Soma Visual de PA

Já foi mostrado anteriormente (aqui) que é possível visualizar a matemática como uma soma de pedrinhas ou fichas.

Este exercício é apenas uma generalização do método anterior.
Uma Progressão Aritmética (PA) é uma série de números que começa com um número qualquer (a1) e da qual é somado um valor constante, terminando em (an).

Por exemplo, a série representada por pedrinhas abaixo começa com 3, vai somando 2 pedras (5, 7, 9, etc), até chegar em 13 pedrinhas. Qual a soma desta PA?

PA1
A figura é um trapézio.

Basta fazer um ctrl c + ctrl v, teremos dois trapézios. Girando o trapézio branco, dá para encaixar perfeitamente no trapézio preto.

PA2

Calcular área de retângulo é mole. A base deste retângulo é a soma das 13 pedras da última linha, mais as 3 da primeira (a1 + an). E a altura é o número de elementos (n). Como estou contanto duas vezes o trapézio, tem que dividir por 2: (a1+an)*n/2. CQD.

PA3

De modo mais geral, transformar alguma coisa num quadrado ou retângulo para calcular a área de modo fácil é uma “quadratura”. Fiz uma “quadratura” da soma de PAs. Há quadraturas muito criativas em geometria.

A maldição dos matemáticos gregos da antiguidade foi a “Quadratura do círculo”, ou seja, calcular a área do círculo transformando-o num quadrado ou retângulo. E isto só utilizando régua e compasso.

https://ideiasesquecidas.wordpress.com/2014/05/31/a-quadratura-do-circulo/

Arnaldo Gunzi

Set 2015

Soma Visual de Números

Qual o valor de 1+ 2 + 3 + 4 + … + n?
 

Das aulas de álgebra, a resposta é n*(n+1)/2. Normalmente, faz-se a prova por algum método algébrico como indução. Este tipo de método é poderoso, mas muitas vezes a pessoa não tem a menor noção do que está fazendo.

 

A Matemática, nos seus primórdios, era uma extensão de contagem de coisas que existiam de verdade: gado, carneiros, dedos. Na sua essência, é como contar pedras.

 


 

Vamos somar 1 + 2 + 3 + … + n colocando uma pedrinha para cada número e organizando por fileiras.

Soma1

 


 

O desenho é um triângulo, não? Unir dois triângulos dá um retângulo.

Então, faço uma cópia deste triângulo com pedrinhas brancas…

Soma2

 


 

Unindo os triângulos preto e branco, chego num retângulo.

Soma3

 

A área do retângulo é fácil de calcular: base * altura.

A altura é de n fileiras.

A base é de (n+1) fileiras, porque tem uma casinha a mais para encaixar o triãngulo branco.
 

Como o retângulo é formado de dois triângulos iguais, basta dividir por dois:

base*altura/2 = n*(n+1)/2.

 


 

Segredo

Nunca gostei de matemática abstrata. Sempre tentei traduzir ideias para coisas palpáveis, como pedras, áreas, desenhos.
 

O ser humano não foi feito para pensar numa fórmula. O ser humano evoluiu centenas de milhares de anos contando nos dedos, medindo áreas e volumes com mãos, braços e pernas. Aos poucos, vou publicando algumas ideias complicadas que se traduzem em coisas simples.

 

Fonte da prova a seguir: Math made Visual, Mathematical Association of America.

 

Arnaldo Gunzi

Ago 2015