Resposta do puzzle da equação

A equação x^3 – 117y^3 – 5 = 0 tem solução, para x e y inteiros?

Em formato Latex:

Resposta: não tem solução.

A prova envolve Teoria dos Números, mas vamos tentar utilizar apenas os conceitos básicos de divisibilidade.

Vamos um truque matemático chamado “aritmética modular”, que basicamente nos ajuda a ver se certos números podem ser restos de uma divisão.

Note que 117 é divisível por 9: 117/9 = 13. Ou, seja, o termo 117*y^3, para qualquer valor de y inteiro, vai ser divisível por 9.

Vamos olhar para a equação x^3 – 117y^3 = 5, dividir os dois lados por 9 e vemos os restos.

Como 117y^3 tem resto 0 no módulo 9, podemos desconsiderar da equação.

O valor 5 tem resto 5 quando dividido por 9.

Então, podemos checar para quais valores de x temos x^3 dividido por 9 dando resto 5.

Quando fazemos a conta, olhando para último dígito de x^3:

0^3 = 0 mod 9
1^3 = 1 mod 9
2^3 = 8 mod 9
3^3 = 27 mod 9 = 0 mod 9
4^3 = 64 mod 9 = 1 mod 9
5^3 = 125 mod 9 = 8 mod 9
6^3 = 216 mod 9 = 0 mod 9
7^3 = 343 mod 9 = 1 mod 9
8^3 = 512 mod 9 = 8 mod 9
9^3 = 729 mod 9 = 0 mod 9

Vemos que o resto da divisão é igual a 0, 1 ou 8. Não temos valor de x que dê resto 5, o que torna tal equação sem solução.

Nota: o pessoal mais arguto pode questionar: por que utilizar divisão por 9, e não por outro número? A resposta tem como base que 117/9 = 13, e aí, já elimina um termo da equação. Além disso, 9 é menor do que 13, o que facilita na exploração.

Podemos fazer um testezinho no Python, testando algumas combinações de valores.

for x in range(-100,100):
   for y in range(-100, 100):
      z = int(x3 -117 * y ** 3-5)
      if z ==0:
         print(x,y)

O código vai rodar sem retornar nada, porque não tem solução na faixa de números testada (x de -100 a 100, e y idem). Entretanto, numericamente nunca conseguiríamos testar todos os infinitos números inteiros, então o experimento é apenas para dar uma noção, não para provar o resultado final.