Suponha que uma barra de comprimento L será quebrada em três pedaços, onde as posições de quebra são escolhidas de forma aleatória.
Qual a probabilidade de que esses três pedaços possam ser usados para formar um triângulo?
Para os três pedaços formarem um triângulo, as relações abaixo devem ser satisfeitas:
P1 < P2+P3
P2 < P1+P3
P3 < P1+P2
Dica. Fazer uma simulação no Excel.
Resposta em alguns dias.]
Forgotten Lore 
Para p1 e p2 serem menor que a metade da barra(o que é necessário e suficiente para P1 < P2+P3 e P3 < P1+P2) p2 tem que conter o ponto central da barra. Calculando a probabilidade de a barra está no ponto central:
Vamos dividir a barras pela metade. Para p2 conter o ponto central, p2 tem que ter um ponto em cada metade. A probabilidade de não ter pontos dos dois lados é a probabilidade de ter os dois pontos na esquerda + probabilidade de ter os dois pontos na direita, que dá, considerando todos os pontos equiprováveis, 0.50,5 + 0,50,5 = 0.5(0.5+0.5) = 0.5*1 = 0.5. Pelo complementar, a probabilidade de ter um ponto em cada lado é 0.5. OBS: vou desconsiderar os dois pontos estarem no meio porque a probabilidade disso acontecer é 0, já que é um caso entre infinitos casos.
Mas ainda precisamos que p2 seja menor que p1+p3, ou seja, p2 seja menor que metade da barra. Supondo que tenha um ponto de cada lado, vamos calcular a probabilidade de p2 ser menor que metade da barra:
Vamos usar um sistema de coordenada baseada na distância do centro em porcentagem do tamanho da barra. Se o ponto na direita tiver a uma distância x do centro, o ponto na esquerda deve estar a distância menor que 50%-x.
Probabilidade de um ponto x na direita formar com o ponto da esquerda um p2 menor que 50% da barra é (50%-x)/100. E a probabilidade de um ponto 50%-x na direita formar com o ponto da esquerda um p2 menor que 50% da barra é (50%-(50%-x)/100 = x/100. Assim, a média dos dois pontos é ((50%-x)/100)+x/100)/2 = 50%/100 = 0.5. Como cada ponto tem um espelho como esse, em média a probabilidade é 0.5.
Usando a mesma ideia da prova da soma de Gauss, na média a probabilidade é 0.5 e como todos os pontos da direita são equiprováveis, podemos dizer dado um ponto aleatório na direita tem 0.5 de chance de que o ligando com o ponto da esquerda forme um p2 menor que metade da barra.
Dessa forma, (probabilidade de ter um ponto de cada lado) * (probabilidade desse pontos formarem p2 menor que metade da barra) = probabilidade de forma um triângulo. Assim, 0.5*0.5 = 0.25 é probabilidade de formar um triângulo.
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Perfeito, Leonardo.
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