Dando continuidade à Teoria dos Números via “álgebra de pedrinhas”, vamos provar alguns teoremas iniciais.
Teorema: Se a | b e n é inteiro, a | b*n
Relembrando, a divisão é como se o numerador b fosse o número de bolinhas, e o denominador, a, o número de colunas: distribua 8 bolinhas em 4 colunas, e temos o diagrama a seguir.
Se eu multiplicar o número por b um inteiro, digamos n = 2, é só copiar a quantidade de bolinhas anterior e colar em cima. As pedrinhas vão continuar sendo dispostas em a colunas. E o padrão se repete, para qualquer número n inteiro (inclusive negativo).
Teorema: Se a | b e a | c, a | b + c
A ideia aqui é similar. Se b consegue ser colocada em exatamente a colunas, e idem para c, é só empilhar os resultados para concluirmos que (b + c) podem ser colocados em a colunas.
No exemplo acima, 3 | 6 e 3 | 9, então 3 | (6 + 9)
Teorema: Se a | b e a | c, m e n são inteiros, a | b*m + c*n
Observe como a composição de afirmações simples vai gradativamente se tornando mais complexa.
Este teorema é basicamente a combinação dos dois anteriores.
Partindo para um exemplo, se 3 | 6 e 3 | 9, então 3 | (6*2 + 9).
Teorema: n | n
Este teorema é bem simples. Se tenho n pedrinhas, elas podem ser dispostas em n colunas, basta colocar uma do lado da outra.
exemplo: 6 | 6.
Teorema: n | 0
Infelizmente, não há representação visual, porque tenho zero pedrinhas na mão. Se tenho 0 pedrinhas, coloco 0 delas em cada uma das n colunas, mostrando que n | 0.
No próximo artigo sobre o tema, vamos continuar provando teoremas básicos de Teoria dos Nùmeros, usando a “álgebra de pedrinhas”. Fiquem ligados na página!
Veja também:
Ideias técnicas com uma pitada de filosofia
Rodar algoritmos de apoio em:
https://asgunzi.github.io/TeoriaNumeros01_Divisao/Index.html
Referência: Introdução à Teoria dos Números, José Plínio de Oliveira Santos, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada.
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