Vou começar uma série de artigos, explicando a bela Teoria dos Números a partir de uma abordagem visual, que chamei de “álgebra de pedrinhas”.

A motivação é que os livros comuns de matemática exploram pouco os recursos visuais, e a matemática fica mais intuitiva com objetos do mundo real.

Vamos começar com a divisão.

Definição. Se a e b são inteiros, dizemos que a divide b, denotando por a|b, se existir um inteiro c tal que b = a*c.

Por exemplo, 12 dividido por 4 = 3, pode ser interpretado por 12 bolinhas, dispostas em 4 colunas, cada coluna com 3 bolinhas de altura.

Convido o leitor a experimentar o algoritmo em:

https://asgunzi.github.io/TeoriaNumeros01_Divisao/Index.html

Definição: O algoritmo da divisão.

Dados dois inteiros a e b, b>0, existe um único par de inteiros q e r tais que:

a = q*b+r,

com 0<= r < b

q é chamado de quociente e r de resto da divisão de a por b.

Outro exemplo: 8 dividido por 2 = 2 colunas com 4 bolinhas de altura (o quociente). No caso, o resto da divisão é zero.

Vejamos um caso com resto na divisão.

Para o caso 13 / 4, não consigo arrumar 13 bolinhas em 4 colunas. Consigo arrumar 4 colunas com 3 bolinhas de altura (quociente), e vai “sobrar” uma linha com uma bolinha. Essa “sobra” é o resto da divisão.

13 = 4*3 + 1

(numerador = denominador*quociente + resto)

Neste caso, é dito que 13 não é divisível por 4.

Um último exemplo: 22 não é divisível por 5, porque vai restar uma linha com 2 pedrinhas “sobrando” (resto da divisão).

O algoritmo da divisão é base de todo o resto do livro, e dá para chegar à conclusões bastante complexas construindo o raciocínio, pouco a pouco.

Rodar algoritmos de apoio em:

https://asgunzi.github.io/TeoriaNumeros01_Divisao/Index.html

Referência: Introdução à Teoria dos Números, José Plínio de Oliveira Santos, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada.

Veja também:

Lab. Matemática