Um dos resultados mais belos da Matemática é a prova de Euclides, sobre a infinitude dos números primos, escrita há mais de 2.300 anos atrás.
Um número é primo se pode ser dividido apenas por 1 e por si mesmo, sem deixar resto.
A prova é por contradição. Primeiro Euclides supôs que o número de primos fosse finito: {p1, p2, …, pN}.
Para ilustrar, suponha que o conjunto de todos os primos seja formado apenas pelos três primeiros, {2, 3, 5}:
A seguir, Euclides afirmou que existe pelo menos um primo maior do que todos os primos finitos conhecidos: p1p2…*pN +1, ou seja, o produto de todos os primos + 1. Tal número não é divisível por nenhum dos primos anteriores, já que restaria 1 na divisão.
No caso do exemplo, tal número seria igual a 2 * 3 * 5 + 1 = 31.
Visualizando, o novo primo não é divisível por 2:
Nem por 3:
Nem por 5:
Sempre vai restar 1 na divisão.
Portanto, como sempre é possível encontrar esse primo adicional para um conjunto de primos finito, a conclusão é a de que o conjunto dos números primos é infinito.
Qual a relação entre Platão, o Cubo Mágico e uma bola de futebol?
Poliedros são figuras geométricas em 3D. Poliedros regulares são sólidos em que todos os lados são iguais.
Os gregos antigos gostavam de perfeição, e nada poderia ser mais perfeito que um sólido com lados iguais.
É fácil construir sólidos com lados diferentes, irregulares. Mas sólidos regulares, existem 5 e apenas 5.
Os 5 poliedros regulares são conhecidos como os sólidos de Platão: a pirâmide (4 lados triangulares), o cubo (6 lados quadrados), o octaedro (8 lados triangulares), o dodecaedro (12 lados pentagonais) e o icosaedro (20 lados triangulares). Platão viveu cerca de 400 a. C.
Euclides (cerca de 300 a. C.), no livro Elementos, provou que não existem outros sólidos regulares além destes.
Cubo Mágico
Passados vários séculos, Erno Rubik inventou o cubo mágico, em meados do anos 1970. Um brinquedo extremamente simples para entender, mas diabolicamente difícil de resolver. Há décadas é um dos brinquedos mais famosos e vendidos do mundo.
Mas o cubo não é o único sólido possível de virar mágico. De alguns anos para cá, principalmente com a Internet, é possível haver mercado para todos os sólidos de Platão.
E o icosaedro mágico não poderia deixar de estar na lista.
Uma pena que os sólidos regulares acabaram.
Sólidos semi-regulares
Mas outro grego, Arquimedes (cerca de 200 a. C.) vem ao auxílio. Ele pegou os 5 sólidos e cortou alguns dos lados, criando 13 sólidos semi-regulares, os sólidos de Arquimedes.
Por exemplo, ao pegar o cubo e truncar os lados, chega-se no “cubo truncado”.
Tem-se também vários poliedros mágicos inspirados nesses poliedros semi-regulares.
Icosaedro Truncado
O mais interessante de todos eles é o icosaedro truncado.
Ao cortar as pontas de cada triângulo, surge um hexágono. E a união dos lados truncados vira um pentágono. Tem-se assim o icosaedro truncado.
A maioria das bolas de futebol é feita exatamente assim: hexágonos e pentágonos costurados, no padrão do icosaedro truncado.
O Icosaedro truncado também é uma estrutura possível do carbono, o C60. O icosaedro truncado também serve de base para projetos de domos geodésicos.
Como não poderia deixar de ser, existe uma versão icosaedro truncado mágico, o belíssimo Tuttminx, com 32 lados, e 150 peças a rearranjar.
Curiosamente, embora um Tuttminx pareça ser ordens de grandeza mais complicado do que o cubo de Rubik normal, na verdade não o é. O Tuttminx é mais trabalhoso, mas não muito mais difícil. A técnica de encontrar soluções é mais ou menos parecida: encontrar “movimentos invariantes”, reconhecer e aplicar padrões. Mas isto é história para um outro post.
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