Empilhamento de cartas e série harmônica

Quantas cartas consigo empilhar, de modo que a borda das superiores saiam da mesa e elas se sustentem apenas por gravidade? Qual distância máxima consigo chegar?

Este probleminha é relativamente simples, e interessante, por remeter à série harmônica.

Para analisar o raciocínio, deve-se pensar da carta de cima para as cartas de baixo.

Com uma carta, posso colocar o centro de gravidade exatamente na borda da mesa (representada pelo triângulo). Ou seja, ando lateralmente meia carta. Como hipótese, podemos considerar que a carta tem tamanho 2, sendo assim, meia carta tem tamanho 1, para facilitar as contas seguintes.

Com duas cartas, considera-se que o centro de gravidade da primeira carta está exatamente na borda da segunda carta. O ponto de equílibro do centro de gravidade do sistema é dado por pela soma de distâncias * pesos.

Nesse caso: (1-x) P = x*P

-> x = 1/2

Com três cartas e o mesmo raciocínio:


(1-x)* P = x*2*P

-> x = 1/3

Temos um padrão, e para a k-ésima carta:
(1-x)* P = x*(k-1)*P

-> x = 1/k

Ou seja, o total que a pilha anda lateralmente é dado exatamente pela série harmônica:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … + 1/k

Sobre a série harmônica, o notável matemático Leonard Euler, no século 18, notou que esta tem uma similaridade enorme com a função logaritmo. Mais formalmente, temos a constante de Euler, dada por:

e

γ≈0.5772156649

Ou seja, a soma da série harmônica e o logaritmo neperiano tendem a uma constante.

Dá para perceber a semelhança entre as séries através da prova da divergência da série harmônica (veja aqui). Para cada avanço adicional na soma da série, é necessária uma quantidade exponencialmente maior de termos (ou seja, para cada metro lateral adicional, é necessária uma quantidade exponencialmente maior de cartas).

Uma curiosidade é que não se sabe até hoje se a constante de Euler é racional ou irracional.

Bom, respondendo à pergunta do problema. A série harmônica diverge, ainda que muito lentamente, de modo que a pilha pode andar na lateral uma distância infinita! É claro que, para isso, será necessária uma quantidade infinita também de cartas. Nada mau, para uma pergunta tão ingênua!

Veja também.

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_constant

https://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html

Um comentário sobre “Empilhamento de cartas e série harmônica

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