Resposta probleminha de fatoração

Prove que $2^{n}-1$ é composto para n composto.

Exemplo. Para n = 9 (composto, 9 = 3*3):

$2^{9}-1 = 511$

E 511 = 7*73, é composto.

Resposta.

Se n é composto, n= a*b

$2^{n} - 1 = 2^{ab} -1$

Dá para fatorar da seguinte forma:

$2^{ab} -1 = (2^{a} - 1)* (2^{a*(b-1)} + 2^{a*(b-2)} + ... + 2^{a}+ 1)$

Exemplo, para n = 9:

$2^{3*3} -1 = (2^{3} - 1)* (2^{3*(2)} + 2^{3} + 1)$

É só desenvolver a expressão para notar que todos os fatores vão se cancelar, exceto $2^{3*3}$ e $-1$ .

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