O que é e qual a importância dos dígitos significativos?

Eu sempre pego no pé das pessoas que trabalham comigo, quando vejo um número do tipo R$ 11.786.954,34. Eu pergunto: “A sua projeção tem erro na casa dos centavos?” “Mas fiz a conta e deu isso” – É uma resposta comum, à qual, acrescento: “A questão não é a conta estar correta, são os dígitos significativos”.

Dígitos ou algarismos significativos são, como o próprio nome indica, os dígitos que contém significado físico. Cada caso vai ser diferente, porém, no caso acima, era uma projeção, e dizer aproximadamente R$ 11,79 milhões fazia muito mais sentido do que especificar até os centavos.

Quando estamos lidando com fenômenos do mundo real, como medições, estimativas e projeções, há uma série de erros naturais, como:

  • Imprecisão na medida: exemplo, se estamos medindo com uma régua comum, a precisão vai ser de milímetro – não faz sentido especificar em milésimos de milímetro, porque não vai ter como alguém reproduzir tanta precisão.
  • Variação natural, incertezas: no caso da informação que estamos transmitindo sofrer variação devido a algum fator, como o dólar subir ou descer um pouco, a temperatura influenciar no comprimento medido, etc.

O curioso é que esse erro é tão comum, que até grandes instituições econômicas o cometem. Exemplo, o Índice Global de Felicidade (crédito aqui ao autor Vaclav Smil, vi esse comentário num dos livros dele).

Este é um índice que tenta mensurar a felicidade de um país, e supostamente é algo que deveria ser mais importante do que o PIB.

Segue o índice de 2020, onde o valor é medido numa escala de 0 (infeliz) a 10 (feliz). Fonte: https://worldpopulationreview.com/country-rankings/happiest-countries-in-the-world.

Os primeiros países são os nórdicos Finlândia, Dinamarca e a Suíça. Aí, nas manchetes do mundo todo, vai estar escrito: A Finlândia é o país mais feliz do mundo, seja lá o que isso for.

Aí vem a pergunta: o que significa 0,2 pontos de diferença entre Finlândia e Dinamarca? Será que se eu falar com um finlandês e um dinamarquês eu vou notar que um é 0,2 mais feliz que o outro?

Esse índice é obtido a partir de uma pesquisa, com uma amostra da população (eu particulamente nunca fui entrevistado).

O Brasil está na posição por volta de 30 dessa lista. O BR está no primeiro quartil de felicidade, dentre os cerca de 150 países. A Argentina está em 55. Chile, 42. Venezuela, 109.

Os mais infelizes são países pobres da África e o Afeganistão.

É muito claro que é melhor viver na rica e bela Finlândia do que num país miserável governado por uma ditadura sanguinária como o Zimbábue, e que o índice tem o mérito de tentar mensurar um fator importante para a nossas vidas. A crítica aqui é o uso de duas casas decimais – os países poderiam estar agrupados em categorias, por exemplo – mas aí não dá belas manchetes.

Diz o site que cerca de 2000 mil pessoas são entrevistadas por país. Se a pesquisa der o azar de entrevistar duas pessoas infelizes, é suficiente para responder pelo 0,2 de diferença!

Anote aí: No dia 18/03/2022, o índice mundial de felicidade relativo à 2021 será divulgado, e a imprensa do mundo todo vai divulgar uma informação que não faz o menor sentido: o país X, provavelmente nórdico ou a Suíça, certamente europeu, é o país mais feliz do mundo, seja lá o que isso for.

Veja também:

https://en.wikipedia.org/wiki/World_Happiness_Report

https://pt.wikipedia.org/wiki/Algarismo_significativo

https://worldhappiness.report/faq

Provas visuais sobre soma de 4 e 5 inteiros consecutivos

Em post anterior (abaixo), foi mostrado um resultado simples, e que fica bem ilustrado utilizando a “Álgebra de pedrinhas”.

É simples estender o mesmo raciocínio, para provar resultados sobre somas consecutivas de outros números.

A soma de 4 números inteiros consecutivos tem resto 2

Note o padrão: entre 4 inteiros consecutivos, um deles será divísivel por 4, outros terão restos 1, 2 e 3.

A soma deles terá resto (1 + 2 + 3) mod 4 = 2. É como somar as pedrinhas brancas do diagrama acima: vai completar uma linha, e sobrar 2 para a próxima linha.

Ex. 3+4+5+6 = 18

18 = 4*4 + 2, portanto, 18 = 2 mod 4

A soma de 5 números inteiros consecutivos tem resto 0

Mesmo raciocínio. Entre 5 inteiros consecutivos, um deles será divisível por 5, outros terão resto de 1 a 4.

Somando os restos 1, 2, 3 e 4, dá 10, o que é divisível por 5. É como se a bolinha branca unitária se juntasse à de 4 unidades, fechando uma linha completa, e o mesmo com a de 2 e 3. Todas as 5 colunas estariam ocupadas, sem sobrar nenhuma bolinha.

Ex. 7+8+9+10+11 = 45, divisível por 5.

9+10+11+12+13=55, divisível por 5.

A mesma estrutura pode ser utilizada para provar resultados para soma de 6 números consecutivos, 7, etc…

Veja também:

https://forgottenmath.home.blog/2019/01/28/algebra-de-pedrinhas/

O sistema de Putin

Recomendação de documentário para o fim de semana: O sistema de Putin.

Este documentário, de 2007, mostra a história e ascenção ao poder do temível Vladimir Putin.

Início da carreira:

  • Começou como oficial da KGB, chegando a tenente-coronel
  • Viveu a dissolução da URSS em 1991, para ele, a “maior catástrofe geopolítica do século 20”
  • Passou a exercer cargos públicos a partir de indicação de aliados

Após a dissolução da URSS:

  • Atuou com privatizações e abertura a bancos estrangeiros
  • A Rússia de Bóris Yeltsin tornou-se dominada por oligarcas ricos a partir das privatizações, “a família”
  • Por volta de 1999, quando ficou claro que Bóris Yeltsin não conseguiria mais se reeleger devido à idade e saúde, a “família” estava à procura de alguém inofensivo e jovem, para servir de marionete
  • Putin parecia um bom candidato: era muito eficiente, não tinha tido um cargo alto à KGB, era fiel aos seus superiores… ledo engano

Primeiro-Ministro e Presidente:

  • Yeltsin nomeou Putin primeiro-ministro, após este ajudar a tirar de cena um inimigo político
  • Putin era desconhecido de todos em 1999
  • Um de seus primeiros atos foi culpar a Chechênia por ataques terroristas, e ordenar um ataque ao país
  • Ele utilizou as estatais de energia (petróleo e gás) como arma para financiamento de campanhas e para atacar inimigos
  • A partir de então, utilizou a máquina pública para se eleger presidente e não parou mais
  • Expurgou oligarcas como Bóris Berezovsky (o mesmo da obscura parceria com o Corinthians), mostrando quem mandava de verdade

O documentário é de 2007 apenas, e de lá para cá muita água rolou. Ele essencialmente comanda a Rússia até hoje, alternando entre presidente e primeiro-ministro. É, na prática, o czar da Rússia, assim como Xi Jiping é o imperador da China – o mundo dá voltas, mas a história se repete.

Putin sempre deixou claro o seu objetivo de criar uma grande Rússia. É um sujeito frio, gélido, e extremamente eficaz: promete e cumpre. Ele joga um xadrez político-militar, se preparando pacientemente o momento certo – enquanto o ocidente não está nem perto de ter a mesma capacidade.

Um trecho do documentário diz algo como “o ocidente não conhece Putin. Vai conhecer um dia, e quando isso acontecer, será tarde demais”. Palavras proféticas.

Disponível na Amazon Prime Video.
Link: https://amzn.to/36yuftL

Chacoalhe a terra que jogarem em você

Recontando uma história que ouvi há muito tempo atrás…

O cavalo enterrado

Um cavalo caiu num buraco de uma obra abandonada.

O dono do cavalo, após muito o procurar, ouviu o som de seu relinchar e o encontrou, no fundo do buraco. Este chamou alguns amigos, a fim de avaliar a situação…

Não tinha como tirar o cavalo dali ou chamar um guindaste. Resolveram enterrá-lo vivo, para abreviar o seu sofrimento. Os homens passaram a cavar terra e jogar dentro do buraco.

Para a surpresa de todos, eles notaram que o animal não estava sendo soterrado, e sim, estava subindo. Ele cachoalhava a terra jogada em cima dele, pisoteava, e assim, conseguia terreno para subir. Repetiram o procedimento até salvar o cavalo.

Moral da história. Quando jogarem terra em você, você tem duas opções:

  • ficar quietinho até ser soterrado
  • lutar, sacudir as costas, e utilizar a terra como um degrau a seu favor

Veja também:

Prova visual de que a soma de três números consecutivos é divisível por 3

Esta é uma prova bem simples de visualizar, utilizando a “álgebra de pedrinhas”.

Dados três números consecutivos, um deles vai ser divisível por 3, outro vai deixar resto 1 e o terceiro vai deixar resto 2. A soma deles será divisível por 3.

Veja também:

O Triângulo de Pascal – implementação em JS-D3

“O binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.”
Fernando Pessoa

Os coeficientes do binômio de Newton vêm da expansão de (a+b)^n.

Veja só:
(a + b) = (a + b)
(Coeficientes 1 e 1)

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(Coeficientes 1, 2, 1)

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(Coeficientes 1, 3, 3, 1)

Na mesma linha, Blaise Pascal descobriu um padrão fascinante para a expansão desses coeficientes, no que é conhecido hoje como o “Triângulo de Pascal”:


1

1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Para cada linha, cada número é a soma dos dois números imediatamente acima.

Há bela representações possíveis deste triângulo.

Vide implementação aqui, para brincar com um número variável de camadas:

https://asgunzi.github.io/TrianguloPascalD3/index.html

Este pacote foi escrito com o belo pacote D3 do Javascript.

Caso alguém tenha a curiosidade, segue o código fonte no Github:

https://github.com/asgunzi/TrianguloPascalD3

Recomendação adicional:

“Ideias geniais na matemática” contém histórias curiosas e divertidas na Matemática. No meu caso, não precisei comprar, pois ele foi cedido pelo amigo Marcos Gomes de Melo.

Para quem não tem esse privilégio, segue link da Amazon: https://amzn.to/36l2SDn

Veja também:
https://ideiasesquecidas.com/laboratorio-de-matematica/

A Rainha Vermelha comanda as nossas vidas

A hipótese da Rainha Vermelha é um conceito utilizado em biologia evolutiva, para indicar que as espécies devem estar em constante adaptação, para sobreviver contra outras espécies, também em constante evolução. A hipótese da Rainha Vermelha foi criada por Leight Van Valen, tomando como referência uma passagem de “Alice através do espelho”, de Lewis Carroll.

Um resumo:

Alice estava correndo de mãos dadas e a Rainha continuava gritando: “Mais rápido! Mais rápido!”, mas Alice estava no limite. O curioso é que as árvores e a paisagem ao redor não mudava de lugar. Não importa o quão rápido, nada se movia”.

Após notar que não tinham saído do mesmo lugar o tempo todo, Alice indagou: “Em nosso país, você normalmente chegaria a um outro lugar após correr rápido por muito tempo, como fizemos”.

“Um país lento”, disse a Rainha. “Aqui, você vê, é necessário correr o mais rápido que você puder para continuar no mesmo lugar.”

Exemplos da biologia.

Uma espécie de raposa que adquire maior velocidade consegue capturar mais coelhos. Disso, apenas os coelhos mais rápidos sobreviverão, e a próxima geração de coelhos também será mais rápida, anulando a vantagem competitiva da raposa.

Espécies que não conseguem acompanhar o ritmo tendem à extinção.

Uma tribo pré histórica que aprender a construir um muro, terá uma vantagem competitiva – enquanto as tribos rivais não imitarem e superarem a sua técnica de construção.

Exemplo mais moderno. Linguagens de programação e ferramentas tecnológicas em geral: Cobol, C, Visual Basic, Java, Javascript, Python, Ruby. Mal surge uma, poucos anos depois alguma outra linguagem mais avançada e com alguma vantagem competitiva já ameaça o seu posto.

A mesma coisa no mundo dos negócios. O modelo de negócios deve evoluir de acordo com a evolução do ambiente, sob o risco da empresa ficar para trás: exemplo clássico da Blockbuster superada pela Netflix, que ela teve a oportunidade de comprar anos antes, ou um Yahoo superado pelo Google, e assim sucessivamente. Jornais e revistas em papel estão com os dias contados. Grandes impérios de comunicação e entretenimento sendo superados por um exércitos de Youtubers e influenciadores.

Em nível pessoal, a mesma coisa. Um título de graduação não é hoje um grande diferencial, talvez uma pós possa dar alguma relevância maior. Inglês, pacote Office são exigências básicas, além de habilidades interpessoais, trabalho em equipe, liderança. Assim mesmo, nenhum título garante que o contratado vá desempenhar bem, em verdade, é necessário continuar correndo o mais rápido possível, imerso que estamos no mundo da Rainha Vermelha.

Já dizia o grande escritor Will Durant, “A primeira lição biológica da história é que a vida é competição”.

Veja também:

O autor Matt Riddley tem um livro inteiro sobre o tema, intitulado “The Red Queen”, sobre evolução e o papel do sexo. https://amzn.to/3h4hxF2

Publicações na página DataHackers

Publiquei alguns posts mais técnicos na página do DataHackers, uma das maiores plataformas de Data Science no Brasil.

Um sobre o conto “Escaravelho Dourado”, de Edgar Allan Poe, que lida com criptografia.

E outro, sobre a “Espiral musical” em Excel.

Ainda estou experimentando o que é um conteúdo interessante para esta e o que não é, vantagens e desvantagens, etc…

De um modo mais geral, a plataforma Medium é bem interessante. Surgiu como uma alternativa de blog para produtores, e com possibilidade de criar publicações – substituindo as antigas revistas em papel. É possível seguir temas de interesse, e sugestões de artigos interessantes são enviados por e-mail, todos os dias. Essa plataforma teve o seu pico de entuasiasmo, uma queda, e parece agora estar entrando na maturidade.

Confira minha página no Medium:
https://medium.com/@arnaldogunzi

E o conteúdo do blog Forgotten Lore.

https://ideiasesquecidas.com/

https://ferramentasexcelvba.wordpress.com/

O infinito é um laço amoroso

O astrônomo Arthur Edditon chamou o infinito de “laço amoroso”, mas está mais para um 8 preguiçoso: os matemáticos o chamam de “lemniscata”.

Conta a lenda que um jovem apaixonado estava tão envolvido no laço infinito da lemniscata que criou uma rima:

“Era uma vez um jovem de Trinity
Que resolveu a raiz quadrada de infinito.
Ao contar os dígitos,
Ele se aquietou com os símbolos
Deixou a ciência, e assumiu a divindade”

O Paradoxo do Grande Hotel de Hilbert (referência ao matemático David Hilbert) dá um vislumbre do infinito.

O hotel de Hilbert tem infinitos quartos numerados como 1, 2, 3,… e está com todos os quartos ocupados.

Chega um turista a mais, procurando hospedagem. Como fazer? Simples. Hilbert pede para o ocupante do quarto 1 se mudar para o 2, o do 2 para o 3, o do 3 para o 4, e assim sucessivamente, até infinito. Dessa forma, é capaz de acomodar o turista no quarto 1.

Chega um ônibus lotado com infinitos turistas. Como fazer para acomodar esta turma toda?

Aqui, Hilbert deve ser um pouco mais engenhoso. Ele pede para o ocupante do quarto 1 mudar para o 2, o do 2 para o 4, o do 3 para 6, ou seja, para o dobro do valor que o hóspede ocupa atualmente, até o infinito. Desse modo, os novos turistas do ônibus infinito podem ocupar os números ímpares, ao passo que antigos hóspedes ocupam os números pares. E é possível receber tantos novos ônibus infinitos quanto se queira.

“O infinito e o zero são irmãos gêmeos” – Charles Seife.

Adaptado de “Ideias geniais na matemática”, cedido pelo amigo Marcos Gomes de Melo.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Hotel_de_Hilbert

Máximo Divisor Comum Visual – parte 1

Continuando a série de Teoria dos Números Visual, o tópico agora é o MDC.

O máximo divisor de comum de dois números a e b é o maior inteiro que divide a e b, sendo ambos diferentes de zero. Denota-se o mdc por (a,b).

Exemplo visual. Sejam a = 16 e b = 12. O mdc será d = 4, pois é o máximo de colunas que a base da composição pode ter para dividir tanto as pedrinhas de a quanto de b.

Utilizando o mesmo exemplo, 8 não é o mdc (12, 16), pois embora divida 16, vai deixar resto ao dividir 12 – é como se não conseguíssimos colocar todas as pedrinhas igualmente distribuídas em 8 colunas.

Teorema. Seja d = mdc(a,b), então existem inteiros n e m tais que d = n*a + m*b.

Uma prova informal: se d|a e d|b, d|(m*a + n*b), conforme resultado já mostrado anteriormente, isso para qualquer m e n inteiros (positivo, negativo, zero). Ou seja, algum caso particular m0 e n0 vai dar a menor soma positiva possível c = m0*a + n0*b, e como d|( m0*a + n0*b), então d|c. Além disso, como c é a menor soma positiva possível, c = d.

Exemplo: 4 = 16*1 + 12*(-1)

Para uma prova mais formal, vide referência no final do texto.

Teorema: O máximo divisor comum d de a e b é o divisor positivo de a e b o qual é divisível por todo divisor comum.

O mdc é o maior divisor comum, porém, isso não quer dizer que não haja outros divisores comuns. Se houver, esse divisor vai dividir o mdc.

Ex. 2 é divisor comum de 16 e 12, porém, não é o maior divisor comum.

E notar que 2 | 4, ou seja, um divisor comum de 16 e 12 vai dividir o mdc.

Proposição: Para todo inteiro positivo t, (ta,tb) = t(a,b).

Exemplo visual:

Proposição: Se c>0 e a e b são divisíveis por c, então, (a/c,b/c) = (a,b)/c.

É basicamente similar à proposição anterior, porém dividindo ao invés de multiplicar.

Exemplo visual:

mdc(12,16) =4

2|12 e 2|16

mdc(12/2,16/2) =4/2 =2

(Continua)

Para uma prova mais formal, vide referência abaixo.

Referência: Introdução à Teoria dos Números, José Plínio de Oliveira Santos, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada.

Anedotas de Pablo Picasso

O grande pintor Pablo Picasso, além de prolífico com o pincel, é famoso também por curiosas anedotas que envolvem sua pessoa.

Citando algumas.

1) Quadros que se parecem com a realidade

Pablo Picasso era famoso pelos quadros cubistas abstratos. Um dia, um transeunte perguntou a ele: “Por que você não pinta quadros que se parecem com a realidade?”

“Como assim?”, retrucou o pintor.

O homem pegou uma foto no bolso e disse: “Olhe, é a minha esposa”.

Ao que Picasso comentou: “Ela é muito diminuta e plana”.

2) Picasso estava num parque. Uma senhora o reconheceu e pediu para ele pintar um retrato dela.
Alguns minutos depois, o pintor lhe entregou um desenho. Ela ficou feliz em ver como ele tinha capturado a essência de sua pessoa num belo trabalho, e perguntou quanto ela lhe devia.

“5000 francos, madame”, respondeu.

A mulher, indignada, rosnou que era um valor absurdo para um trabalho feito em 5 minutos.

Picasso, então, respondeu: “Não, minha senhora, esse trabalho levou a minha vida toda”.

3) O jovem Pablo tinha um pavor a sapos. Os garotos de sua classe, a fim de se divertir com isso, de quando em quando pegavam um sapo e deixavam em sua cadeira, para assustá-lo.

Um dia, Pablo teve uma ideia. Chegou mais cedo à escola e deixou um sapo de papel em seu lugar. Retornou mais tarde, quando a sala estava cheia, e fingiu a mesma reação de pavor ao sapo de papel.

Os valentões da sala passaram a usar a versão de papel dali em diante, por ser muito mais fácil fazer um sapo de papel do que pegar um de verdade.

Internamente, porém, o futuro pintor estava rindo dos bobões, afinal sapos de papel não lhe causavam desconforto algum…


Não sei se tais histórias realmente pertencem a Picasso ou são apócrifas, mas são divertidas assim mesmo. Como diria Yogi Berra, famoso por seus aforismos, “Eu não disse tudo o que eu disse”.

“Deus é na verdade apenas mais um artista. Ele inventou a girafa, o elefante, e o gato. Ele não tem estilo de verdade.” – Pablo Picasso.

Veja também:

As leis da simplicidade – John Maeda

Segue uma recomendação de livro / site: As leis da simplicidade, de John Maeda, designer do MIT Media Lab.

É um livro bem fino, menos de 100 páginas, com boas dicas sobre como organizar e deixar os trabalhos mais simples e intuitivos para o usuário final.

Afinal, como dizia Steve Jobs, “A simplicidade é a maior das sofisticações”.

Algumas das leis que mais gostei:

  • Reduzir: reduzir fisicamente o tamanho, esconder (como um menu no computador que se recolhe quando não utilizado), agregar mais valor à mesma funcionalidade (ex. ao invés de ter dois botões para dois processos subsequentes, unificar no mesmo).

  • Organizar: a organização pode fazer com que um sistema de muitos pareça de poucos.

Um exemplo bom é a evolução do iPod. A primeira versão, a da esquerda, era ruim para pessoas com dedos grandes, então a Apple destacou os botões, que é a imagem do meio. Porém, notadamente a versão da direita é a melhor, a mais simples possível.

Maeda dá algumas dicas de organização: ordenar, etiquetar (dar nome), integrar e priorizar

  • Tempo: economia de tempo transmite simplicidade.

Ninguém gosta de esperar, basicamente porque tempo é vida.

Encolher o tempo: ao invés de dar muitas opções detalhadas e passar a responsabilidade ao usuário, deixá-lo apenas com algumas decisões-chave.

Como podemos deixar a espera mais curta?

Como deixar a espera mais tolerável?

  • Diferenças: simplicidade e complexidade precisam um do outro
    Sem a contrapartida da complexidade não podemos reconhecer a simplicidade.

Por fim, uma frase que resume todos os conceitos: “Simplicidade é sobre retirar o óbvio e adicionar o que faz sentido”.

O site das Leis da Simplicidade contém detalhamento do material.

http://lawsofsimplicity.com/

Link da Amazon: https://amzn.to/3HXRwDa

Veja também:

https://medium.theuxblog.com/the-laws-of-simplicity-ed6fa92c7bc6

Ideias técnicas com uma pitada de filosofia

https://ideiasesquecidas.com

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