Dodecaedricídio

http://ruwix.com/online-rubiks-cube-solver-program/

Resolver o dodecaedro seguindo um procedimento é muito legal, mas criar o seu próprio método é muito mais divertido. E estas dicas servem para qualquer outro objeto desafiador correlado: o cubo 3x3x3, 4x4x4, 8x8x8, o Tuttminx, o icosaedro truncado, etc…

Vide alguns destes aparatos possíveis aqui.

O ramo da matemática que engloba objetos como o cubo mágico e o dodecaedro mágico é a Teoria de Grupos.

Estudar Teoria de Grupos não ajuda diretamente a resolver o cubo, mas ajuda a entender os seus limites: calcular número de possibilidades, provar que algumas ideias são impossíveis. Também fornece ideias úteis.

Grupos se referem a padrões simétricos. Tudo o que tem padrão de simetria é um grupo.

E também, os movimentos do cubo são cíclicos, no sentido de que depois de um número suficiente de movimentos iguais, ele volta para onde começou. Por exemplo, o cubo simples.

Exercício 1: Girar o topo do cubo 4 vezes, sentido anti-horário. O cubo acaba na mesma posição inicial.

Exercício 2: Girar o topo do cubo no sentido anti-horário. Depois, o lado direito no sentido anti-horário. Depois topo do cubo no sentido anti-horário. Depois, o lado direito no sentido horário. URUR’ (Upper,Direita,Upper, Direita horário). Faça isto 5 vezes. O cubo deve acabar na mesma posição inicial.

Simulador de Rubik:

Posição URUR’. Repetindo este mesmo movimento 5 vezes, o cubo vai parar na posição inicial.

Um movimento sempre tem o seu inverso, ou pode-se fazer o mesmo movimento várias vezes até voltar ao início (o complemento do movimento).

A informação mais útil é a de que o dodecaedro é um grupo, mas é formado de sub-grupos. Um sub-grupo está contido num grupo, e ele sozinho tem todas as características de um grupo. Cada face do dodecaedro, por exemplo, é um sub-grupo. A face de topo mais a face adjacente à direita é outro grupo, por exemplo.

Sub grupos

A grande sacada para entender o cubo é mapear padrões de sub-grupos. Como é difícil demais entender o dodecaedro inteiro (12 faces), vamos trabalhar com duas, no máximo três faces ao mesmo tempo, e manter as demais faces imóveis.

Um bom início para entender padrões é analisar alguns sub-grupos específicos. No cubo, mexer o lado direito e esquerdo ao mesmo tempo possibilita padrões bonitos, como o efeito de girar apenas o centro. Outro sub-grupo é o de girar as faces sempre 180 graus, ao invés de 90 graus. Também dá para inventar padrões bonitos.

Padrões invariantes

E o padrão que queremos descobrir não é qualquer padrão, e sim, padrões invariantes. Invariantes no sentido em que mexem alguma coisa de alguma face, mas não mudam nada a segunda ou terceira face afetada pelo movimento de sub-grupo.

Exercício 3: Usando o simulador de dodecaedro Ruwix, fazer o movimento 2 1 2′ 1 2 1′ 1’ 2’. Anotar os resultados.

Note que: foram movimentadas apenas duas faces: 1 e 2. Apesar de bagunçar um monte de coisas, no final das contas apenas a camada do topo ficou mexida, o resto ficou inalterado.

Deve-se guardar o padrão obtido, para poder usar em algum movimento desejado.

Note também o padrão:

2 1 2′ 1 2 1′ 1’ 2’

Começa com 2 e termina com 2’. Depois começa com 1, e o penúltimo é 1’. É mais ou menos um padrão assim: mover, fazer alguma perturbação, depois voltar para a posição com o mínimo de bagunça possível.

Note o padrão: giro uma face, faço uma perturbação, e desgiro. Mudo sem tentar mudar uma das faces. E o resultado deste movimento pode ser útil ou não, ou pode inspirar outros resultados.

Movimentos que já existem no algoritmo do cubo podem ser testados e adaptados ao do dodecaedro. E vice-versa.

Exercício 4: Usando o simulador de dodecaedro Ruwix, fazer o movimento

5 1 5’ 4’ 1’

4 5 1’ 5’ 1

Anotar os resultados.

Este movimento apresentado é o algoritmo X, já descrito anteriormente. Note: movimento que vai e volta, e o padrão apresentado está mapeado para ser utilizado de forma conveniente.

De novo: começa com 5, tem um equivalente 5’ no final. Depois, 1 com 1’, e 4 com 4’. Reconheço o padrão, e tento usar de forma conveniente depois.

De certa forma, resolver o dodecaedro é igual a resolver o cubo e qualquer outro brinquedo diabólico deste tipo. Receita:

1- Inventar uma notação conveniente para não se perder

2- Mexer com sub-grupos de duas ou três faces, a fim de encontrar padrões invariantes

3- Codificar e aplicar os padrões resultantes

4- Ir resolvendo o dodecaedro em camadas, até chegar ao final.

Não é fácil, mas também não é impossível. Perde-se um tempão analisando padrões, brincando com os movimentos. Mas, como todo desafio, a recompensa vem a cada novo passo, e completa-se quando o desafio é resolvido.

Há uma série de outros desafios: o cubo 4x4x4, 5x5x5, a pirâmide, o Tuttminx, o Cubo X.

Para simular os movimentos, é interessante começar do cubo montado, para facilitar o entendimento. É interessante ter um site como o Ruwix para simular os movimentos.

Obviamente, está não é a única metodologia apresentada, nem a melhor. Mas é certamente uma das poucas vezes em que alguém realmente explica como desenvolver o trabalho, ao invés de apenas fornecer algoritmos para serem seguidos.

Nos veremos novamente com o cubo X, ou com algum outro artefato do tipo.

Arnaldo Gunzi

out 2015

Veja também

Dodecaedro Parte 4 – Resolvendo o Topo

Em 26 26America/Sao_Paulo outubro 26America/Sao_Paulo 201525 25America/Sao_Paulo maio 25America/Sao_Paulo 2020 por Arnaldo Gunziem ForgottenMath2 Comentários

Resolver o topo é a parte mais difícil do dodecaedro. Para quem não acompanhou os posts anteriores, resolvemos a base e os lados, chegando em algo assim.

Virar as peças de canto

A primeira coisa a fazer é com as peças de canto: colocar a “cor verde escura” para cima, ou seja, a cor equivalente à cor correta da peça central do dodecaedro. Não importa neste momento se vão estar na posição correta, importa apenas que estejam com o sentido para cima correto.

Para tal, usaremos dois algoritmos: o X e o X2. Chamei com este nome porque o movimento me pareceu levemente a letra X. E a diferença entre estes dois movimentos é apenas o número de deslocamentos no topo, após o movimento de perturbação.

Introduzindo uma nova notação. Vamos numerar as 5 peças de canto de 1 a 5, conforme a convenção a seguir. E chamaremos de R uma rotação desta peça, R2 duas rotações, T apenas translado sem rotação, e 0 se não acontece nada.

O Movimento X é o seguinte. Mantém as peças nas posições 2 e 5 inalteradas, e movimenta duas rotações na peça que vai para a posição 1, 1 rotação para a peça da posição 3, e translada a da posição 4.

O movimento X2 é similar. Apenas muda um pouco o padrão de rotações.

Para aplicar uma combinação de X e X2, deve-se analisar a paridade das rotações das peças de canto. Não há uma fórmula para isto, é da análise do problema. Mas a aplicação de X e X2 garante que todas as peças de canto estejam rotacionadas corretamente.

Virar as peças laterais.

O próximo passo é virar todas as peças laterais na cor certa para cima, no caso da foto, a cor verde escura. Não importa neste momento se vão estar na posição correta, importa apenas que estejam com o sentido para cima correto.

Uma observação é a seguinte. Se eu aplicar três vezes seguidas o algoritmo X2, eu inverto todas as peças laterais exceto a da posição 4 (isto também é interessante para criar padrões bonitos).

O algoritmo X2 três vezes seguidas troca a posição de todas as laterais, exceto a da posição 4. Ou seja, a análise do que fazer vira um joguinho de paridade.

Fazendo análise da paridade das peças e com a aplicação do algoritmo X2 como trocador de lados das laterais, é possível colocar todas as laterais para cima, por exemplo:

Posicionar as peças de canto.

O próximo passo é posicionar as peças de canto no lugar correto, sem bagunçar as camadas de baixo e sem desorientar as demais peças.

O Algoritmo P-P vai nos ajudar nisto. Chamei de P porque lembra vagamente a letra P.

O algoritmo P-P mantém as peças das posições 1 e 2 no lugar, e troca as das outras posições.

Minha sugestão é ir girando o topo a aplicando o P-P com o objetivo de alinhar duas peças adjacentes.

Com duas peças adjacentes alinhadas, girar o topo para colocar as duas peças arrumadas nas posições 1 e 2. Depois, é só aplicar o P-P mais algumas vezes, e a posição dos cantos estará correta.

Arrumar as peças laterais.

Neste estágio, nota-se que as peças laterais podem estar trocadas. Precisamos de um movimento para trocar as laterais, sem bagunçar o resto.

Para tal, usamos o algoritmo Shift Lateral.

Na verdade, o algoritmo Shift Lateral dá uma bagunçada. Para arrumar a bagunça, deve-se aplicar de novo o algoritmo P-P (em cima do lado 2_3).

Portanto, o algoritmo completo é Shift – P.

O que o Shift – P faz é trocar as laterais das posições 2, 3 e 4. De novo, análise de paridade para entender quais posições devem ser trocada, e aplicar o algoritmo.

O Shift – P é o passo final para montar o dodecaedro.

Dodecaedro montado:

Dodecaedro visto de outra face.

O dodecaedro não é fácil, mas com as dicas que foram passadas, dá para entender melhor o método de resolução e a lógica por trás disso tudo.

O próximo post será sobre como desenvolver padrões diferentes dos que foram mencionados aqui, sobre descobrir e aplicar padrões.

Link da parte 5: https://ideiasesquecidas.com/2015/10/27/dodecaedro-parte-5-criando-o-seu-proprio-metodo/

Arnaldo Gunzi

Veja também

Dodecaedro – Parte 3 – Resolvendo a Lateral

Em 24 24America/Sao_Paulo outubro 24America/Sao_Paulo 201525 25America/Sao_Paulo maio 25America/Sao_Paulo 2020 por Arnaldo Gunziem ForgottenMath3 Comentários

Parte 3 – Resolvendo os lados.

Uma vez que a base esteja resolvida, vide post anterior, é hora de resolver os lados.

A solução é feita por camadas. Primeiro, resolve-se a primeira camada mais próxima da base. Depois, subir camada por camada até chegar ao topo.

Ache a peça que deve ficar na lateral. Deve-se colocar a peça na posição mostrada, sem desarrumar a base, e aplicar o “algoritmo lateral”. Na figura, a peça lateral amarela e laranja está posicionada para ir para a posição correta, após a aplicação do algoritmo lateral.

A única diferença do algoritmo lateral apresentado e a aplicação na base é que o dodecaedro está de cabeça para baixo, mas isto não muda a essência do método.

Fazer o mesmo para os cinco lados. Pode ser necessário o uso do “algoritmo lateral à esquerda”, que é a mesma coisa, porém no sentido contrário.

Foto de uma camada pronta

Olhando bem para o dodecaedro, temos 5 peças de canto centrais mais para cima e 5 mais para baixo. A ideia é resolver primeiro a camada dos cinco mais próximos da base. Aqui, basta localizar e posicionar, tomando o cuidado de não desarrumar o que já está montado.

Com a peça da camada central posicionada, a ideia é aplicar novamente o algoritmo lateral para posicionar as peças laterais. Para evitar alguma confusão e desarrumado outras peças, o ideal é utilizar a camada de topo para fazer a troca de peças. Ou seja, giro a peça de canto do lado que estou querendo resolver, para conseguir usar o topo como espaço de troca.

De vez em quando, é preciso usar o algoritmo lateral apenas para “desalojar” uma peça lateral que esteja travada em uma posição. Em outras palavras, aplico o algoritmo lateral para colocar retirar a peça lateral que tenho numa posição sem desarrumar uma estrutura já montada.

Foto após arrumar a peça de canto e peças laterais da da primeira camada

Agora, a ideia é arrumar a segunda camada central.

Deve-se identificar e posicionar a peça de canto correspondente e colocar a peça no seu lugar:

Para tal, talvez haja a necessidade de girar uma peça.

Por exemplo, a orientação da peça está errada. Utilizando um outro lado como apoio, consigo girar a peça para a orientação correta.

Aplicando o truque de girar as peças, dá para preencher a segunda camada central.

A esta altura, já resolvemos mais de 50% do dodecaedro

Virando o dodecaedro de cabeça para baixo, ainda tem uma camada de peças laterais. Deve-se arrumar as laterais de novo com o algoritmo lateral.

Apenas com a aplicação seguida do algorimo lateral e do posicionamento das peças de canto (e com um certo trabalho) é possível resolver todas as laterais do Megaminx, deixando apenas o topo para ser resolvido no final.

Em resumo, para resolver o cubo até aqui só usamos dois algoritmos: o Canto-Base e o algoritmo Lateral.

A próxima etapa será a resolução do topo, que embora tenha bem menos peças que o resto do dodecaedro, é a parte mais difícil.

Arnaldo Gunzi

Link da parte 4: https://ideiasesquecidas.com/2015/10/26/dodecaedro-parte-4-resolvendo-o-topo/

Veja também

Dodecaedro – Parte 2 – Resolvendo a Base

Em 24 24America/Sao_Paulo outubro 24America/Sao_Paulo 201525 25America/Sao_Paulo maio 25America/Sao_Paulo 2020 por Arnaldo Gunziem ForgottenMath4 Comentários

Vamos resolver apenas um dos lados do dodecaedro, que vamos chamar de Base. Resolver a Base é o passo mais simples, por ter mais graus de liberdade.

Recomendo que o leitor tente fazer por si só, com certeza é mais divertido.

Fiquei em dúvida se colocaria a resposta. Mas, lembrei que uma vez fiquei frustrado por não ter respostas úteis. Estava estudando Álgebra Linear, e tinha um problema difícil, dividido em três perguntas. E as respostas, no final do livro, eram a) Fica como desafio para o leitor, b) É óbvio, c) Decorre de a e b.

Portanto, vou colocar a solução aqui.

Começamos com um dodecaedro suficientemente embaralhado, como o seguinte.

1) Arrumar as peças laterais da base.

Deve-se pegar uma lateral como alvo, e identificar qual a peça que deve ser encaixada nela. A referência para identificação são as peças centrais. Como elas não se movem, elas são a chave para resolver.

Digamos que o lado verde claro seja a base. Um dos vizinhos dela é o lado laranja. Portanto, deve-se procurar a peça lateral verde clara e laranja, e encaixá-la em sua posição correta: com a face verde-clara voltada para o centro da mesma cor, e com a face laranja voltada para o centro laranja. Não há um algoritmo preciso para isto, mas é simples.

Após fazer isto para todas as peças laterais, tem-se algo como a figura a seguir.

Na Figura: Todas as peças laterais da base arrumadas

2) Arrumar as peças de canto da base.

Para tal, deve-se usar o “algoritmo canto base”. Aproveitando para acostumar o leitor aos algoritmos.

Algortimo Canto-Base

Partindo do dodecaedro projetado, vamos utilizar a notação descrita anteriormente (aqui).

Se girar a face 6 no sentido anti-horário, depois a face 12 no horário, depois a 6 no sentido horário, vamos projetar a peça de canto cinza-ouro-rosa na face alvo. É importante entender o padrão, e a partir disto reconhecer e aplicar os padrões.

Deve-se primeiro identificar a peça que quero arrumar. Como é uma peça de canto, ela tem três cores, correspondentes às três faces em que ela pertence. Colocar a peça de canto na posição em que, aplicado algoritmo canto-base, ele vai para a posição correta.

Deve-se colocar a peça de canto aqui. E depois executar o algoritmo, chegando-se ao resultado:

Todos os algoritmos apresentados têm o seu irmão gêmeo, que é a mesma coisa, mas com a orientação trocada. Ou seja, ao invés de girar um para direita, gira-se um para esquerda. Ao invés de começar com a face da direita, começar com a face da esquerda.

Este algoritmo canto base, ou a sua versão espelhada, aplicado nas 5 peças de canto, é suficiente para resolver a primeira face do dodecaedro, a base. O resultado é algo assim.

E temos uma face do dodecaedro!

Os próximos posts serão para resolver as laterais e o topo. Mas já dá para treinar o apredizado aqui por um tempo.

Arnaldo Gunzi

Outubro 2015

Veja também

Dodecaedro – Parte 1 – Notação

Em 18 18America/Sao_Paulo outubro 18America/Sao_Paulo 201525 25America/Sao_Paulo maio 25America/Sao_Paulo 2020 por Arnaldo Gunziem ForgottenMath2 Comentários

Notação

A notação dos movimentos é igual ao do site Ruwix: http://ruwix.com/online-puzzle-simulators/megaminx-simulator.php

O site citado acima é o de um simulador do dodecaedro. É uma boa ideia usar um simulador, porque é possível resetar o poliedro para a posição inicial (algo impossível de fazer facilmente num cubo físico).

Cada face do dodecaedro é numerada de 1 a 12, e com uma cor diferente, conforme ilustrações a seguir.

O movimento 1 significa girar a face 1 no sentido horário.

O movimento 1′ (com apótrofe) significa girar a face 1 no sentido anti-horário.

Para as outras faces, a notação é análoga: 2, 2′, 3, 3′, etc…

Note também que não há ambiguidade de posições. Cada peça tem um esquema de cores que identifica exatamente a posição em que ela deve estar no final das contas. Isso porque há cubos em que há ambiguidade. Imagine se o dodecaedro fosse todo preto, por exemplo, ou tivesse várias faces pintadas com a mesma cor.

Link para a parte 2: https://ideiasesquecidas.com/2015/10/24/dodecaedro-parte-2-resolvendo-a-base/

Veja também

Como resolver o dodecaedro mágico? – Introdução

Em 18 18America/Sao_Paulo outubro 18America/Sao_Paulo 201528 28America/Sao_Paulo agosto 28America/Sao_Paulo 2020 por Arnaldo Gunziem Cubos mágicos, ForgottenMath, Matemática16 Comentários

Cubo Mágico

O Cubo Mágico, ou o Cubo de Rubik, é um dos brinquedos mais legais da história. É extremamente simples de entender o que é para ser feito, mas muito difícil de efetivamente resolver. Um cubo é um poliedro regular de 6 lados, cada lado sendo um quadrado, e cada lado podendo deslizar no seu eixo.

Como há muitas referências sobre o cubo, este Blog tratará de uma variante menos conhecida, porém mais diabólica: o dodecaedro mágico.

Megaminx

Um dodecaedro é um poliedro regular de 12 lados, sendo cada lado um pentágono. Cada lado pode ser girado, dando origem a uma infinidade de combinações. O dodecaedro mágico também é conhecido como Megaminx.

Os poliedros regulares também são conhecidos como poliedros de Platão, por este ter estudado essas formas geométricas – vide link.
O algoritmo para resolver o megaminx é dividido em cinco partes. Cada parte terá o seu post específico. E cada parte tem os seus próprios subalgoritmos.

O simulador do dodecaedro do Ruwix é bastante útil: http://ruwix.com/online-puzzle-simulators/megaminx-simulator.php. O Ruwix apresenta o dodecaedro desmontado, como ilustra a figura.

Partes da Solução

As cinco partes em que a resolução está dividida são:

Parte 1 – Notação utilizada para nomear os movimentos.
Parte 2 – Resolvendo a Base: resolver apenas um lado, deixando as laterais e o topo para depois.
Parte 3 – Resolvendo os Lados: resolver os lados, sem desarrumar a base.
Parte 4 – Resolvendo o Topo: finalmente, resolver a última face, sem bagunçar o que foi feito anteriormente.
Parte 5 -Como criar o seu próprio método para resolver o dodecaedro mágico?

As partes serão postadas nas próximas semanas.

Graus de Liberdade
Resolver a Base é muito mais simples do que resolver o Topo. Isto porque há muitos “graus de liberdade” disponíveis para resolver a base: não precisamos nos preocupar com os outros lados. O desafio de verdade é resolver o topo. Portanto, recomendo que a pessoa primeiro tente resolver a base e as laterais sozinho, antes de ver a solução.

Sobre as peças do dodecaedro mágico:
– Há 12 peças centrais, que não se movem. Somente as outras peças se movem. Isto ajuda bastante, porque a peça central vira a referência de cor de cada lado.
– Há 20 peças de canto, que só podem assumir a posição de outras peças de canto
– Há 30 peças laterais, que só podem assumir a posição de outras peças laterais
Fazendo uma conta por alto, há 30! combinações das peças laterais, vezes 20! de peças do canto. Isto dá 6*10^50, ou seja, é mais fácil ganhar várias vezes 5 vezes seguidas na Mega Sena do que resolver o Megaminx girando os lados aleatoriamente!

Métodos de solução

O método de solução aqui apresentado não é o único, e com certeza há outros métodos mais eficientes. Mas este método funciona, e a minha satisfação é que o inventei do começo ao fim. Compreendo os movimentos, eles fazem sentido, pelo menos para mim.
Por incrível que pareça, resolver o dodecaedro não é muito mais difícil que resolver o cubo normal. O método de encontrar soluções é parecido: é um exercício de reconhecimento de padrões. Para tal, há um post final, para fechar a série.

Quem não tem o dodecaedro pode comprar no aliexpress. Também já vi o dodecaedro sendo vendido em alguns lugares de SP.

Divirtam-se!

Arnaldo Gunzi

Veja também:

Link da Amazon:

Obs. Os links abaixo podem não estão mais funcionando, porque as lojas sempre alteram os seus estoques.