Empilhamento de cartas e série harmônica

Quantas cartas consigo empilhar, de modo que a borda das superiores saiam da mesa e elas se sustentem apenas por gravidade? Qual distância máxima consigo chegar?

Este probleminha é relativamente simples, e interessante, por remeter à série harmônica.

Para analisar o raciocínio, deve-se pensar da carta de cima para as cartas de baixo.

Com uma carta, posso colocar o centro de gravidade exatamente na borda da mesa (representada pelo triângulo). Ou seja, ando lateralmente meia carta. Como hipótese, podemos considerar que a carta tem tamanho 2, sendo assim, meia carta tem tamanho 1, para facilitar as contas seguintes.

Com duas cartas, considera-se que o centro de gravidade da primeira carta está exatamente na borda da segunda carta. O ponto de equílibro do centro de gravidade do sistema é dado por pela soma de distâncias * pesos.

Nesse caso: (1-x) P = x*P

-> x = 1/2

Com três cartas e o mesmo raciocínio:


(1-x)* P = x*2*P

-> x = 1/3

Temos um padrão, e para a k-ésima carta:
(1-x)* P = x*(k-1)*P

-> x = 1/k

Ou seja, o total que a pilha anda lateralmente é dado exatamente pela série harmônica:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … + 1/k

Sobre a série harmônica, o notável matemático Leonard Euler, no século 18, notou que esta tem uma similaridade enorme com a função logaritmo. Mais formalmente, temos a constante de Euler, dada por:

e

γ≈0.5772156649

Ou seja, a soma da série harmônica e o logaritmo neperiano tendem a uma constante.

Dá para perceber a semelhança entre as séries através da prova da divergência da série harmônica (veja aqui). Para cada avanço adicional na soma da série, é necessária uma quantidade exponencialmente maior de termos (ou seja, para cada metro lateral adicional, é necessária uma quantidade exponencialmente maior de cartas).

Uma curiosidade é que não se sabe até hoje se a constante de Euler é racional ou irracional.

Bom, respondendo à pergunta do problema. A série harmônica diverge, ainda que muito lentamente, de modo que a pilha pode andar na lateral uma distância infinita! É claro que, para isso, será necessária uma quantidade infinita também de cartas. Nada mau, para uma pergunta tão ingênua!

Veja também.

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_constant

https://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html

Prova visual da divergência da série harmônica

A série harmônica é dada por:

Ela tem esse nome por conta do conceito de harmônicas, em música. Imagine prender uma corda de piano a um tamanho 1, depois a metade do tamanho, 1/3 do tamanho, etc.

É um resultado conhecido desde Bernoulli, no séc XVII, que a série harmônica diverge: o somatório dos termos tende a infinito.

A prova dos livros de matemática consiste em comparar com uma série conhecidamente divergente:

1/2 + 1/2 + 1/2 + …

Se eu somar o número 1/2 infinitamente, claramente a série vai divergir.

A série harmônica é maior do que a série divergente acima, basta rearranjar os termos. A figura acima ilustra as operações envolvidas.

Embora a série harmônica divirja, ela o faz muito lentamente.

Um programinha de 4 linhas em Python, para 1000 termos:

harmonic=0
for i in range(1,1001):
harmonic += 1/i
print(harmonic)

Para 1000 termos, a soma dá 7,48.

Para 1 milhão de termos, a soma dá 14,39.

A soma dos primeiros 1043 termos é menor do que 100, segundo a Wikipedia, cujo link consta abaixo e tem outras informações interessantes.

É como a tartaruga do conto de Esopo: parece que nunca vai chegar lá, mas lenta e consistentemente, sempre cruza a linha de chegada!

Vide também:

https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)