Há uma fórmula muito bonita, da soma de cubos, que é assim:

1³+2³+3³+4³+ … + n³ = (1+2+3+4+ …+n)² 

Segue uma prova visual, para os 5 primeiros termos da sequência.

E assim sucessivamente…

Veja também:

Lab. Matemática (ideiasesquecidas.com)

As curvas do espirógrafo e as órbitas dos planetas (ideiasesquecidas.com)