A soma de 4 números inteiros consecutivos tem resto 2
Note o padrão: entre 4 inteiros consecutivos, um deles será divísivel por 4, outros terão restos 1, 2 e 3.
A soma deles terá resto (1 + 2 + 3) mod 4 = 2. É como somar as pedrinhas brancas do diagrama acima: vai completar uma linha, e sobrar 2 para a próxima linha.
Ex. 3+4+5+6 = 18
18 = 4*4 + 2, portanto, 18 = 2 mod 4
A soma de 5 números inteiros consecutivos tem resto 0
Mesmo raciocínio. Entre 5 inteiros consecutivos, um deles será divisível por 5, outros terão resto de 1 a 4.
Somando os restos 1, 2, 3 e 4, dá 10, o que é divisível por 5. É como se a bolinha branca unitária se juntasse à de 4 unidades, fechando uma linha completa, e o mesmo com a de 2 e 3. Todas as 5 colunas estariam ocupadas, sem sobrar nenhuma bolinha.
Ex. 7+8+9+10+11 = 45, divisível por 5.
9+10+11+12+13=55, divisível por 5.
A mesma estrutura pode ser utilizada para provar resultados para soma de 6 números consecutivos, 7, etc…
Esta é uma prova bem simples de visualizar, utilizando a “álgebra de pedrinhas”.
Dados três números consecutivos, um deles vai ser divisível por 3, outro vai deixar resto 1 e o terceiro vai deixar resto 2. A soma deles será divisível por 3.
O astrônomo Arthur Edditon chamou o infinito de “laço amoroso”, mas está mais para um 8 preguiçoso: os matemáticos o chamam de “lemniscata”.
Conta a lenda que um jovem apaixonado estava tão envolvido no laço infinito da lemniscata que criou uma rima:
“Era uma vez um jovem de Trinity Que resolveu a raiz quadrada de infinito. Ao contar os dígitos, Ele se aquietou com os símbolos Deixou a ciência, e assumiu a divindade”
O Paradoxo do Grande Hotel de Hilbert (referência ao matemático David Hilbert) dá um vislumbre do infinito.
O hotel de Hilbert tem infinitos quartos numerados como 1, 2, 3,… e está com todos os quartos ocupados.
Chega um turista a mais, procurando hospedagem. Como fazer? Simples. Hilbert pede para o ocupante do quarto 1 se mudar para o 2, o do 2 para o 3, o do 3 para o 4, e assim sucessivamente, até infinito. Dessa forma, é capaz de acomodar o turista no quarto 1.
Chega um ônibus lotado com infinitos turistas. Como fazer para acomodar esta turma toda?
Aqui, Hilbert deve ser um pouco mais engenhoso. Ele pede para o ocupante do quarto 1 mudar para o 2, o do 2 para o 4, o do 3 para 6, ou seja, para o dobro do valor que o hóspede ocupa atualmente, até o infinito. Desse modo, os novos turistas do ônibus infinito podem ocupar os números ímpares, ao passo que antigos hóspedes ocupam os números pares. E é possível receber tantos novos ônibus infinitos quanto se queira.
“O infinito e o zero são irmãos gêmeos” – Charles Seife.
Adaptado de “Ideias geniais na matemática”, cedido pelo amigo Marcos Gomes de Melo.
Continuando a série de Teoria dos Números Visual, o tópico agora é o MDC.
O máximo divisor de comum de dois números a e b é o maior inteiro que divide a e b, sendo ambos diferentes de zero. Denota-se o mdc por (a,b).
Exemplo visual. Sejam a = 16 e b = 12. O mdc será d = 4, pois é o máximo de colunas que a base da composição pode ter para dividir tanto as pedrinhas de a quanto de b.
Utilizando o mesmo exemplo, 8 não é o mdc (12, 16), pois embora divida 16, vai deixar resto ao dividir 12 – é como se não conseguíssimos colocar todas as pedrinhas igualmente distribuídas em 8 colunas.
Teorema. Seja d = mdc(a,b), então existem inteiros n e m tais que d = n*a + m*b.
Uma prova informal: se d|a e d|b, d|(m*a + n*b), conforme resultado já mostrado anteriormente, isso para qualquer m e n inteiros (positivo, negativo, zero). Ou seja, algum caso particular m0 e n0 vai dar a menor soma positiva possível c = m0*a + n0*b, e como d|( m0*a + n0*b), então d|c. Além disso, como c é a menor soma positiva possível, c = d.
Exemplo: 4 = 16*1 + 12*(-1)
Para uma prova mais formal, vide referência no final do texto.
Teorema: O máximo divisor comum d de a e b é o divisor positivo de a e b o qual é divisível por todo divisor comum.
O mdc é o maior divisor comum, porém, isso não quer dizer que não haja outros divisores comuns. Se houver, esse divisor vai dividir o mdc.
Ex. 2 é divisor comum de 16 e 12, porém, não é o maior divisor comum.
E notar que 2 | 4, ou seja, um divisor comum de 16 e 12 vai dividir o mdc.
Proposição: Para todo inteiro positivo t, (ta,tb) = t(a,b).
Exemplo visual:
Proposição: Se c>0 e a e b são divisíveis por c, então, (a/c,b/c) = (a,b)/c.
É basicamente similar à proposição anterior, porém dividindo ao invés de multiplicar.
Exemplo visual:
mdc(12,16) =4
2|12 e 2|16
mdc(12/2,16/2) =4/2 =2
(Continua)
Para uma prova mais formal, vide referência abaixo.
Referência: Introdução à Teoria dos Números, José Plínio de Oliveira Santos, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada.
Visualização de alguns resultados de Teoria dos Números, utilizando a “álgebra de pedrinhas”.
O Teorema de Eudoxo
O clássico Teorema de Eudoxo diz: dados a e b inteiros com b <> 0 então a é um múltiplo de b ou se encontra entre dois múltiplos consecutivos de b.
Ou seja, existe um inteiro q tal que:
q*b <= a <= (q +1)*b, para b>0.
O teorema de Eudoxo segue a mesma lógica das pedrinhas já mostrada anteriormente.
No caso a = 13 e b =3, as pedrinhas vão estar dispostas em 3 colunas, com uma pedrinha de resto.
Existe q = 4 tal que q*b = 12 menor do que 13 (basta tirar a linha do resto), e (q+1)*b = 15, maior do que 13 (basta completar a linha do resto com outras bolinhas.
O Teorema de Eudoxo não é muito famoso, porém, ele é base para mostrar o bem mais interessante Algoritmo da Divisão.
O Algoritmo da Divisão
Dados a e b inteiros com b <> 0, existe um inteiro q e um resto r tal que:
a = q*b + r, com 0 <= r <b
A visualização é exatamente a mesma, é como pegar a bolinhas e ir distribuindo em b colunas. Ou as últimas pedrinhas vão completar exatamente todas as colunas ou vai sobrar um resto, que vai cobrir apenas algumas colunas.
O livro de referência abaixo divide a prova mais formal em existência e unicidade. A parte de existência parte do Teorema de Eudoxo, dado acima. A de unicidade, começa assumindo que há duas soluções, e a seguir, mostrar que são iguais.
Para uma prova mais formal, vide referência abaixo.
Referência: Introdução à Teoria dos Números, José Plínio de Oliveira Santos, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada.
Dados dois inteiros a e b, b>0, existe um único par de inteiros q e r tais que:
a = q*b+r,
com 0<= r < b
q é chamado de quociente e r de resto da divisão de a por b.
Outro exemplo: 8 dividido por 2 = 2 colunas com 4 bolinhas de altura (o quociente). No caso, o resto da divisão é zero.
Vejamos um caso com resto na divisão.
Para o caso 13 / 4, não consigo arrumar 13 bolinhas em 4 colunas. Consigo arrumar 4 colunas com 3 bolinhas de altura (quociente), e vai “sobrar” uma linha com uma bolinha. Essa “sobra” é o resto da divisão.
13 = 4*3 + 1
(numerador = denominador*quociente + resto)
Neste caso, é dito que 13 não é divisível por 4.
Um último exemplo: 22 não é divisível por 5, porque vai restar uma linha com 2 pedrinhas “sobrando” (resto da divisão).
O algoritmo da divisão é base de todo o resto do livro, e dá para chegar à conclusões bastante complexas construindo o raciocínio, pouco a pouco.
Aproveitando a onda das Olimpíadas, aproveito para divulgar que também fui medalha de bronze. Foi nas Olimpíadas Brasileiras de Matemática de 1997.
O livro acima é da SBM (Sociedade Brasileira de Matemática), e contém enunciados e resoluções de provas antigas da OBM. Além disso, no final do livro, tem uma listagem com os premiados de cada olimpíada da coletânea – e confesso que comprei o livro só para ver se meu nome estava lá!
Para estudar para esta prova, em 1997, um livro que ajudou muito foi o Olimpíadas Brasileiras de Matemática, de 1o a 8o (ou seja, a primeira versão da coletânea). Naquela época pré-internet era bem difícil encontrar material bom, no nível alto desse tipo de prova.
Hoje em dia, é bem mais simples. Para quem gosta de matemática, a loja da SBM é um prato cheio.
Outra recomendação de livro de matemática é o abaixo: 12 na matemática e na vida. Conta algumas histórias sobre números e matemática, de forma simples e didática.
O motivo da recomendação é que o autor, Sinésio, é amigo e colega de empresa meu.
Este livro foi publicado há anos atrás e só é possível encontrar em sebos.
A resposta é “Sim”, é difícil encontrar e contratar, principalmente devido à grande demanda atual por análise de dados.
Porém, o problema tem dois lados. As empresas também não têm profissionais que entendem do tema. Estes devem orientar, encaminhar e patrocinar trabalhos desta natureza. Erros comuns: projetos muito pequenos por falta de entender o que é possível ser feito, ou com escopo aberto demais (digamos, confundindo processos com sistemas), ou sem patrocínio.
À medida que as universidades vêm incorporando grades sobre o assunto, e excelentes cursos on-line se proliferam, o gargalo está cada mais migrando do primeiro item para o segundo.
(baseado em comentário do prof. Karim Lakhani, em um evento patrocinado pela Visagio Engenharia de Gestão).
O modelo epidemiológico SIR (e derivados) é um dos mais utilizados na atualidade. Ele é simples de entender e modelar, e muito poderoso nas implicações. Entretanto, tem várias hipóteses fracas. No final das contas, há uma incerteza muito grande no que pode ocorrer. O texto a seguir discute essas implicações e fornece uma versão em Excel do modelo.
Antes, um aquecimento: modelo exponencial simples.
A tentativa mais simples de criar um modelo epidemiológico é pegar a curva de ocorrências e fitar uma curva exponencial, como na figura a seguir, com os casos confirmados de COVID-19 no Brasil.
Porém, esse modelo tem um defeito grave: ele cresce infinitamente. Projetando a série, no dia 90 já há 250 milhões de casos (mais do que a população do BR). Deixando mais tempo, a série vai a infinito, o que evidentemente está errado.
O modelo SIR considera a interação entre Saudáveis, Infectados e Recuperados.
O início considera toda a população saudável e alguns poucos infectados.
Um infectado pode transmitir para vários saudáveis – e essa taxa é a primeira equação abaixo. A taxa de decrescimento de saudáveis é proporcional a um fator vezes o número de saudáveis vezes a proporção de infectados na população total.
Ex. Para o corona vírus, alguns estimaram essa taxa de infecção em 4 (um infectado transmite para 4 saudáveis), outros estudos chegaram até a 10. Um dos grandes problemas desse modelo é estimar esse fator.
A segunda equação é a taxa do número de infectados: proporcional a quantos saudáveis se infectaram menos quantos infectados se recuperam.
A terceira equação é a taxa de quantos infectados se recuperam: para este exercício, é considerado um valor de 10 dias para a pessoa se recuperar.
O gráfico mostra o comportamento dessas curvas, para o caso do BR.
Note que o comportamento exponencial continua existindo, só que diminui à medida que o número de saudáveis diminui e mais gente se recupera.
Só esse modelo simples já explica muita coisa. Por exemplo, tirando 100 milhões de pessoas saudáveis (digamos, com quarentena forçada) e diminuindo um pouco a velocidade de transmissão, desloco e diminuo a curva de infectados.
Se existir uma vacina, é a mesma coisa.
Se tiver um remédio que cura rapidamente, a curva de recuperados aumenta mais rapidamente.
Utilizando o modelo SIR no Excel
O modelo no Excel descreve a dinâmica Saudáveis – Infectados – Recuperados.
Pelo método, os dias devem ser divididos em pedaços menores – no caso, 0,05 dia. Isso porque estamos integrando as equações diferenciais descritas, e nisso estamos discretizando uma curva contínua.
Recuperados(hoje) = recuperados (ontem) + taxa dR /dt
Ou seja, tudo depende de calcular as taxas de crescimento.
As taxas são descritas pelas equações, que dependem dos parâmetros de transmissão e recuperação (vide Excel para detalhar o cálculo).
O grande X da questão é estimar os parâmetros a serem utilizados.
Para o de recuperação (Kr acima) foi utilizado um valor de 10 dias, que é o tempo médio de uma pessoa se recuperar. O parâmetro é o inverso do valor, portanto, 0,1 – é como se a pessoa se recuperasse 10% por dia.
O Ki tem que ser estimado a partir da distribuição real de casos no BR.
O Ki tem que ser obtido de modo a minimizar o R2 entre o histórico e o modelo. Isso pode ser feito ou substituindo valores no braço, ou utilizando o solver (vide fórmulas na planilha).
O modelo SIR é bastante simples (utiliza apenas alguns poucos parâmetros) e é largamente utilizado para fazer forecast epidemiológico.
Há diversas variantes mais complexas deste, incorporando outras variáveis.
Algumas hipóteses contestáveis:
– Um infectado tem igual chance de infectar qualquer um dos 200 milhões de saudáveis do BR, o que não é verdade (teria que fazer um modelo com refinação geográfica e movimentação de pessoas para pegar essa dinâmica).
– Não se sabe se alguém recuperado pode ficar infectado novamente e transmitir de novo o vírus a outrem.
– Este modelo não incorpora diretamente fatores como aumento de prevenção, isolamento.
– Uma pequena diferença no parâmetro causa enorme variação nos resultados, principalmente em períodos longos de tempo, por causa do comportamento exponencial. Portanto, é como um modelo meteorológico, que vale por poucos dias, ou modelos de campeonato de futebol: muda a cada rodada e deve ser constantemente alimentado.
No final das contas, sempre vai existir uma incerteza enorme no que pode acontecer, por melhor que seja o modelo.
Ajude o Papai Noel a otimizar a sua agenda de entregas!
Para quem é fera em otimização combinatória, a Kaggle lançou um desafio de agendamento de entregas: o Santa workshop tour (Santa Claus = Papai Noel. É um desafio com prêmios. O time que apresentar a menor rota ganhará um prêmio.
O Kaggle é uma plataforma de educação para ciência de dados, que trabalha na forma de desafios. Há diversos datasets bastante ricos, e técnicas de ponta de cientistas top do mundo todo – o nível é muito alto.
É possível formar times de até 5 pessoas.
Eu gostaria de formar um time brasileiro forte para concorrer. Alguém se habilita? Pré-requisito: background forte em Analytics, Python e Pesquisa Operacional.
O “cubo fantasma” é o da foto abaixo. É um cubo mágico 3x3x3, porém sem cores e completamente assimétrico.
Juro que demorei mais de um ano para resolver este cubo maluco (não contínuos, mexendo de tempos em tempos).
Isto porque a grande dificuldade é saber qual a posição final da peça. Em comparação, no Rubik comum, pelas cores é fácil saber para onde a peça deve ir. No cubo fantasma, praticamente impossível!
Para mim, virou uma busca exaustiva, tentando encaixar peça a peça, girar, tentar encaixar.
Não vou postar um tutorial, porque os algoritmos são os mesmos do Rubik normal. Há, porém, alguns cuidados a tomar.
Uma dificuldade é que a posição final, mostrada abaixo, não é a posição de girar o cubo. Para girar o cubo, temos que girar cada layer para fazer coincidir as peças de centro e edge – e torna mais difícil ainda reconhecer a posição das peças.
Outra dificuldade é que a peça de centro de cada face, no Rubik comum, não gira – ou melhor, gira mas não importa. Já no caso do Fantasma, a peça central é assimétrica, então o giro é necessário. Deve-se mapear nos algoritmos quais delas giram o centro da face.
Uma última dificuldade. Há peças que encaixam certinho no lugar de outras. Acabei trocando a posição das peças assim, sem querer, o que me jogou num beco sem saída no final. Tive que voltar vários movimentos somente para encaixar a peça correta.
E, por fim, um link do Ghost cube, e uma sequência de fotos deste sob vários ângulos (é para me ajudar da próxima vez que for resolvê-lo).
ideiasesquecidas.com 
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