Todos os grãos de arroz num tabuleiro de xadrez

 

Conta a lenda que o xadrez foi inventado na Índia, há mais de 1500 anos. O rei ficou tão fascinado com a invenção e as infinitas variações de movimentos, que resolveu recompensar o inventor.

 

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O rei perguntou: O que você quer de recompensa?

Inventor: Quero um grão de arroz para a primeira casa, dois grãos para a segunda casa, 4 para a terceira, e assim sucessivamente.

“Só isso?”, o rei retrucou.

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Então, o rei pediu para os matemáticos do reino fazerem as contas.

 

  • Na primeira casa, 1 grão = 2^0
  • Na segunda casa, 2 grãos = 2^1,
  • Na terceira casa, 4 grãos = 2^2.

 

É uma progressão geométrica. O tabuleiro é um quadriculado de 8×8, portanto tem 64 casas.

A vigésima primeira casa já teria que ter mais de 1 milhão de grãos de arroz.

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A casa 41 corresponde a mais de 1 trilhão de grãos de arroz!

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E a casa 64, a 9 sextilhões de grãos!

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A soma de todas das casas é igual a 2^64-1 = 1,8 *10^19 grãos de arroz.

Se um grão de arroz pesa 1 g, este valor equivale a 18.446.744.073.709 toneladas.

Imagine um avião de 200 toneladas. Este valor equivale a 92 bilhões de aviões de 200 toneladas! Mais do que todo o arroz que o mundo pode produzir.

 

Este é o poder da Progressão Geométrica.

 

 

Cálculo em quadrinhos? Bioquímica em quadrinhos?

Quando se fala em histórias em quadrinhos, há algumas imagens que vêm à cabeça: super-heróis com roupas coloridas, ou a Turma da Mônica.

 

Entretanto, há a possibilidade de aprender temas tão distintos quanto Cálculo, Álgebra Linear, Química e Computação, com o apoio de quadrinhos.

A grande vantagem dos quadrinhos é que são totalmente visuais, o que facilita e muito a transmissão da informação. Se este poder de visualização puder ser aliado a um tema, como matemática, teríamos uma forma poderosa de entender o assunto.


O Guia Mangá 
O guia mangá é uma ótima introdução a diversos assuntos interessantes.
GuiaMangaCalculo
Há dez temas diferentes, indo de Cálculo, Estatística e Álgebra Linear até Bioquímica e Biologia molecular, passando por Física e Teoria da Relatividade.
GuiaMangaEstatisticia
O enredo da história normalmente é de um aluno com dificuldades em aprender, que encontra algum professor que se propõe a ensinar o assunto (de sexos opostos, para dar um clima de romance), desde os passos mais básicos até alguns conceitos mais elaborados. Há um resumo teórico bem sério no final de cada capítulo.
GuiaMangaBiologiaMolecular
Veja nas notas de rodapé alguns links.

The Cartoon Guide
Larry Gonick é uma espécie de cartunista-gênio: tem graduação em mais de uma faculdade, e aliado a seu interesse natural por desenhos, produziu obras extremamente bem humoradas e divertidas dos assuntos.
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Eu particularmente gosto muito do Cartoon Guide to Genetics, me ensinou muitos conceitos que não estavam claros nas chatissimas aulas que tive do ensino médio.
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Alguns destes livros foram traduzidos para o português, mas são poucos. O negócio é aperfeiçoar o inglês mesmo.
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Não dá para aprender Cálculo profundamente com um guia desses, mas dá para ter uma boa noção dos conceitos envolvidos. Aprender os conceitos facilita muito o aprendizado mais profundo. Este é um dos problemas das escolas universitárias, muitas vezes nem conseguem passar o conceito principal direito…

Cartoon Introduction to Economics
Economia é um assunto que pouca gente entende, mas que na verdade tem suas raízes em conceitos comuns, compreensíveis para qualquer pessoa. À medida em que novos vocabulários vão sendo atribuídos e novos marcos de resultados vão sendo alcançados, a Economia passa a ficar mais distante do leigo comum.
O Cartoon Introduction explica algumas das ideias principais, atreladas a grandes economistas e história.
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Além da edição sobre Micro-Economia, há uma sobre Macro-Economia. Há também outros dois Cartoons Introductions, sobre Mudanças climáticas e Psicologia.
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Economix

O Economix também trata do assunto “Economia”, que é tão vasto e complexo que poderiam ter mais 100 livros deste tipo sobre o assunto. Este livro é mais denso, e tem várias referências à economistas famosos.

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Dom João Carioca
E História? Não tem nada melhor que uma história em quadrinhos para contar uma história. A do desembarque da família imperial no Brasil, e os desdobramentos disto, são um ótimo exemplo.
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Literatura brasileira em quadrinhos

A série Literatura brasileira em quadrinhos é uma introdução bastante interessante a diversos livros da nossa literatura. Há vários sobre Machado de Assis. Na minha época, todo ano indicavam 10 livros diferentes para ler na Fuvest. Óbvio que não dava para ler todos eles em um ano e ainda estudar todas as outras matérias, então fiquei com os resumos das aulas de literatura. Se tivesse este tipo de publicação na época, os resumos seriam de muito melhor qualidade.

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Capitu traiu ou não Bentinho?

Relatos históricos

PyongYang é sobre a vida na Coreia do Norte, a partir da visão de um desenhista que morou lá por um tempo. Há fatos assustadores sobre o quão bizarro e prejudicial pode ser viver sob uma ditadura.
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Uma vida chinesa é um relato de alguém que sofreu os efeitos nefastos do “Grande Salto para Frente” e da “Revolução Cultural” – fome, morte de parentes, fuga para outras cidades, miséria e dor. Foram dois dos episódios mais ilógicos da história da humanidade. É incrível que ainda existam pessoas que defendam o comunismo, mesmo diante de fatos históricos como este.
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Shakespeare em mangá e em quadrinhos
Algumas das histórias mais famosas da humanidade, e alguns do vilões mais malvados que já existiram, vieram de Shakespeare. (Sabe o malvado tio de Simba, no filme Rei Leão? É Hamlet com leões ao invés de pessoas).
O maior de todos os contadores de história já teve seus trabalhos em teatros, livros, filmes, adaptações diversas. Com os quadrinhos não é diferente, há várias versões de suas obras em diversos formatos (quadrinhos, mangás, livros ilustrados).
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Portanto, há uma ampla gama de trabalhos sobre diversos assuntos, aliando o conhecimento com diversão – unindo o útil ao agradável.
Ficam as dicas.

Links
Pode-se procurar em sua livraria favorita pelas palavras chave descritas acima. Mas segue uma pequena lista, para facilitar.
Guia Mangá
Cartoon Guide
Cartoon Introduction
Economix
Dom João Carioca
Literatura brasileira em quadrinhos
PyongYang
Shakespeare

Análise de Monte Carlo e Simulação

O método de Monte Carlo é um método simples de resolver problemas probabilísticos difíceis. Este tutorial é uma introdução bastante simples, didática, deste assunto, uma mistura de história, matemática e mitologia.
A origem do método foi na Segunda Guerra Mundial, proposta pelo matemático americano-polonês Stanislaw Ulam e o matemático americano-húngaro John Von Neumann.

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Não é uma coincidência que estes cientistas eram europeus que foram para os Estados Unidos. Vários cientistas de nível mundial fizeram o mesmo, fugindo da dominação europeia dos nazistas.

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Estes e outros cientistas brilhantes estiveram envolvidos no projeto secreto da Bomba Atômica. Este projeto secreto foi o Projeto Manhattan.


O que a bomba atômica tem haver com simulação?

Esta é uma introdução bem fácil, simplificada, para dar uma ideia do método de Monte Carlo no Projeto Manhattan.

Imagine um átomo de Plutônio.

Um “Átomo” é uma palavra grega para “indivisível”. “A” = não, “tomo” = tomos, divisões. Cientistas acreditavam que estes elementos únicos da natureza eram os blocos de construção de tudo no universo, uma espécie de lego.

Os cientistas da época estavam estudando a recém descoberta fissão nuclear, em que um átomo é quebrado, dividido. O átomo é quebrado em outros elementos e libera uma quantidade espantosa de energia.

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O Plutônio enriquecido era um átomo excelente para isto, porque era altamente instável. E o Urânio também, mas fixaremos no Plutônio aqui.

Imagine uma bola no alto de uma montanha. Qualquer empurrãozinho moverá a bola e liberará a energia potencial em energia cinética. Com o Plutônio enriquecido, é o mesmo. Então, o Plutônio era um bom átomo para criar a bomba.

Mas havia uma série de problemas. Processar o mineral natural e enriquecer o Plutônio era um processo bastante doloroso. É como derrubar uma montanha inteira de material, gastando uma quantidade enorme de energia, apenas para obter um miligrama de Plutônio enriquecido. Quanto Plutônio é suficiente? Como poderiam usar isto?


Efeito Dominó

É inofensivo liberar o poder de apenas um átomo. Para criar a bomba, há a necessidade de criar uma reação em cadeia: um átomo libera a energia, e quebra mais um átomo, e mais um: um efeito dominó.

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A reação subcrítica é quando a bomba não explode: a reação em cadeia não acontece. É como uma cadeia de dominós que é interrompida no caminho.

A reação supercrítica é quando a bomba explode: há uma quantidade exponencial de energia sendo liberada.

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A missão dos cientistas era a de encontrar as condições para a reação crítica, que é a divisão entre a bomba explodir ou não.


Não exploda em minhas mãos

O conhecimento da condição crítica tinha dois objetivos principais: eles tinham que assegurar que a bomba explodiria, mas também precisavam ter certeza que isto não explodiria nas mãos deles.

Eles tinham que dividir a quantidade de Plutônio em pequenos pedaços, pequenos o suficiente para não explodir quando eles não quisessem, mesmo se um acidente ocorresse.
E eles tinham que juntar os pedacinhos em uma única peça grande, com material suficiente para causar uma reação em cadeia quando eles quisessem que isto ocorresse (no momento da explosão).

 


Como calcular?

Como calcular se a bomba explodiria ou não?

De forma simplificada, há um modelo para calcular o comportamento de um único átomo: probabilidade de explosão, quantidade de energia liberada para cada átomo fissionado, etc.

Se há um modelo para um único átomo, eles precisavam calcular o comportamento de um grupo de átomos, dado que eles estão a uma certa distância e numa certa densidade. Se há a primeira fissão, o segundo átomo fará o mesmo? E o terceiro?

Em outras palavras, cada átomo é uma variável aleatória. O efeito composto em dois átomos é a soma das duas variáveis aleatórias.

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Somar variáveis aleatórias não é uma tarefa fácil. Isto significa resolver uma equação integral (não é fácil nem para gênios como Von Neumann).

Ulam e Von Neumann propuseram duas soluções:

O método de Monte Carlo, com calculadoras humanas. Imagine um modo de dividir os cenários em vários casos pequenos, determinísticos. Cada caso é calculado por uma mulher (homens não são bom na tarefa, porque cometem um monte de erros), usando lápis e papel (consegue imaginar isto?)… e então um matemático agrupava os vários resultados. Isto foi batizado “Monte Carlo” após o nome de um cassino, porque lembra o lançar de dados. Havia uma sala, cheia de mulheres fazendo cálculos. Elas nem sabiam o que estavam calculando, uma vez que o projeto era secreto.

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A segunda solução era usar computadores eletrônicos. O único problema: computadores eletrônicos não existiam. A solução de Von Neumann foi inventar o computador eletrônico! Von Neumann criou a arquitetura conceitual do computador eletrônico (CPU, memória, entradas, saídas, etc), e o computador que usamos hoje ainda usa a arquitetura de Von Neumann.

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O único problema: não foi completado antes do final da guerra. Portanto, a bomba atômica deveu-se inteiramente aos esforços das calculadoras humanas.

Num mundo probabilístico, usamos variáveis para representar fenômenos estocásticos. Nós escolhemos a variável aleatória certa para representar o que queremos. Se é um evento como a altura de um grupo de pessoas, usamos uma variável aleatória normal. Se é a taxa de chegada de clientes numa fila, normalmente modelamos como uma variável exponencial. Se não temos ideia, mas de alguma forma sabemos o mínimo e o máximo, a distribuição uniforme é uma boa escolha.

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Um erro muito comum é usar uma função complicada desnecessariamente. Digamos, o analista tem um ano de medições, e ele aprendeu na faculdade que existe uma variável chamada weibull, que fita bem os dados. É uma boa escolha? Não, não é, a menos que ele saiba exatamente o que está fazendo. Isto porque não queremos modelar o passado. Queremos modelar o futuro. E o futuro não necessariamente vai seguir uma weibull complicada. Eu prefiro ser humilde, dizer “Eu não sei exatamente”. O modo que dizemos “Eu não sei”, é usar uma variável aleatória simples, como uma normal, uma uniforme.

Uma vez que sabemos a variável aleatória, podemos usar o método de Monte Carlo. Consiste em jogar um dado. Dependendo do valor que obtemos do dado, obtemos o valor da variável aleatória.

 

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No primeiro exemplo, obtemos 4 do primeiro lançamento, e 0,2do segundo lançamento, resultando em 4,2.

No segundo exemplo, obtemos 6,1 do primeiro lançamento, e 0,7 do segundo lançamento, resultando em 6,7.

Se fizermos isto um milhão de vezes, podemos estimar a distribuição de probabilidades da variável aleatória final. Cada passo é muito muito fácil, determinístico, fácil o suficiente para ser feito por uma calculadora humana, ou um computador eletrônico. Deste modo, podemos modelar um modelo muito complicado de uma forma simples.

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Hoje, num simples laptop, temos poder de processamento equivalente a milhões de humanos calculando no braço. E, numa simples planilha do Excel, podemos usar modelos muito, muito complicados, com a ajuda de alguns pacotes computacionais.

Em algum post futuro, mostrarei alguns exemplos.

 



Epílogo.

Plutônio e Urânio

Os cientistas do Projeto Manhattam estavam pesquisando dois átomos: Urânio e Plutônio. No final, eles fizeram duas bombas.

A de Hiroshima era o “Little boy”, “garotinho”, uma bomba de urânio.

A de Nagasaki era o “Fat Man”, “homem gordo”, uma bomba de plutônio.

Urano é o deus do céu, na mitologia grega. Plutão é o deus do inferno. Duas bombas. Céu e Inferno.

 

Reflexões sobre a Teoria da Reflexividade

George Soros é um mega investidor húngaro-americano. Ele é um dos homens mais ricos do mundo, só isso.

Soros se auto-intitula um “filósofo fracassado”. O que ele queria mesmo era entender a verdade, mas como não conseguiu, buscou o dinheiro mesmo.

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A Teoria da Reflexividade de Soros pode ser resumida em uma única imagem:

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Só isso. Ele fez bilhões de dólares seguindo esta ideia. É até decepcionante.

Os livros de Soros têm 10 páginas para explicar esta teoria. E mais 200 páginas com outras ideias irrelevantes e opiniões pessoais sobre outros assuntos. Mas o ponto central é a Reflexividade.


O mundo me influencia

É óbvio que o mundo me influencia. Eu tomo as minhas ações baseado nas informações que o mundo me dá.

Acontece que não é bem assim. O que acontece é que nós temos um modelo mental do mundo, de todas as coisas que acontecem. E, muitas vezes, há algum fato que fura este modelo mental do mundo.

Por exemplo, na minha cabeça ninguém é melhor do que o Neymar no ataque. De repente, surge algum jogador, o Zé das Couves, desconhecido. Vai ser muito, muito difícil tirar da minha cabeça que o Zé das Couves é melhor do que o Neymar.

Mas para Soros, a coisa não é assim. Ele é alguém extremamente “dependente do caminho” – vide exemplos no post anterior. Então, mesmo que ele aposte um milhão no Neymar, se o Zé das Couves for mesmo melhor que Neymar, ele é o primeiro a assumir o prejuízo (stop loss) e mudar a aposta.

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É extremamente difícil fazer o stop loss. Significa reconhecer o erro e recomeçar do zero, mesmo que se tenha perdido um tempo e energia enorme, seja num novo emprego, num empreendimento, numa aposta, num relacionamento. A grande maioria das pessoas continua a insistir no erro.


Eu influencio o mundo

A maioria das pessoas acha que é muito pequena para influenciar o mundo. Soros, não. As nossas ações podem mudar os fundamentos de uma empresa, e mudando os fundamentos, muda-se o valor dela.

Um fato recente, ilustrativo.

Recebi a visita de uma empresa, que analisou alguns dos processos existentes. Ele falou, no final, algo assim: “Fico feliz em ver que o pessoal que trabalha contigo domina tantos conceitos e ferramentas. Não é toda empresa que tem esta cultura de empoderar tanto assim as pessoas”.

Errado. Não é porque a empresa permite que o pessoal domina os conceitos. É o contrário: é por trabalharmos tanto com conceitos, ferramentas e desenvolvimento que os resultados surgem, e é por isso que a empresa permite. A empresa quer resultados, e se resultados aparecem assim, é porque há algo de bom.

A maioria das pessoas nem sabe que lhes é permitido mudar o mundo. Mas, sim, é permitido sim. Todos nós temos o poder de influenciar o mundo, um pouco que seja, ou um muito que seja. E o mundo precisa de mais pessoas que consigam fazer a diferença, criar novas ideias, ajudar os outros, melhorar o mundo.


Conclusão

Soros é um péssimo filósofo, já que a filosofia dele cabe em uma página. Mas ele é um excelente executor de sua própria filosofia da reflexividade. Ele, como ninguém mais, influencia e muda o mundo, ao mesmo tempo em que observa e muda a própria cabeça a partir do que vê do mundo.

Ikkyu e o Vaso que morreu

Ikkyu e o Vaso que morreu
Conta uma lenda antiga japonesa que havia um monge chamado Ikkyu, que era muito sábio.
Desde muito pequeno, ele já apresentava sinais de uma inteligência aguda.
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Quando Ikkyu era pequeno, ele quebrou um vaso de seu mestre budista. Era um vaso extremamente valioso, que o mestre muito prezava.
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Quando o mestre chegou ao templo, Ikkyu perguntou: “Mestre, é verdade que todos têm que morrer?”
Mestre: “Sim, este é o destino inevitável de todos”
Ikkyu: “Mesmo se a gente amar muito, não tem um jeito de não morrer?”
Mestre: “Mesmo a gente amando muito, um dia vai morrer”
Ikkyu: “Mestre, o seu vaso morreu!”

Moral da História: Há várias formas de contar uma notícia ruim…
Veja também: A verdade e o Conto

Assimetria de resultados, termoelétricas e heróis esquecidos

O ano é 2015. O Brasil sofre uma intensa crise hídrica, uma das piores de sua história. O nível dos reservatórios cai, as hidrelétricas não conseguem mais produzir tanta energia quanto antes. É necessário ligar as caras termoelétricas, movidas a carvão. A conta de luz sobe, todo mundo reclama: “Deveriam ter feito investimento em hidrelétricas”, “Termoelétricas são altamente poluentes”. Mas o Brasil não para. Não há apagão. A crise hídrica foi superada sem maiores traumas.

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Notícia do portal G1

 

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El País

 


 

O ano é 2001. O Brasil passa por uma crise hídrica. O nível dos reservatórios cai. Não há termoelétricas. Ocorre o que ficou conhecido como “Apagão”. Sem energia para suportar toda a atividade industrial e residencial, é necessário economizar: diminuir a produção industrial, economizar no banho, desligar o ar-condicionado. Todo mundo reclama: “Deveriam ter se preparado para isto”, “O Brasil tomou um prejuízo de vários bilhões”.

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Planejamento

Fazer um bom planejamento significa antever oportunidades e prevenir gargalos futuros. Significa ir resolvendo problemas antes mesmo destes acontecerem.
Isto inclui reconhecer que não é possível planejar tudo: o futuro é incerto, sempre será uma incógnita. Se não é possível prever o futuro, nem planejar tudo, o que fazer? Ter o plano de ação traçado, alguns planos B na manga, e fazer seguros para evitar grandes impactos.

Um seguro é uma opção: pago um valor para comprar o seguro, e tenho a opção de usá-lo ou não. É igual ao seguro do carro: compro o seguro pagando um prêmio, digamos R$ 2.000. Se não usar o seguro em um ano, perco os R$ 2.000 – poderia ter usado este valor não desprezível para fazer alguma outra coisa. Mas, se for necessário usar o seguro, isto pode me salvar de um prejuízo de digamos R$ 40.000.

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O mundo não é linear. Há uma extrema assimetria nos resultados possíveis: se compro o seguro, fico R$ 2.000 mais pobre, se não compro, eu posso ter um prejuízo extremo.  A vida está sujeita a eventos extremos, de baixíssima probabilidade, mas impactos enormes. Isto é o que o pensador Nassim Taleb popularizou com o termo “Cisne Negro”.

 

Um seguro pode ser algo simples, como guardar uma reserva de dinheiro, preservar um recurso estratégico, saber o número de telefone de um amigo quando estiver no exterior.

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Nos anos 2000, após o apagão, o Brasil comprou um seguro: a construção de usinas termoelétricas. Investiu milhões para construir, e desde então arca uma taxa anual pela opção da energia: paga as termoelétricas para ficarem paradas, sem fazer nada. Muita gente criticou: “termoelétricas no Brasil, um país tropical com tantos rios? Deveria é ter mais hidroelétricas!”. “Pagar para não fazer nada? Isto é para quem é amigo do governo.”

Eis que, em 2015, o Cisne Negro da crise hídrica surgiu. O Brasil acionou o seguro: as termoelétricas. Mas não houve apagão. Não houve redução absurda na capacidade produtiva. Num país muito mais rico e complexo do que no ano 2000, os prejuízos seriam de centenas de bilhões, talvez na casa dos trilhões de reais.

Ninguém gostou que a conta de luz ficou mais cara, mas isto é porque as pessoas  não conseguem enxergar as alternativas. E a alternativa  de não pagar mais caro seria o apagão: não ter energia. É impossível controlar as chuvas e fazer chover simplesmente porque eu quero que chova.

Um dos maiores problemas do planejamento é o de que nunca terá o seu trabalho reconhecido. Se realmente antever uma oportunidade que permita que a empresa a explore, quem vai colher os frutos futuros são os que estiverem no comando da empresa neste momento. Se o planejamento resolver um problema futuro, este não mais será um problema: vai ficar no universo do que poderia ter sido, um universo que não existe.

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Segundo este “especialista”, em artigo de 2003, o Brasil não precisava de termoelétricas porque “a população estabeleceu padrões de consumo elétrico mais eficientes”

 

Mais um exemplo. Lembro que, quando eu era bem jovem, ninguém usava cinto de segurança. Os meus pais não usavam, os meus tios também não, muito menos eu. Desde então houve a educação e mudança de mentalidade em relação ao cinto de segurança. Aliado a uma simples lei, a de multar quem dirigir sem cinto, e hoje o comum é usar o cinto de segurança. Virou até automático: entro no carro, coloco o cinto e nem percebo que estou fazendo isto. Este simples medida de segurança com certeza salvou milhares de vidas desde então. Mas não sabemos quantas pessoas isto salvou, nem quem salvou, e muito menos quem foram as pessoas que lutaram para implantar esta lei e educar os cidadãos sobre os benefícios do cinto. São verdadeiros heróis esquecidos.

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Conclusão

Ninguém se lembrará daqueles que compraram o seguro para evitar a incerteza do futuro. Vão até criticá-los, por terem que pagar mais pela compra da opção. Porém, o que move pessoas assim são a certeza do dever cumprido, de que o futuro é imprevisível e que Cisnes Negros negativos podem ocorrer e quebrar a mais sólida das empresas.

 

Nota: “Roubei” o exemplo das termoelétricas de uma conversa com Cláudio Ortolan.

 

Brinquedo Novo

O cubo 7x7x7 é muito legal,

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Dá para criar alguns padrões bem bonitos.

Outros padrões:

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Dá muito trabalho escrever a metologia de solução, mas um dia vou fazê-lo.

 

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Dá até para escrever nele!

 

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Obs. Nota-se que não sou muito bom em fotos. Se alguém quiser me ajudar, agradeço,

 

Arnaldo.