Passeios aleatórios e bêbados errantes

Imagine um bêbado andando numa praça. Ele está sob forte efeito etílico… por isso, a partir de sua posição, pode andar para qualquer direção. Os passos seguintes seguem o mesmo padrão: um passo numa direção aleatória, com qualquer ângulo com a mesma probabilidade. Por conta disso, esse tipo de caminho é chamado de random walk.

Fiz um simuladorzinho de Random Walk, disponível aqui:

https://asgunzi.neocities.org/ArteMatematica/FerramentaRandomWalk

Uma visualização aqui:

Este tipo de modelo pode ser utilizado no mercado financeiro (afinal, como saber se uma ação vai subir ou não?), modelos biológico (como o movimento de formigas), e modelos como de partículas num gás – o movimento Browniano.

O domínio mostrado nas figuras é o 2D. De forma similar, é possível pensar em random walk em uma dimensão (imagine o bêbado num ponto onde ele pode só ir para frente ou para trás), duas dimensões, três, etc…

Uma pergunta especialmente interessante é “o problema do andar do bêbado”. Será que, se ele andar o suficiente, um dia vai voltar exatamente à posição inicial? Já que ele sempre tem a mesma probabilidade de ir para a direita ou esquerda, para cima ou para baixo, parece razoável supor que sim: se o número de passos tender a infinito, cedo ou tarde o nosso amigo cachaceiro volta ao ponto de partida.

Na verdade, quando o número de passos tende a infinito, a probabilidade do bêbado alcançar qualquer posição (não apenas a posição inicial) tende a 1 – isso no plano 2D.

No caso 3D, o número de alternativas cresce tanto que o nosso herói pode sim se perder, e nunca mais retornar ao início, mesmo com infinitos passos. Essa probabilidade é de 34% (vide links abaixo).

Há algumas obras de arte utilizando random walks, só que eu nunca achei muito bonitas. Então, pedi para o Dall-E criar um bêbado andando aleatoriamente, ao estilo de Van Gogh, e temos a figura a seguir.

Há dois livros bem interessantes com o nome “random walk” na capa:

1 – A random walk down Wall Street – Burton Malkiel

Investir é difícil. O autor defende que o mercado acionário se comporta como um random walk. Por isso, é extremamente difícil escolher uma ação que vai bombar, e também saber qual será o mico (como no caso das Americanas, recentemente).

Você não consegue bater o mercado. Uma boa estratégia é investir em fundos que acompanham o índice de ações, porque dilui o risco e captura o crescimento médio do mercado como um todo.

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2 – O andar do bêbado – Leonard Mlodinow

Olhando a vida como um random walk, ocorrem inúmeros aspectos randômicos que poderiam ter mudado nossa vida.
Não temos ação sobre a sorte, a fortuna. Os vencedores que louvamos não são apenas competentes, também tiveram sorte na vida.

Olhe para o processo. Pelo que as pessoas são, pelos princípios, pelo que elas fazem, e não pelos resultados.

Voltando ao tema das Americanas, muita gente admirava os 3 bilionários do 3G pelos resultados. Mas, olhando pelo processo em suas empresas, tinha muita coisa questionável, no mínimo: espremer fornecedores até quase acabar com eles, longas jornadas e cobrança nos funcionários, muita agressividade em todos os movimentos (como cortes de custos, desinvestimentos), e, agora, até maquiagem contábil (talvez não tenha sido eles, mas essa cultura agressiva não ajuda).

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Por fim, já que estamos falando de bêbados aleatórios, segue a trilha sonora deste post.

Trilha Sonora: O bêbado e o equilibrista – Elis Regina

https://www.youtube.com/watch?v=6kVBqefGcf4

Veja também:

https://mathworld.wolfram.com/RandomWalk2-Dimensional.html

https://www.wolframalpha.com/input/?i=random+walk%E2%80%943-dimensional

Forgotten Math

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