stanislaw Ulam, Aventuras de um Matemático