Qual o valor de 1+ 2 + 3 + 4 + … + n?
 

Das aulas de álgebra, a resposta é n*(n+1)/2. Normalmente, faz-se a prova por algum método algébrico como indução. Este tipo de método é poderoso, mas muitas vezes a pessoa não tem a menor noção do que está fazendo.

 

A Matemática, nos seus primórdios, era uma extensão de contagem de coisas que existiam de verdade: gado, carneiros, dedos. Na sua essência, é como contar pedras.

 

---

 

Vamos somar 1 + 2 + 3 + … + n colocando uma pedrinha para cada número e organizando por fileiras.

 

---

 

O desenho é um triângulo, não? Unir dois triângulos dá um retângulo.

Então, faço uma cópia deste triângulo com pedrinhas brancas…

 

---

 

Unindo os triângulos preto e branco, chego num retângulo.

 

A área do retângulo é fácil de calcular: base * altura.

A altura é de n fileiras.

A base é de (n+1) fileiras, porque tem uma casinha a mais para encaixar o triãngulo branco.
 

Como o retângulo é formado de dois triângulos iguais, basta dividir por dois:

base*altura/2 = n*(n+1)/2.

 

---

 

Segredo

Nunca gostei de matemática abstrata. Sempre tentei traduzir ideias para coisas palpáveis, como pedras, áreas, desenhos.
 

O ser humano não foi feito para pensar numa fórmula. O ser humano evoluiu centenas de milhares de anos contando nos dedos, medindo áreas e volumes com mãos, braços e pernas. Aos poucos, vou publicando algumas ideias complicadas que se traduzem em coisas simples.

 

Fonte da prova a seguir: Math made Visual, Mathematical Association of America.

 

Arnaldo Gunzi

Ago 2015