Quando fiz matéria de Álgebra Linear na faculdade, faz mais de 20 anos, não existia Youtube e muito menos IA para ajudar a explicar conceitos, era com base nas aulas e livros mesmo.
Nunca entendi o tal de nullspace, ou núcleo de uma matriz, principalmente porque o assunto é sempre colocado de forma muito abstrata. Pretendo ilustrar a mesma de forma didática, neste espaço.
Nota aleatória: nullspace, na minha cabeça, remete a uma imagem de vácuo sideral infinito…
A definição sempre começa como abaixo:
Em Álgebra Linear, o nullspace (ou núcleo) de uma matriz A é o conjunto de todos os vetores x que satisfazem:
Ax=0
… e depois os livros saem tacando teoria em cima disso.
Como há matrizes, vetores, dimensões, a definição começa a complicar rapidamente.
Vou comentar apenas a intuição. Ora, de forma muito simples, o nullspace é a solução de uma equação. Esta equação é descrita matricialmente Ax = 0.
Ex 1. A equação 2x = 0, terá nullspace = {0}
Ou seja, x = 0, que em termos vetoriais é o subespaço trivial.
É uma bela simplificação, porque 2x = 0 é escalar, não vetorial, mas a ideia é simplificar mesmo, a custo da precisão.
Obs. De forma mais precisa, é o conjunto de todas as soluções, porque esta pode não ser única.
Ex 2. Resolva a equação 2x – y = 0.
Valores como x = 1 e y = 2 funcionam, mas não são únicos. x = 0 e y= 0 também funcionam. E x = 2 e y = 4 também.
De forma genérica, x = k e y = 2k, para qualquer k real, funcionam. Então, o nullspace será na forma k[1 2].
Obs. Ou seja, o nullspace será uma reta de dimensão 1.
Ex 3. Já uma equação como 2x +1 = 0 foge da definição de nullspace, porque, rearrajando, 2x = -1. Não está no formato Ax = 0, pois esta definição necessita de um vetor 0 no lado direito.
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E para que serve o nullspace? Ora, é uma pergunta válida, e, novamente, vamos usar o sistema de equações simples. Para que serve saber a resposta de uma equação do tipo 2x – 5y = 0?
Ora, para obter o conjunto de soluções, pontos que melhor fitam uma curva, ter modelos de comportamento, obter respostas. Todo o machine learning e AI modernos são baseados em Álgebra Linear.
Portanto, de forma supersimplificada, o nullspace é o conjunto de soluções de uma equação dada em formulação matricial. E estas formam um subespaço linear (que é outra definição chatinha, que fica para outra ocasião).
Forgotten Lore 