Enunciado: Um laboratório desenvolveu um teste para detectar uma doença rara.

Sabe-se que a doença afeta 1% da população. O teste tem 99% de precisão para detectar a doença se a pessoa estiver realmente doente, e 90% de precisão para dar negativo quando a pessoa realmente não estiver doente.

Se uma pessoa recebe um resultado positivo, qual é a probabilidade de ela realmente ter a doença?

(Nota: um estudo do estatístico Gerd Gigerenzer mostra que cerca de apenas 20% dos médicos acertam a questão acima)

Resposta: A forma mais simples que vejo de fazer é colocando números.

Digamos que temos 100.000 pessoas que fazem o teste.

Dessas, 1.000 terão a doença (1%). Quando essas fizerem o teste, dará positivo para 990 (verdadeiros positivos).

Agora, das 100 mil pessoas, 99 mil não terão a doença. Quando estas fizerem o teste, 90%*99 mil = 89100 darão negativo (é o verdadeiro negativo). Ou seja, 10%*99 mil = 9900 darão positivo, mesmo não tendo a doença (ou seja, falsos positivos).

Somando verdadeiros positivos e falsos negativos, dá 990 + 9900 = 10890 positivos.

Dos que deram positivo no exame, somente 990 / 10890 = 9,1% realmente têm a doença!

Isso mostra que, mesmo um exame aparentemente tão bom, receber um resultado positivo pode não ser conclusivo, sendo necessários mais testes.