Um sujeito anormal procurando um número interessante

Após tirar esta foto, do prédio escrito “normal”, o sujeito anormal da foto – eu – lembrou-se de um paradoxo “interessante”.

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Suponha que eu liste os números naturais em ordem:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

Agora vamos dizer algum fato interessante sobre cada um dos números:

  • 1 É o primeiro número de todos, é divisor de todos os outros
  • 2 É o primeiro e único número primo par
  • 3 É o primeiro primo ímpar
  • 4 É o primeiro quadrado perfeito

Digamos que os números que têm alguma propriedade interessante sejam chamados de números “interessantes”.
E os números que não são interessantes sejam os números “normais”.

Utilizando esta definição, a lista ficaria assim:

  • 1 É um número interessante
  • 2 É um número interessante
  • 3 É um número interessante
  • 4 É um número interessante

É uma lista que parece possível de fazer.

Agora, suponha que o número x seja o primeiro número “normal” da lista.

  • 1 É um número interessante
  • 2 É um número interessante
  • 3 É um número interessante
  • 4 É um número interessante
  • x É um número normal

Mas, se x é o primeiro número “normal”, ele é um número “interessante”, porque ele tem uma propriedade interessante: a de ser o primeiro número “normal”.

Por outro lado, se considerarmos x um número “interessante” por ter a propriedade de ser o primeiro número “normal”, ele deixa de ser um número “normal” e passa a ser “interessante”, assim perdendo a propriedade de ser o primeiro “normal” e deixando de ser “interessante”…

Que confusão! Não é “interessante”?


Para falar algo interessante, este problema tem o nome de “Paradoxo dos números de Richard”, descrito pelo matemático Jules Richard em 1905.

Este link (https://en.wikipedia.org/wiki/Richard%27s_paradox) conta mais detalhes sobre o paradoxo de Richard, mas de forma menos interessante do que neste espaço.

Um outro paradoxo semelhante é o “Paradoxo do mentiroso”. Um homem que só conta mentiras diz “Estou mentindo”. Porém, como ele só mente, ele estará dizendo a verdade nesta afirmação. Mas se ele falar a verdade, ele não é alguém que só conta mentiras.

Esses paradoxos “bugam” não só a cabeça de um ser humano comum, mas também a cabeça dos maiores matemáticos da história.


O matemático austríaco Kurt Godel abalou as fundações de toda a matemática, em 1931, ao provar que a matemática não pode ao mesmo tempo ser Completa e Consistente, com seus Teoremas da Incompletude. Ou seja, a matemática tem limites. Godel encontrou um “bug” nas fundações da matemática – ela não consegue ao mesmo tempo se livrar desses paradoxos bizarros e responder Verdadeiro ou Falso a todas as suas proposições. Godel utilizou um versão sofisticada do Paradoxo de Richard para provar isto.

É uma longa história, que envolve gigantes do pensamento como David Hilbert e Bertrand Russell, e esta história fica para outro dia.

A propósito, eu acho que o autor do jogo de luzes do prédio escreveu “normal” de uma  forma “interessante” só para o prédio não ser mais “normal” e assim confundir a nossa cabeça…

 

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