Resposta dos números ocultos

Formulação. Arnaldo escolhe um inteiro a, a>=0, e Bernardo escolhe um inteiro b, b>=0. Ambos dizem o número, em segredo à Carla. Ela escreve em um quadro os números 5, 8 e 15, sendo um desses a soma a+b. Carla toca uma campainha e Arnaldo e Bernardo, individualmente, escrevem em papéis se sabem ou não qual dos números é a soma de a e b e entregam o papel à Carla.

Ela repete o procedimento enquanto nenhum dos dois souber a soma. Sabe-se que todos os envolvidos são sinceros e inteligentes.

Qual o máximo de vezes que a campainha pode tocar?

Primeira rodada.

Se um deles tiver um número maior do que 8, imediatamente vai saber que a soma só pode ser 15.

Portanto, se a primeira rodada acabar sem definição, os números de A e B devem ser menores ou iguais a 8.

A <= 8 e B <= 8

Segunda rodada. O mesmo raciocínio é válido. Se um deles tiver número maior igual a 6, vai saber o imediatamente que a soma só pode ser 8. Se a segunda rodada acabar indefinida, os números de A e B devem ser menores ou iguais a 5.

A <= 5 e B <= 5

Terceira rodada.

Ainda não é possível saber se a soma dá 5 ou 8. Temos as seguintes possibilidades:

Soma = 8

A = 5 B = 3

A = 4 B = 4

A = 3 B = 5

Soma = 5

A = 5 B = 0

A = 4 B = 1

A = 3 B = 2

A = 2 B = 3

A = 1 B = 4

A = 0 B = 5

Note que os números 0, 1 e 2 somente aparecem na soma 5.

Nesta rodada, se um deles tiver número menor ou igual a 2, necessariamente vai saber que a soma dará 5 (porque para dar 8, o número do outro deveria ser maior igual a 6, impossível).

Portanto, se um deles tiver número menor igual a 2, o jogo termina.

Se o sininho tocar e a terceira rodada acabar sem definição, A e B terão números de 3 a 5.