Provas visuais sobre soma de 4 e 5 inteiros consecutivos

Em post anterior (abaixo), foi mostrado um resultado simples, e que fica bem ilustrado utilizando a “Álgebra de pedrinhas”.

É simples estender o mesmo raciocínio, para provar resultados sobre somas consecutivas de outros números.

A soma de 4 números inteiros consecutivos tem resto 2

Note o padrão: entre 4 inteiros consecutivos, um deles será divísivel por 4, outros terão restos 1, 2 e 3.

A soma deles terá resto (1 + 2 + 3) mod 4 = 2. É como somar as pedrinhas brancas do diagrama acima: vai completar uma linha, e sobrar 2 para a próxima linha.

Ex. 3+4+5+6 = 18

18 = 4*4 + 2, portanto, 18 = 2 mod 4

A soma de 5 números inteiros consecutivos tem resto 0

Mesmo raciocínio. Entre 5 inteiros consecutivos, um deles será divisível por 5, outros terão resto de 1 a 4.

Somando os restos 1, 2, 3 e 4, dá 10, o que é divisível por 5. É como se a bolinha branca unitária se juntasse à de 4 unidades, fechando uma linha completa, e o mesmo com a de 2 e 3. Todas as 5 colunas estariam ocupadas, sem sobrar nenhuma bolinha.

Ex. 7+8+9+10+11 = 45, divisível por 5.

9+10+11+12+13=55, divisível por 5.

A mesma estrutura pode ser utilizada para provar resultados para soma de 6 números consecutivos, 7, etc…

Veja também:

https://forgottenmath.home.blog/2019/01/28/algebra-de-pedrinhas/

Prova visual de que a soma de três números consecutivos é divisível por 3

Esta é uma prova bem simples de visualizar, utilizando a “álgebra de pedrinhas”.

Dados três números consecutivos, um deles vai ser divisível por 3, outro vai deixar resto 1 e o terceiro vai deixar resto 2. A soma deles será divisível por 3.

Veja também:

O infinito é um laço amoroso

O astrônomo Arthur Edditon chamou o infinito de “laço amoroso”, mas está mais para um 8 preguiçoso: os matemáticos o chamam de “lemniscata”.

Conta a lenda que um jovem apaixonado estava tão envolvido no laço infinito da lemniscata que criou uma rima:

“Era uma vez um jovem de Trinity
Que resolveu a raiz quadrada de infinito.
Ao contar os dígitos,
Ele se aquietou com os símbolos
Deixou a ciência, e assumiu a divindade”

O Paradoxo do Grande Hotel de Hilbert (referência ao matemático David Hilbert) dá um vislumbre do infinito.

O hotel de Hilbert tem infinitos quartos numerados como 1, 2, 3,… e está com todos os quartos ocupados.

Chega um turista a mais, procurando hospedagem. Como fazer? Simples. Hilbert pede para o ocupante do quarto 1 se mudar para o 2, o do 2 para o 3, o do 3 para o 4, e assim sucessivamente, até infinito. Dessa forma, é capaz de acomodar o turista no quarto 1.

Chega um ônibus lotado com infinitos turistas. Como fazer para acomodar esta turma toda?

Aqui, Hilbert deve ser um pouco mais engenhoso. Ele pede para o ocupante do quarto 1 mudar para o 2, o do 2 para o 4, o do 3 para 6, ou seja, para o dobro do valor que o hóspede ocupa atualmente, até o infinito. Desse modo, os novos turistas do ônibus infinito podem ocupar os números ímpares, ao passo que antigos hóspedes ocupam os números pares. E é possível receber tantos novos ônibus infinitos quanto se queira.

“O infinito e o zero são irmãos gêmeos” – Charles Seife.

Adaptado de “Ideias geniais na matemática”, cedido pelo amigo Marcos Gomes de Melo.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Hotel_de_Hilbert

Máximo Divisor Comum Visual – parte 1

Continuando a série de Teoria dos Números Visual, o tópico agora é o MDC.

O máximo divisor de comum de dois números a e b é o maior inteiro que divide a e b, sendo ambos diferentes de zero. Denota-se o mdc por (a,b).

Exemplo visual. Sejam a = 16 e b = 12. O mdc será d = 4, pois é o máximo de colunas que a base da composição pode ter para dividir tanto as pedrinhas de a quanto de b.

Utilizando o mesmo exemplo, 8 não é o mdc (12, 16), pois embora divida 16, vai deixar resto ao dividir 12 – é como se não conseguíssimos colocar todas as pedrinhas igualmente distribuídas em 8 colunas.

Teorema. Seja d = mdc(a,b), então existem inteiros n e m tais que d = n*a + m*b.

Uma prova informal: se d|a e d|b, d|(m*a + n*b), conforme resultado já mostrado anteriormente, isso para qualquer m e n inteiros (positivo, negativo, zero). Ou seja, algum caso particular m0 e n0 vai dar a menor soma positiva possível c = m0*a + n0*b, e como d|( m0*a + n0*b), então d|c. Além disso, como c é a menor soma positiva possível, c = d.

Exemplo: 4 = 16*1 + 12*(-1)

Para uma prova mais formal, vide referência no final do texto.

Teorema: O máximo divisor comum d de a e b é o divisor positivo de a e b o qual é divisível por todo divisor comum.

O mdc é o maior divisor comum, porém, isso não quer dizer que não haja outros divisores comuns. Se houver, esse divisor vai dividir o mdc.

Ex. 2 é divisor comum de 16 e 12, porém, não é o maior divisor comum.

E notar que 2 | 4, ou seja, um divisor comum de 16 e 12 vai dividir o mdc.

Proposição: Para todo inteiro positivo t, (ta,tb) = t(a,b).

Exemplo visual:

Proposição: Se c>0 e a e b são divisíveis por c, então, (a/c,b/c) = (a,b)/c.

É basicamente similar à proposição anterior, porém dividindo ao invés de multiplicar.

Exemplo visual:

mdc(12,16) =4

2|12 e 2|16

mdc(12/2,16/2) =4/2 =2

(Continua)

Para uma prova mais formal, vide referência abaixo.

Referência: Introdução à Teoria dos Números, José Plínio de Oliveira Santos, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada.

O Teorema de Eudoxo e Algoritmo da Divisão

Visualização de alguns resultados de Teoria dos Números, utilizando a “álgebra de pedrinhas”.

O Teorema de Eudoxo

O clássico Teorema de Eudoxo diz: dados a e b inteiros com b <> 0 então a é um múltiplo de b ou se encontra entre dois múltiplos consecutivos de b.

Ou seja, existe um inteiro q tal que:

q*b <= a <= (q +1)*b, para b>0.

O teorema de Eudoxo segue a mesma lógica das pedrinhas já mostrada anteriormente.

No caso a = 13 e b =3, as pedrinhas vão estar dispostas em 3 colunas, com uma pedrinha de resto.

Existe q = 4 tal que q*b = 12 menor do que 13 (basta tirar a linha do resto), e (q+1)*b = 15, maior do que 13 (basta completar a linha do resto com outras bolinhas.

O Teorema de Eudoxo não é muito famoso, porém, ele é base para mostrar o bem mais interessante Algoritmo da Divisão.

O Algoritmo da Divisão

Dados a e b inteiros com b <> 0, existe um inteiro q e um resto r tal que:

a = q*b + r, com 0 <= r <b

A visualização é exatamente a mesma, é como pegar a bolinhas e ir distribuindo em b colunas. Ou as últimas pedrinhas vão completar exatamente todas as colunas ou vai sobrar um resto, que vai cobrir apenas algumas colunas.

O livro de referência abaixo divide a prova mais formal em existência e unicidade. A parte de existência parte do Teorema de Eudoxo, dado acima. A de unicidade, começa assumindo que há duas soluções, e a seguir, mostrar que são iguais.

Para uma prova mais formal, vide referência abaixo.

Referência: Introdução à Teoria dos Números, José Plínio de Oliveira Santos, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada.

Vide também:

Teoria dos Números Visual – Divisão

Vou começar uma série de artigos, explicando a bela Teoria dos Números a partir de uma abordagem visual, que chamei de “álgebra de pedrinhas”.

A motivação é que os livros comuns de matemática exploram pouco os recursos visuais, e a matemática fica mais intuitiva com objetos do mundo real.

Vamos começar com a divisão.

Definição. Se a e b são inteiros, dizemos que a divide b, denotando por a|b, se existir um inteiro c tal que b = a*c.

Por exemplo, 12 dividido por 4 = 3, pode ser interpretado por 12 bolinhas, dispostas em 4 colunas, cada coluna com 3 bolinhas de altura.

Convido o leitor a experimentar o algoritmo em:

https://asgunzi.github.io/TeoriaNumeros01_Divisao/Index.html

Definição: O algoritmo da divisão.

Dados dois inteiros a e b, b>0, existe um único par de inteiros q e r tais que:

a = q*b+r,

com 0<= r < b

q é chamado de quociente e r de resto da divisão de a por b.

Outro exemplo: 8 dividido por 2 = 2 colunas com 4 bolinhas de altura (o quociente). No caso, o resto da divisão é zero.

Vejamos um caso com resto na divisão.

Para o caso 13 / 4, não consigo arrumar 13 bolinhas em 4 colunas. Consigo arrumar 4 colunas com 3 bolinhas de altura (quociente), e vai “sobrar” uma linha com uma bolinha. Essa “sobra” é o resto da divisão.

13 = 4*3 + 1

(numerador = denominador*quociente + resto)

Neste caso, é dito que 13 não é divisível por 4.

Um último exemplo: 22 não é divisível por 5, porque vai restar uma linha com 2 pedrinhas “sobrando” (resto da divisão).

O algoritmo da divisão é base de todo o resto do livro, e dá para chegar à conclusões bastante complexas construindo o raciocínio, pouco a pouco.

Rodar algoritmos de apoio em:

https://asgunzi.github.io/TeoriaNumeros01_Divisao/Index.html

Referência: Introdução à Teoria dos Números, José Plínio de Oliveira Santos, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada.

Veja também:

Livros e Olimpíadas

Aproveitando a onda das Olimpíadas, aproveito para divulgar que também fui medalha de bronze. Foi nas Olimpíadas Brasileiras de Matemática de 1997.

O livro acima é da SBM (Sociedade Brasileira de Matemática), e contém enunciados e resoluções de provas antigas da OBM. Além disso, no final do livro, tem uma listagem com os premiados de cada olimpíada da coletânea – e confesso que comprei o livro só para ver se meu nome estava lá!

Para estudar para esta prova, em 1997, um livro que ajudou muito foi o Olimpíadas Brasileiras de Matemática, de 1o a 8o (ou seja, a primeira versão da coletânea). Naquela época pré-internet era bem difícil encontrar material bom, no nível alto desse tipo de prova.

Hoje em dia, é bem mais simples. Para quem gosta de matemática, a loja da SBM é um prato cheio.

https://loja.sbm.org.br/

Outra recomendação de livro de matemática é o abaixo: 12 na matemática e na vida. Conta algumas histórias sobre números e matemática, de forma simples e didática.

O motivo da recomendação é que o autor, Sinésio, é amigo e colega de empresa meu.

Este livro foi publicado há anos atrás e só é possível encontrar em sebos.

Ficam as dicas.

Veja também:

Resumos

Faltam talentos em Analytics?

A resposta é “Sim”, é difícil encontrar e contratar, principalmente devido à grande demanda atual por análise de dados.

Porém, o problema tem dois lados. As empresas também não têm profissionais que entendem do tema. Estes devem orientar, encaminhar e patrocinar trabalhos desta natureza. Erros comuns: projetos muito pequenos por falta de entender o que é possível ser feito, ou com escopo aberto demais (digamos, confundindo processos com sistemas), ou sem patrocínio.

À medida que as universidades vêm incorporando grades sobre o assunto, e excelentes cursos on-line se proliferam, o gargalo está cada mais migrando do primeiro item para o segundo.

(baseado em comentário do prof. Karim Lakhani, em um evento patrocinado pela Visagio Engenharia de Gestão).

Soma de ímpares consecutivos – álgebra de pedrinhas

Gosto muito de provas visuais. Tenho neste blog uma coleção de provas deste tipo, envolvendo “álgebra de pedrinhas” – vide Laboratório de Matemática (ideiasesquecidas.com). Segue mais uma.

Prova visual de que a soma de ímpares consecutivos é divisível por 4:

Algebricamente, (2n+1) + (2n+3) = 4n +4, que é divisível por 4.

Ambas as provas são muito simples, porém a visual é mais bonita.

Veja também:

Prova visual da sequência 1+3+5+… (ideiasesquecidas.com)

Pitágoras Visual (ideiasesquecidas.com)

Como funcionam os modelos epidemiológicos?

O modelo epidemiológico SIR (e derivados) é um dos mais utilizados na atualidade. Ele é simples de entender e modelar, e muito poderoso nas implicações. Entretanto, tem várias hipóteses fracas. No final das contas, há uma incerteza muito grande no que pode ocorrer. O texto a seguir discute essas implicações e fornece uma versão em Excel do modelo.

  1. Antes, um aquecimento: modelo exponencial simples.

A tentativa mais simples de criar um modelo epidemiológico é pegar a curva de ocorrências e fitar uma curva exponencial, como na figura a seguir, com os casos confirmados de COVID-19 no Brasil.

Porém, esse modelo tem um defeito grave: ele cresce infinitamente. Projetando a série, no dia 90 já há 250 milhões de casos (mais do que a população do BR). Deixando mais tempo, a série vai a infinito, o que evidentemente está errado.

Vide planilha “ModeloExp.xlsx” para download.

  1. Modelo SIR – Saudáveis – Infectados – Recuperados

O modelo SIR considera a interação entre Saudáveis, Infectados e Recuperados.

O início considera toda a população saudável e alguns poucos infectados.

Um infectado pode transmitir para vários saudáveis – e essa taxa é a primeira equação abaixo. A taxa de decrescimento de saudáveis é proporcional a um fator vezes o número de saudáveis vezes a proporção de infectados na população total.

Ex. Para o corona vírus, alguns estimaram essa taxa de infecção em 4 (um infectado transmite para 4 saudáveis), outros estudos chegaram até a 10. Um dos grandes problemas desse modelo é estimar esse fator.

A segunda equação é a taxa do número de infectados: proporcional a quantos saudáveis se infectaram menos quantos infectados se recuperam.

A terceira equação é a taxa de quantos infectados se recuperam: para este exercício, é considerado um valor de 10 dias para a pessoa se recuperar.

O gráfico mostra o comportamento dessas curvas, para o caso do BR.

Note que o comportamento exponencial continua existindo, só que diminui à medida que o número de saudáveis diminui e mais gente se recupera.

Só esse modelo simples já explica muita coisa. Por exemplo, tirando 100 milhões de pessoas saudáveis (digamos, com quarentena forçada) e diminuindo um pouco a velocidade de transmissão, desloco e diminuo a curva de infectados.

Se existir uma vacina, é a mesma coisa.

Se tiver um remédio que cura rapidamente, a curva de recuperados aumenta mais rapidamente.

  1. Utilizando o modelo SIR no Excel

O modelo no Excel descreve a dinâmica Saudáveis – Infectados – Recuperados.

Pelo método, os dias devem ser divididos em pedaços menores – no caso, 0,05 dia. Isso porque estamos integrando as equações diferenciais descritas, e nisso estamos discretizando uma curva contínua.

                As fórmulas são:

Saudáveis (hoje) = saudáveis (ontem) – taxa dS/dt

Infectados (hoje) = Infectados(ontem) + taxa dI/dt

Recuperados(hoje) = recuperados (ontem) + taxa dR /dt

Ou seja, tudo depende de calcular as taxas de crescimento.

As taxas são descritas pelas equações, que dependem dos parâmetros de transmissão e recuperação (vide Excel para detalhar o cálculo).

O grande X da questão é estimar os parâmetros a serem utilizados.

Para o de recuperação (Kr acima) foi utilizado um valor de 10 dias, que é o tempo médio de uma pessoa se recuperar. O parâmetro é o inverso do valor, portanto, 0,1 – é como se a pessoa se recuperasse 10% por dia.

O Ki tem que ser estimado a partir da distribuição real de casos no BR.

O Ki tem que ser obtido de modo a minimizar o R2 entre o histórico e o modelo. Isso pode ser feito ou substituindo valores no braço, ou utilizando o solver (vide fórmulas na planilha).

Planilha para download.

Nota. Este conteúdo é baseado em  https://m.youtube.com/watch?feature=youtu.be&v=UsIRJFdT_wc.

Há uma explicação detalhada dos pontos citados.

  1. Conclusão

O modelo SIR é bastante simples (utiliza apenas alguns poucos parâmetros) e é largamente utilizado para fazer forecast epidemiológico.

Há diversas variantes mais complexas deste, incorporando outras variáveis.

Algumas hipóteses contestáveis:

– Um infectado tem igual chance de infectar qualquer um dos 200 milhões de saudáveis do BR, o que não é verdade (teria que fazer um modelo com refinação geográfica e movimentação de pessoas para pegar essa dinâmica).

– Não se sabe se alguém recuperado pode ficar infectado novamente e transmitir de novo o vírus a outrem.

– Este modelo não incorpora diretamente fatores como aumento de prevenção, isolamento.

– Uma pequena diferença no parâmetro causa enorme variação nos resultados, principalmente em períodos longos de tempo, por causa do comportamento exponencial. Portanto, é como um modelo meteorológico, que vale por poucos dias, ou modelos de campeonato de futebol: muda a cada rodada e deve ser constantemente alimentado.

No final das contas, sempre vai existir uma incerteza enorme no que pode acontecer, por melhor que seja o modelo.

Coloquei este trabalho no Github: https://github.com/asgunzi/ModeloCoronaVirus

Outra fonte: o Kaggle tem um grande conjunto de datasets, e vários pesquisadores postam modelos de forecast a fim de avançar no tema.

https://www.kaggle.com/c/covid19-global-forecasting-week-2

Veja também:

https://ideiasesquecidas.com/laboratorio-de-matematica/

https://ideiasesquecidas.com/2020/03/12/o-que-e-um-virus/

https://ideiasesquecidas.com/2017/08/09/a-teoria-dos-cisnes-negros/

Data Science com Papai Noel

Ajude o Papai Noel a otimizar a sua agenda de entregas!

Para quem é fera em otimização combinatória, a Kaggle lançou um desafio de agendamento de entregas: o Santa workshop tour (Santa Claus = Papai Noel. É um desafio com prêmios. O time que apresentar a menor rota ganhará um prêmio.

O Kaggle é uma plataforma de educação para ciência de dados, que trabalha na forma de desafios. Há diversos datasets bastante ricos, e técnicas de ponta de cientistas top do mundo todo – o nível é muito alto.

É possível formar times de até 5 pessoas.

Eu gostaria de formar um time brasileiro forte para concorrer. Alguém se habilita? Pré-requisito: background forte em Analytics, Python e Pesquisa Operacional.

https://www.kaggle.com/c/santa-workshop-tour-2019

O “cubo fantasma”

O “cubo fantasma” é o da foto abaixo. É um cubo mágico 3x3x3, porém sem cores e completamente assimétrico.

Juro que demorei mais de um ano para resolver este cubo maluco (não contínuos, mexendo de tempos em tempos).

Isto porque a grande dificuldade é saber qual a posição final da peça. Em comparação, no Rubik comum, pelas cores é fácil saber para onde a peça deve ir. No cubo fantasma, praticamente impossível!

Para mim, virou uma busca exaustiva, tentando encaixar peça a peça, girar, tentar encaixar.

Não vou postar um tutorial, porque os algoritmos são os mesmos do Rubik normal. Há, porém, alguns cuidados a tomar.

Uma dificuldade é que a posição final, mostrada abaixo, não é a posição de girar o cubo. Para girar o cubo, temos que girar cada layer para fazer coincidir as peças de centro e edge – e torna mais difícil ainda reconhecer a posição das peças.

Outra dificuldade é que a peça de centro de cada face, no Rubik comum, não gira – ou melhor, gira mas não importa. Já no caso do Fantasma, a peça central é assimétrica, então o giro é necessário. Deve-se mapear nos algoritmos quais delas giram o centro da face.

Uma última dificuldade. Há peças que encaixam certinho no lugar de outras. Acabei trocando a posição das peças assim, sem querer, o que me jogou num beco sem saída no final. Tive que voltar vários movimentos somente para encaixar a peça correta.

E, por fim, um link do Ghost cube, e uma sequência de fotos deste sob vários ângulos (é para me ajudar da próxima vez que for resolvê-lo).

https://ruwix.com/twisty-puzzles/3x3x3-rubiks-cube-shape-mods-variations/ghost-cube/