O número 2025 é divisível (de forma exata) por 3?
Basta somar os dígitos e verificar: 2 + 0 + 2 + 5 = 9, que é divisível por 3.
Aí vem a pergunta: por quê?
Vamos provar critérios de divisibilidade de alguns números neste texto.
Divisibilidade por 3 e 9
Vamos reescrever o número de outra forma:
2025 = 2000 + 20 + 5
= 2 * 1000 + 2 * 10 + 5
= 2 * (999+1) + 2 * (9+1) + 5
= (2 * 999 + 2) + (2 * 9 +2) + 5
= 2 * 999 + 2 * 9 + (2+0+2+5)
Note que os dois primeiros termos são divisíveis por 3 (e também por 9), restando a soma dos dígitos no terceiro termo.
De forma genérica, é só estender a lógica para um número abcd qualquer:
abcd = a * 1000 + b * 100 + c * 10 + d
=a * (999 +1) + b * (99+1) + c * (9+1) + d
= a * 999 + b * 99 + c * 9 + (a+b+c+d)
Como os primeiros termos são divisíveis por 3, basta verificar se a soma dos dígitos (ou seja, a+b+c+d) é divisível por 3.
A mesma regra vale para o 9, com a mesma prova.
Divisibilidade por 2
Para verificar se um número é divisível por 2, basta verificar se o último dígito termina num número par: 2, 4, 6, 8, 0.
Uma forma de enxergar a razão é fazendo o oposto, multiplicar os números por 2:
0 * 2 = 0
1 * 2 = 2
2 * 2 = 4
3 * 2 = 6
4 * 2 = 8
5 * 2 = 10
6 * 2 = 12
7 * 2 = 14
8 * 2 = 16
9 * 2 = 18
Um número par é sempre divisível por 2, e um número ímpar nunca é divisível por 2. O número 2 divide o universo dos números inteiros em par ou ímpar.
Para divisibilidade por 4, basta verificar se os últimos dois dígitos são divisíveis por 4.
Dado um número abcde:
abcde = abc * 100 + de
Como 100 é divisível por 4, basta verificar se os dois dígitos à direita também o são.
Para divisibilidade por 5, de novo basta olhar a tabuada para ver um padrão: termina em 0 ou 5:
0 * 5 = 0
1 * 5 = 5
2 * 5 = 10
3 * 5 = 15
4 * 5 = 20
5 * 5 = 25
6 * 5 = 30
7 * 5 = 35
8 * 5 = 40
9 * 5 = 45
Para divisibilidade por 6, basta testar o critério para 2 e para 3, afinal 6 =2 * 3.
Aliás, para números compostos, é interessante ver se dá para chegar em algumas dessas regras já vistas.
Ex. 10 = 5 * 2, então tem que ser divisível por 5 e por 2. Já vimos que tudo que termina com 0 ou 5 é divisível por 5, portanto, para ser divisível por 2 também, o número tem que terminar em zero.
A divisibilidade por 7 é meio chatinha, então só vamos mostrar a regra, sem provar.
- Dobre o último dígito do número.
- Subtraia esse valor do restante do número.
- Se o resultado for divisível por 7, então o número original também é.
Exemplo, o número 203:
O último dígito é 3. Dobrando, temos 6.
Subtraindo 6 do restante do número (20), temos 20 – 6 = 14.
Como 14 é divisível por 7, 203 também é divisível por 7.
Bom, essas são as regras para os primeiros números.
Note que basta alguns pequenos truques algébricos para demonstrar os resultados.
Forgotten Lore 