Um dos resultados mais belos da Matemática é a prova de Euclides, sobre a infinitude dos números primos, escrita há mais de 2.300 anos atrás.

Um número é primo se pode ser dividido apenas por 1 e por si mesmo, sem deixar resto.

A prova é por contradição. Primeiro Euclides supôs que o número de primos fosse finito: {p1, p2, …, pN}.

Para ilustrar, suponha que o conjunto de todos os primos seja formado apenas pelos três primeiros, {2, 3, 5}:

A seguir, Euclides afirmou que existe pelo menos um primo maior do que todos os primos finitos conhecidos: p1p2…*pN +1, ou seja, o produto de todos os primos + 1. Tal número não é divisível por nenhum dos primos anteriores, já que restaria 1 na divisão.

No caso do exemplo, tal número seria igual a 2 * 3 * 5 + 1 = 31.

Visualizando, o novo primo não é divisível por 2:

Nem por 3:

Nem por 5:

Sempre vai restar 1 na divisão.

Portanto, como sempre é possível encontrar esse primo adicional para um conjunto de primos finito, a conclusão é a de que o conjunto dos números primos é infinito.

Veja também:

https://ideiasesquecidas.com/2021/08/25/poligonos-e-conexoes/

Lab. Matemática