Braquistócronas, tautócronas e cicloides

Fui ao Parque Sabina, em S. Bernardo do Campo, no último fim de semana. O Parque Sabina tem um aquário de vida marinha, com pinguins, tartarugas e arraias. Há também uma bela exposição científica, com experimentos de acústica, ótica, magnetismo, eletricidade, entre outros.

Havia uma demonstração da curva braquistócrona. Fiz um vídeo, postado abaixo.

No vídeo, há três bolinhas seguindo três trajetórias diferentes: uma linha reta, uma curva simples, e a vencedora é a braquistócrona.

Curiosamente, estive conversando com o amigo Marcos Melo há uma semana.

Fiz um simulador para ilustrar a curva cicloide, obtida pensando num ponto sobre uma circunferência girando (aqui).

Eu não sabia, mas o Melo explicou que a cicloide de cabeça para baixo é a braquistócrona (cronos = tempo e braqui = menor).

Mais do que isso. A mesma curva cicloide invertida é uma tautócrona (mesmo tempo). Solte duas bolinhas de qualquer posição na curva, elas vão chegar ao mesmo tempo no ponto mais baixo.

Essas ideias são totalmente anti-intuitivas. Solto uma bola de mais longe e ela chega no mesmo tempo? A resposta é a forma da curva: ela está mais longe, mas vai ganhar mais aceleração, enquanto a mais próxima está sujeita a menos aceleração.

Para resolver essas equações, imagino que um procedimento seja separar a curva em pedacinhos retos e calcular a aceleração e velocidade para cada pedacinho – ou seja, usar cálculo.

Não à toa, os primeiros matemáticos que resolveram tais equações foram os pioneiros do cálculo. Diz a lenda que o matemático Jakob Bernoulli propôs o problema como desafio, e vieram 5 soluções. Além da dele mesmo, Gottfried Leibniz, Guilherme de l’Hôpital, do irmão de Bernoulli, e uma solução anônima. Para quem fez cálculo na faculdade, todo mundo aí virou nome de teorema.

Sobre a carta anônima, logo ficou evidente ser de Isaac Newton. Bernoulli teria dito: “reconheço o tigre pelas garras”. Afinal, Newton criou a sua própria versão de cálculo, com notação diferente da notação que temos hoje (que deriva de Leibniz). Além disso, naquela época, quantos dominavam o cálculo?

Este é o poder da matemática.

https://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_curve


Ideias técnicas com uma pitada de filosofia: https://ideiasesquecidas.com

Ferramentas Excel-VBA: https://ferramentasexcelvba.wordpress.com/

A dança de Afrodite

Planets2013 No ensino fundamental, é bem comum um diagrama do sistema solar, com o Sol no meio, depois Mercúrio, Vênus, Terra, etc.   O que não é dito é que há milênios de conhecimento de dezenas de astrônomos e físicos embutidos neste modelo simples.


Grécia antiga   Imagine-se há 2000 anos atrás, olhando para a noite e tentando descobrir como os planetas se comportam.   Não haviam telescópios. Tudo o que se poderia fazer era olhar para o ponto no céu e anotar a posição.   Se alguém fizer este trabalho meticuloso e paciente de anotar a posição dos planetas, depois de 8 anos teria dados para montar um diagrama como o seguinte, que é o percurso de Vênus visto da Terra.   Porém, com 8 anos de observação não dá para saber se Vênus vai se comportar assim para sempre ou não. Também não dá para saber se teve erro de medida, uma vez que não tinham instrumentos. Portanto, somente com uns 36 anos de medições daria para começar em pensar em modelos. earth-venus-rose-pattern-orbital-resonance-300x291   Mas, o que a órbita acima parece? Parece uma órbita circular, com várias subórbitas menores. Aí, os gregos antigos criaram um modelo que descrevia exatamente isto: círculos maiores e subcírculos menores. Com essas fórmulas, dava para prever a posição dos planetas no céu, vista da Terra, que estaria no centro do universo.   E, porque Vênus faz uma dança tão maluca no céu? Não se sabia. A fórmula do modelo antigo apenas descrevia o resultado, e não explicava mais nada. E, para o pessoal da época, era suficiente.


Galileu, Kepler, Newton   Foram precisos séculos para que os grandes nomes da Física que conhecemos, Galileu, Kleper, apoiados em milênios de dados, reescrevessem o modelo antigo. Faria muito mais sentido que todos os planetas girassem ao redor do Sol, inclusive a Terra. E a órbita de Vênus era tão esquisita porque tanto Vênus quanto a Terra giram com velocidades diferentes em órbitas elípticas diferentes ao redor do Sol.   E foi preciso mais um gênio, um dos mais geniais de todos, Isaac Newton, para formular três leis (Inércia, ação e reação, força =massa * aceleração) que realmente explicassem a dança dos planetas. O surpreendente é que a força da gravidade que faz cair a maçã na cabeça de Newton é a mesma que faz os planetas orbitarem ao redor do Sol, é a mesma lei que rege a dança sensual de Vênus no céu.   Talvez por causa desta dança sensual nos céus, o planeta tenha sido chamado de Afrodite, a deusa do amor, pelos gregos (e Vênus pelos romanos, posteriormente)

Arnaldo Gunzi

Março/2015.


Recomendações Quadrivium: Livro com belíssimas ilustrações geométricas e planetárias. http://www.livrariacultura.com.br/p/quadrivium-42269624 http://www.takayaiwamoto.com/Earth_Moon_Sun/Harmony_Planets.html


“O Binômio de Newton é tão belo quanto a Vênus de Milo, embora haja poucos para dar com isto” – Fernando Pessoa


Bônus. Órbita de Mercúrio visto da Terra         earth_mercury     Órbita de Júpiter vista da Terra earth_jupiter