Na época da Grécia antiga, alguns problemas matemáticos desafiavam a imaginação das melhores cabeças da época. Um desses problemas era a “quadratura do círculo”. Mas o que é esta tal de quadratura do círculo?

Quadratura é o mesmo que medir uma área, e surgiu de problemas usuais, cotidianos. Na época, como se fazia para medir a área de um terreno? É muito fácil se o terreno for um quadrado, basta multiplicar o tamanho do lado ao quadrado, para se chegar a área (não por acaso, a área tem como medida o metro quadrado, pé quadrado, etc).

Mas os terrenos da vida não são quadrados. São irregulares, tortos. E como se faz para medir uma área de forma fácil? Basta separar a área irregular em quadrados, fazer a conta em cada quadrado separado e somar os resultados.
Por isso, medir uma área tornou-se sinônimo de tirar a quadratura do objeto desejado. E isto é o mesmo que desenhar um quadradão com a mesma área do objeto irregular.

Então, para polígonos com linhas retas consigo fazer a quadratura da área. Mas, e para um círculo? Qual a área de um círculo? Qual o quadrado equivalente à área de um círculo? E como construir tal quadrado utilizando apenas régua (sem escalas) e compasso?

Hoje, sabemos que área do círculo é dada por pi*r^2/2. E que o Pi é um número irracional, ou seja, que não pode ser representada por nenhum número fracionário com coeficientes inteiros. Métodos do tipo régua e compasso geram necessariamente resultados fracionários, porque trabalham com medidas conhecidas (como o raio do círculo) que podem ser somadas, divididas por 2, e outras operações simples. Mas não dá para chegar no valor de Pi em um número finito de passos.

Portanto, os gregos não conseguiram quadrar o círculo porque era impossível, pelos métodos utilizados.